Тема 4. Показатели вариации

Методические указания

При изучении вопросов темы, необходимо прежде всего ясно представить себе условия, порождающие вариацию признаков в совокупности явлений общественной жизни, сущность и значение ее измерения. Исследование вариации является необходимым звеном a анализе экономических явлений и процессов. Показатели вариации служат характеристикой типичности средней величины признака.

Очень важно научиться правильно исчислять все показатели вариации: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации, знать их смысл и значение.

Пример 1. Покажем вычисление дисперсии (s²) среднего квадратического отклонения (s), а коэффициента вариации ( V ) на следующем примере:

Группы рабочих по средней дневной выработке деталей (штук)	x	Число рабочих (f)	xf
140-160		I		-34
160-180				-14
180-200				+6
200-220				+26
Итого:	-			-	-

штуки

руб.

.

Рассматривая коэффициент вариации, обратите внимание на то, что он представляет собой относительную величину и позволяет сравнивать степень вариации признака в разных совокупностях. Если например, известно, что в одном районе дисперсия урожайностипшеницы s₁²=8, при X₁=20 ц/га, а в другом районе s₂²=6, при X₂=12 ц/га , то хотя по абсолютной величине показатель вариации в первом районе больше чем во втором (s₁²>s₂²), тем не менее степень колеблемости урожайности пшеницы в первом районе меньше, чем во втором. Действительно для первого района коэффициент вариации 14,1%: для второго - 20,4%:

Если статистическая совокупность разбита на однородные группы, то можно вычислить три вида дисперсий.

Вариацию во всей совокупности в целом характеризует общая дисперсия данного признака (s₀²), обусловленная воздействием всех влияющих факторов.

Вариацию признака в отдельных частях или группах, на которые разделена совокупность, выражают групповые (частные) дисперсии (s_i²). В среднем вариацию признака внутри групп характеризует средняя арифметическая из групповых дисперсий, называемая внутригрупповой ( ). Эта дисперсия характеризует вариации рассматриваемого признака за счет всех факторов, исключая фак­тор, положенный в основание группировки.

Вариация признака между группами определяется межгрупповой дисперсией (d²), характеризующей влияние того фактора, который взят в качестве основания группировки.

Уяснив смысл различных видов дисперсии, нетрудно понять в сущность правила сложения дисперсий:

Правило сложения дисперсий применяется для изучения взаимосвязей между признаками. С этой целью вычисляют эмпирическое корреляционное отношение:

Пример 2. Имеются следующие данные по десяти предприятий отрасли:

Среднегодовой фонд заработной платы, млн. руб.	4,8	6,3	7,1	8,5	9,9	10,2	11,8	12,9	14,1	15,6
Валовая продукция, млн. руб.	6,1	7,5	8,0	9,2	11,4	11,8	13,0	14,7	15,0	17,3

Произведем группировку предприятия на две группы по среднегодовому фонду заработной платы и проанализируем влияние этого группировочного признака (фактора) на размер валовой продукции предприятий (результативный признак). С этой целью в первую группу отнесем предприятия со стоимостью этих фондов до 10,5 млн.руб., а во вторую - от 10,5 и более.

Найдем групповые средние (млн. руб.); (млн. руб.);

Общую среднюю ( ) определим на основании групповых средних: ; млн. руб.

Групповые дисперсии определим по формуле: ; ;

Далее рассчитаем:

1) среднюю из групповых дисперсий

2) межгрупповую дисперсию

3) общую дисперсию по правилу сложения

Эмпирическое корреляционное отношение:

Следовательно, фактор, положенный в основу группировки (стоимость среднегодовых фондов заработной платы), существенно влияет на выработку валовой продукции.

Задача 1. Распределение студентов факультета по возрасту составляет:

Возраст студентов, лет									Всего
Число студентов

Определите: I) размах вариации; 2) дисперсию; 3) среднее квадратическое отклонение; 4) коэффициент вариации.

Задача 2. Имеются следующие данные о распределении сотрудников коммерческого банка по среднемесячной зарплате:

Среднемесячная зарплата, тыс.руб.	до 3	3-4	4-5	5-6	6-7	7-8	8-9	9-10	Свыше 10
Кол-во сотрудников

Определите: 1) средний уровень зарплаты; 2) дисперсию; 3) среднеквадратическое отклонение; 4) коэффициент вариации.

Задача 3. Имеются следующие данные о средней выработке 10 рабочих завода.

Группы рабочих по участкам	Число рабочих	Средняя выработка каждого рабочего (деталей)
I				-	-	-
II					-	-
III

Вычислите: 1) общую дисперсию по правилу сложения дисперсий: ; 2) эмпирическое корреляционное отношение.

Ответы: 1) , , ; 2)0,47

Задача 4. Определить: а) среднее линейное отклонение, б) дисперсию, в) среднее квадратическое отклонение (сравните его величину с величиной среднего линейного отклонения), г) коэффициент вариации, выраженный в процентах. Дайте краткий анализ вариации исследуемого показателя.

I группа. Рабочие со стажем работы до 5 лет включительно	II группа. Рабочие со стажем работы свыше 5 лет
Подгруппы рабочих по выполнению норм выработки, %	число рабочих	подгруппы рабочих по выполнению норм выработки, %	число рабочих
До 80 80-90 90-100 100-105 105-110 110-120 120 и более		До 90 90-100 100-110 110-120 120-130 130-150 150 и более

Задача 5. Урожайность пшеницы по области характеризуется следующими данными:

Яровая пшеница	Озимая пшеница
Урожайность, ц с 1 га	посевная площадь, га	урожайность, ц с 1 га	посевная площадь, га
До 15 15-16 16-17 17-18 18-19 19 и выше		До 19 19-20 20-21 21-22 22-23 23-25 25 и выше

1. Определить общую дисперсию урожайности всей пшеницы по правилу сложения дисперсий.

2. Вычислить общую дисперсию по исходным данным. Сравните полученные результаты.

Задача 6. Определите дисперсию, если известно, что средняя величина признака равна 2600 единицам, а коэффициент вариации 30%.

Задача 7. Дисперсия признака равна 360000, коэффициент вариации 50%. Чему равна средняя величина признака?

Контрольные вопросы

1. Что такое вариация признака?

2. Перечислите показатели, которыми измеряется вариация признаков.

3. Что такое дисперсия и как она вычисляется?

4. Как вычисляется среднеквадратическое отклонение?

5. Что представляет собой коэффициент вариации?

6. В чем смысл правила сложения дисперсий?

7. Какой показатель вычисляется на основании правила сложения дисперсий и что он характеризует?