Интерполяция таблиц смертности для дробных возрастов. Линейный подход.
Основные отличия страхования жизни и страхования иного, чем страхование жизни (не-жизни).
Отличия:
1. По страхованию жизни компания выплачивает обычно раз (за исключением текущих видов договоров), в рисковых видах страхования выплаты обычно могут осуществляется неоднократно.
2. В страховании жизни размер выплат определяется условиями договора, и страховщик заранее знает величину потерь в случае наступление страхового случая. В рисковых видах страхования размер ущерба является случайной величиной.
3. Статистическая оценка задач гораздо сложнее в страховании ином, чем страхование жизни.
4. Риски договора страхования нежизни в отличие от страхование жизни, имеющие как правило долгосрочный характер, заключаются обычно на 1 год.
5. Страхователь заключает договор рискового страхования, значительно сложнее разделить на априорные однородные, чем в договоре страхование жизни, где классификация осуществляется по полу, возрасту и составу договора страхования.
6. Премии в страховании жизни можно разделить на рисковую и накопительную компоненту, создающую возможность инвестирования средств, в то время как рисковые виды страхования имеют доходность в гораздо меньшем масштабе и только за счет разрыва по времени сбора премий и выплат по наступившим убыткам.
2. Страхование жизни – что такое, особенности, цели.
Страхование жизни – предоставление страховщиком в обмен на уплату страховых премий гарантий выплатить определенную сумму денег (страх-ю сумму) страхователю или указанным им третьим лицом в случае наступления определенных событий в жизни застрахованного: болезни, инвалидности, смерти или его дожития до определенного возраста.
Бенефициар (ий) –выгодоприобретатель – лицо, которому предназначен денежный платеж; лицо не являющиеся страхователем, но обладающее правом на получение страховых выплат в случае смерти держателя страхового полюса.
Особенности:
- объект страховой защиты – жизнь человека – не имеет стоимости.
- меняет свое содержание признак чрезвычайности, отличающий категорию страхования. Если такое событие, как наступление смерти, сохраняет чрезвычайный характер, то факт дожития застрахованного до окончания строка страхования или оговоренного события нельзя отнести к чрезвычайному событию.
- договор страхования жизни является долгосрочным (не менее 1 года), поэтому сочетает в себе не только рисковую, но и сберегающую функцию.
Цели:
Имущественного характера
1) Защита семьи при потере кормильца
2) Обеспечение в случае потери трудоспособности
3) Обеспечение пенсии в старости
4) Накопление средств детям при достижению совершеннолетия
5) Оплата ритуальных услуг
Финансового характера
1) Накоплетельные, связанные с инвестированием
2) Защита частного капитала на случай смерти партнера по бизнесу или руководства
3) Защита наследства
Построение таблиц смертности. Основные понятия и показатели.
Таблица смертности (продолжительности смерти) –систематизированный набор статистических данных о продолжительности жизни населения данной страны или выделенной группы.
Выделяют группы по:
- полу
- региону
- профессии
Т. Д.
В полных табл-ах смертности показатели даны по возрастам с интервалом в 1 год. В кратких с интервалом 5-10 лет.
lx – число доживших до возраста х лет
dx – число умерших в возрасте х лет.
qx – вероятность умереть в возрасте х лет.
lx – lx+1 = dx
lx – lx+n = dx+ dx+1+ dx+2+…+ dx+n-1
n dx – число лиц возраста х лет умерших в течении последних n лет.
px – вероятность лица в возрасте х лет прожить еще 1 год.
npx - вероятность лица в возрасте х лет прожить еще n лет
nqx - вероятность лица в возрасте х лет умереть в течение n лет
n/mqx – вероятность для лица в возрасте х лет умереть в промежутки мужду (x+m) и (x+m+n) годами.
4. Функция дожития – безусловная и условная. Её связь с другими демографическими функциями.
Функция дожития – непрерывная функция возраста S(x), означающая долю лиц доживших до возраста Х.
S(x) – вероятность для наугад выбранного лица из данной совокупности родившихся дожить до возраста x.
T – Продолжительность жизни для такого лица.
Безусловная вероятность:
S(x)=Pr [T≥x]
Если через Tx обозначить остаточную продолжительность жизни для наугад выбранного лица возраста х, т.е. время, котороые это лицо еще проживет, достигнув возраста х, то число
Sх (t) =P(Тх ≥ t)
Будет обозначать условную вероятность
t px =Pr(Т ≥ х+t/ Т ≥ х)
достижения возраста x+t для лица, достигшего до х лет. Откуда следует, что
5. Функция распределения продолжительности предстоящей жизни и её связь с функцией дожития.
Функция дожития – непрерывная функция возраста S(x), означающая долю лиц доживших до возраста Х.
S(x) – вероятность для наугад выбранного лица из данной совокупности родившихся дожить до возраста x.
T – Продолжительность жизни для такого лица.
Дополнение функции дожития до 1, то есть функция
F(x) =P(Т < х)=1-S(x)
Называется функцией распределения продолжительности жизни, то есть вероятность того, что данное родившееся лицо не доживет до возраста х.
6. Интенсивность смертности и её связь с функцией дожития.
Доля лиц, умирающих в ед. времени в промежутке [ x,x+1] – средняя скорость вымирания лиц, достигших возраста х
Интенсивность (сила) смертности (force of mortality)
Функция дожития через интенсивность смертности:
Условная функция дожития через интенсивность смерти:
т.к.
Интерполяция таблиц смертности для дробных возрастов. Линейный подход.
X=k+u ; k=[x] ; u={x} ; 0≤u≤1
S(x)=S(k+u)
lx и S(x) линейны на [k;k+1]
lx=lk+u= lk+u(lk+1- lk)= lk-u*dk
S(x)=S(k+u)= S(k)+u*[ S(k+1)- S(k)]= S(k)*[1- u*qk ]
S’(k+u)= -S(k)*qk => μk+u= qk /(1-u*qk)
upk=1-u*qk