Амортизация долга равными платежами

Рассмотрим вопрос о погашении всей задолженности, состоящей из основного тела долга D и начисленных по долгу процентов I, регулярными и равными по величине платежами Q_n. Вопрос о величине выплаты Q_n в погашении долга не так очевиден, как это может показаться. Будет совершенно неправильным определить задолженность на конец срока (ссуда плюс начисленные проценты) и разделить на число платежей, которыми должна быть погашена задолженность.

Действительно, каждый платеж должен содержать в себе два компонента: часть в погашение основного долга и вторая часть в погашение начисленных процентов. При этом по мере погашения основного долга величина начисляемых процентов каждый раз различна, она уменьшается, следовательно, для обеспечения равных по величине платежей доля в погашение основного долга должна увеличиваться, то есть идет непрерывный процесс уменьшения базы начисления процентов за отчетный период, зависящий от величины начисленных процентов. Такое, прямое рассмотрение вопроса о величине равных платежей потребует достаточно тонких и тщательных рассуждений.

Однако посмотрим на эту проблему с другой стороны. Кредитор выдал ссуду D под ставку сложных процентов g и прогнозирует получить в конце срока n возврат долга с начисленными процентами в размере D + I при этом погашение долга должно происходить равными платежами Q_n. Одинаковые периодические (будем считать ежегодные) платежи представляют собой ренту. Рента, как известно, (см. лекцию 8) может быть охарактеризована величиной современной стоимости P, которая представляет собой сумму всех платежей, приведенных к началу с использованием некоторой ставки i_c, а также наращенной суммой S, которая представляет собой сумму всех платежей с начисленными на них процентами по той же ставке. Если в качестве таковой взять ставку наращения g, под которую предоставлена ссуда, а величина ссуды D при этом будет по величине равна современной стоимости ренты A, то легко видеть что это как раз и есть условия, которые сформулировал кредитор. То есть рентные платежи R_n фактически будут представлять собой равные платежи Q_n в погашение задолженности D и их величину не представляет труда найти, пользуясь выражениями, полученными при рассмотрении рент (лекция 8 (8.10, 8.11)). То есть

D = Q ´ (q_n – 1)/(q – 1) ´ qⁿ, (9.7)

где согласно принятым обозначениям q = (1 + g), n число ежегодных платежей, откуда

Q = D ´ (q – 1) ´ qⁿ/(qn – 1). (9.8)

Следует заметить, что задача может быть легко переформулирована для нахождения количества лет, которые требуются для погашения задолженности D известными по величине ежегодными платежами Q при заданной ставке сложных процентов g по задолженности.

Для проверки использования обобщенных характеристик рент при определении величин равных платежей в погашение задолженности рассмотрим элементарный пример, который не составит большого труда рассмотреть прямыми рассуждениями и сравним полученный результат, с результатом, полученным с привлечением знаний о рентах.

Пусть ссуда величиной D, выданная на два года n = 2, под ставку g погашается двумя равными платежами Q. См. рис. 9.5, где приведен контур данной операции.

Рис. 9.5

Задолженность с учетом начисленных процентов к концу первого года составит D ´ (1+g), после первого платежа Q она составит D ´ (1 + g) – Q. К концу второго года сумма задолженности с учетом начисленных процентов будет равна (D(1 + g) – Q) ´ (1 + g), а после второго платежа Q, она должна полностью погасится, т.е.

((D ´ (1 + g) – Q)) ´ (1 + g) – Q = 0. (9.9)

Из (9.9) определим значение платежа Q

Q = D ´ (1 + g)²/(2 + g). (9.10)

Теперь воспользуемся другим подходом с привлечением знаний о рентах. Из выражения (9.8) после подстановки q = (1 + g),и n = 2 получаем значение величины рентного платежа,

Q = D ´ (q – 1) ´ qⁿ/(qⁿ – 1) = D ´ g ´ (1 + g)²/((1 + g)² – 1) = D ´ (1 + g)²/(2 + g), (9.11)

который, как не трудно видеть, равен величине выплат (9.10), которые согласно предыдущим «прямым» рассуждениям погашают задолженность, то есть оба подхода приводят к одинаковому результат, что и требовалось показать.

Из приведенного примера следует, что оба подхода приводят к одинаковому результату и в каждом конкретном случае необходимо воспользоваться ровно тем подходом, который наиболее прост и понятен в использовании.

ПРИМЕР 1. Какие ежегодные взносы R должны делаться в банк, выплачивающий проценты по годовой ставке i = 16%, для того, чтобы накопить 1,5 млн руб. за 5 лет?

Решение: Предположим, что платежи R одинаковые по величине. Начисление банком процентов осуществляется ежегодно по ставке i = 16%. Для скорейшего накопления имеет смысл капитализировать начисленные проценты. Таким образом, необходимый поток платежей R представляет собой аннуитет, т.е. ежегодную ренту. Воспользуемся выражением (9.4) для наращенной суммы такой ренты 1 500 000 = R ´ ((1 + 0,16)⁵ – 1)/((1 + 0,16) – 1), откуда легко находится значение ежегодных взносов. R = 1 500 000 ´ 0,16/(1 + 0,16)⁵ – 1) = 21 811,40 руб.

ПРИМЕР 2. Определить величину ежегодных платежей по погашению кредита в размере 10 000 руб., выданному на 7 лет под а) простую ставку i = 12% годовых, б) сложную ставку i_с = 12%.

Решение:

а) Определим общую задолженность по кредиту с учетом начисленных к концу срока процентов D + I = 10 000 ´ (1 + 7 ´ 0,12) = 18 400 руб. Эту сумму необходимо погасить равными ежегодными платежами. Ежегодные платежи это рента, хорошо бы подобрать семилетнюю ренту R, наращенная сумма которой будет равна D + I = R ´ (qⁿ – 1)/(q – 1), где q = (1 + i_c), а ставка i_c – сложная ставка, используемая при подсчете наращенной суммы ренты. Величина ставки i_c пока нам неизвестна. Ее величину можно определить из условий эквивалентности ставок на рассматриваемом сроке кредита, то есть из соотношения D ´ (1 + i ´ n) = D ´ (i_c + 1)ⁿ, где n = 7 лет откуда найдем, что i_c = (1 + i ´ n)^1/n – 1 = 8,15% годовых. После того как величина ставки указанной ренты определена, из выражения для наращенной суммы ренты можно определить величину искомого платежа R = (D + I) ´ (q – 1)/(qⁿ –1) = 18 400 ´ 0,0815/0,7355 = 20 388,85 руб.

б) Общая задолженность с учетом начисленных процентов по сложной годовой ставке 12% составит 22 106,81 руб. Для определения величины ежегодных, равных платежей в погашение этой задолженности воспользуемся выражением для наращенной суммы ренты, величина которой равна самой задолженности 22 106,81 руб., а ставка, используемая при этом, будет совпадать со ставкой по кредиту, т.е. 12%. Следовательно, остается воспользоваться формулой (9.4) 22 106,81 = R ´ ((1 + 0,12)⁷ – 1)/((1 + 0,12) – 1) откуда R = 2 191,18 руб.

ПРИМЕР 3. Какой величины должны быть равные платежи, осуществляемые в конце каждого квартала в течение 20 лет для приобретения дома стоимостью 10 млн руб. наличными, если процентная ставка i_с = 5%?

Решение: Стоимость дома наличными 10 млн руб. – означает его современную стоимость т.е. «плати сегодня 10 млн руб. и получай дом». Ежеквартальные платежи в течение n = 20 лет можно рассматривать как р-срочную ренту (см. лекцию 8) с выплатами p = 4 раза в год. Если современная стоимость P (см. (8.26) лекция 8) такой р-срочной ренты будет равна стоимости дома, тогда платежи R = Q/p, составляющие р-срочную ренту, будут являться искомыми платежами. Таким образом, 10 000 000 = P = R ´ ((i_с + 1)^n/p–1)/((i_с + 1)^1/p – 1) или после подстановки значений 10 000 000 = R ´ (1,05^20/4 – 1)/(1,05^1/4 – 1), откуда R = 444 193,02 руб.

ПРИМЕР 4. Автомобиль стоит 0,35 млн руб. наличными, но может быть куплен за 0,16 млн руб. наличными с выплатой остатка в виде ежемесячных платежей в течение 3 лет. Каков должен быть ежемесячный платеж для приобретения автомобиля на таких условиях при ставке i_с = 4% годовых.

Решение: Определим сначала остаток задолженности, который должен быть выплачен в течение 3-х лет 0,35 – 0,16 = 0,19 млн руб. это современная стоимость тех ежемесячных платежей, которые должны быть уплачены в погашение остатка задолженности. Представляя указанные платежи в виде р-срочной ренты, где р = 12, со ставкой i_с = 4% годовых оказываемся в условиях рассмотренной выше задачи.

ПРИМЕР 5. Найти ежемесячный аннуитет, эквивалентный трем полугодовым выплатам по 50 млн руб. при годовой процентной ставке i_с = 4%.

Решение: В данной задаче фигурируют два потока платежей №1 – ежемесячный аннуитет и №2 – полугодовые выплаты. Два потока платежей эквивалентны друг другу, если их современные стоимости в данный момент равны друг другу. Следует, отметить, что момент («данный момент») в который потоки должны быть эквивалентны друг другу в условиях задачи не определен. Для простоты определения современной стоимости потоков будем рассматривать их как р-срочные ренты №1 и №2. Величина отдельного платежа ренты №2 равна 50 млн руб., всего таких платежей три, т.е. срок рассматриваемых рентных платежей №1 и №2 n = 3,5 года.

ЗАДАЧИ

1. Найти ежемесячный аннуитет, эквивалентный аннуитету 2 млн. руб. в квартал. Процентная ставка i_с = 5%. Ответ: 650000 руб.

2. Найти ежемесячный аннуитет, эквивалентный полугодовым выплатам 50 млн руб. при процентной ставке i_с =4%. Ответ: 7,91921561 млн.руб.

3. Аннуитет по 1,5 млн. руб. в квартал заменяется ежегодным платежом. Во сколько раз он будет большим при процентной ставке i_с =6% за год ? Ответ: 4,08 раза.

4. Преобразовать аннуитет с полугодовыми платежами по 10 млн. руб. в простой аннуитет если деньги стоят i_с =6%,. Ответ: 20,29 млн. руб.

5. Преобразовать общий аннуитет с ежеквартальными платежами по 5 млн руб. в простой аннуитет а) если деньги стоят i_с = 5%. Ответ: 20,37 млн.руб.

:

6. Иванов вносит 25 тыс. руб. в конце каждого месяца в фонд, возмещающий с процентной ставкой i_с = 3%. Какая сумма будет на счету у Иванова через 5 лет? Ответ: 132 728 руб.

7. Дом может быть куплен за 20 млн. руб. наличными и по 0,7 млн. руб. ежемесячно в течение 20 лет. Какой является стоимость дома наличными, если процентная ставка равна i_с = 5% в год? Ответ: 28,72353606 млн.руб.

8. Иванов имеет 10 млн. руб. в сберегательном банке, который выплачивает проценты по ставке i_с = 3%. Если он продолжит вкладывать по 1 млн. руб. в конце каждого квартала, какую сумму он будет иметь на счете через 5 лет? Ответ: 33,06673904 млн. руб.

9. По контракту будут делаться платежи по 250 тыс. руб. в конце каждых 6 месяцев в течение 10 лет и еще один платеж 10 млн. руб. в конце срока. Какова настоящая стоимость контракта, если деньги стоят i_с = 4% в год? Ответ: 10,7679726 млн. руб.

10. Заменить аннуитет по 10 млн. руб. в год на эквивалентный общий аннуитет, выплачиваемый поквартально, если процентная ставка равна i_с = 6% годовых. Ответ: 40,889077523

11. Цена автомобиля равна 27,5 млн. руб. наличными. Покупателю дается кредит на эту покупку за 9,5 млн. руб. Расчет должен быть произведен за 30 месяцев равными ежемесячными взносами. Какими будут эти платежи, если процентная ставка равна i_с = 5% годовых ? Ответ: 0,29834056 млн.руб.

12. Сумма 500 млн. руб. инвестируется сегодня для того, чтобы обеспечить человеку ежегодные поступления в течение 20 лет, первый платеж должен быть получен через 15 лет, начиная от сегодняшнего дня. Найти величину годовых поступлений, если процентная ставка равна i_с = 3%. Ответ: 52325,28 руб.

13. Долг 100 млн. руб. выплачивается посредством 48 равных ежемесячных взносов, первый делается через 25 месяцев от сегодняшнего дня. Какими будут платежи, если процентная ставка равна i_с = 5%. Ответ: 2,543840168 млн. руб.

14. Найти величину аннуитета, если наращенная сумма равна 25 млн руб., срок равен 10 лет и процентная ставка i_с = 5% годовых. Ответ: 1,987614374 млн. руб.

15. Некто будет выплачивать долг 60 млн. руб. с процентной ставкой i_с = 6% равными ежеквартальными платежами в течение 8 лет. Какими будут эти платежи? Ответ:23,511 млн. руб.

16. Известно, что оборудование нужно заменять через 15 лет после установки, стоимость замены 150 млн. руб. Какую сумму нужно инвестировать компании в конце каждого года для того, чтобы заменить оборудование, если инвестиции приносят проценты i_с = 4% годовых? Ответ: 7,491165056 млн. руб.

17. Цветной телевизор стоит 7,5 млн. руб. и покупается за 1,5 млн. руб. наличными и одинаковые ежемесячные взносы в течение 2,5 лет. Если процентная ставка равна i_с = 5%, какими будут платежи? Ответ: 0,157027016 млн. руб.

18. По страховому договору выплачивается пособие 100 млн руб. наличными или ежеквартальный аннуитет сроком 10 лет, эквивалентный этой сумме при i_с = 4%. Найти ежеквартальные платежи аннуитета. Ответ: 2,990907254 млн. руб.

Лекция 10

Ипотечные ссуды

Ипотечные ссуды – ссуды под залог недвижимости. Залог – один из основных способов обеспечения исполнения обязательств по займу. Залог – представляет собой комплекс правомочий кредитора в отношении части имущества должника. К ипотечным залогам, как правило, относят:

1) залог земли, недвижимости;

2) залог ценных бумаг (США).

Сравнивая между собой перечисленные типы залогов видно, что в первом случае в залог предлагаются фундаментальные ресурсы, которые невозможно спрятать, переместить и поэтому они имеют высокую степень надежности в обеспечении взятых должником обязательств по возврату займа. С этой точки зрения залог, представляющий ценные бумаги, для некоторых из них, например акций, имущественных паев или долей, так же имеют некоторые признаки фундаментальности, поскольку за ними (акции) в том числе могут стоять комплексы имущества и может быть даже недвижимого. Однако не менее важным свойством такого рода залога в виде ценных бумаг является высокая ликвидность, то есть возможность быстрой реализации залога. При этом, как и у любой ценной бумаги, существенную роль играют такие рыночные качества ценных бумаг как надежность, ликвидность.

Ипотека

Под ипотекой понимают:

1. Залог недвижимого имущества без передачи во владение залоговому кредитору.

2. Закладная – долговое обязательство о залоге.

Ссудные схемы с использованием ипотеки могут предусматривать различные варианты, например:

– ссуда с ростом платежей – предусматривает рост расходов по обслуживанию долга;

– ссуда с льготным периодом – в котором выплачиваются только проценты;

– ссуда с периодически изменяющейся процентной ставкой – каждые пять лет ставка пересматривается;

– ссуды с переменной процентной ставкой – процентная ставка привязывается к какому-либо финансовому показателю, например к ставке ЦБ, биржевому индексу и прочее.

Основные задачи при анализе ипотек – создание плана погашения долга и определение текущей задолженности на любой момент времени.