Пример на актуарный метод погашения задолженности по частям.
Ссуда в размере P = 3000 руб., выдана t0 = 10.02.2005 г. до конца года по ставке i = 18%. Задолженность по ссуде в течение срока ссуды погашалась четырьмя платежами 15.02 – 26 руб., 11.06 – 45 руб. , 01.09 – 260 руб. Определить сумму последнего платежа по ссуде.
К моменту первого платежа на исходную задолженность в P = 3000 руб. по ставке 18% за время t0 – t1 = 5 дней будет начислено I1 = P ´ i ´ (t0 – t1)/T = 3000 ´ 0,18 ´ 5/365 = 7,39 руб. Первый платеж q1 = 26 руб. больше начисленных процентов, следовательно он погасит начисленные проценты I1 и уменьшит тело исходной задолженности P до величины R1 = P – (q1 – I1) = 3000 – (26 – 7,39) = 2981,39 руб.
На эту сумму до момента второго платежа так же будет начислено I2 = R1 ´ i ´ (t2 – t1)/T =2981,39 ´ 0,18 ´ 116/365=170,55 руб.Второй платеж q2 = 45 руб. меньше начисленных процентов I2 = 170,55 руб., поэтому он не погашает ни начисленных процентов, ни уменьшает тело задолженности. Его величина q2 = 45 руб. будет учтена при осуществлении следующего, третьего платежа q3.
К моменту t3 осуществления третьего платежа q3= 260 руб. на текущую величину тела задолженности R1 = 2981,39 руб. (от момента её образования t1) будет начислено I3 = R1 ´ i ´ (t3 – t1)/T =2981,39 ´ 0,18 ´ 198/365=291,11 руб. Величины третьего платежа q3 = 260 руб. так же не хватает для погашения начисленных к этому моменту процентов I3 однако, с учетом второго платежа q2 = 45 руб. осуществленного ранее общей суммы средств q2 + q3 += 45+260 = 305 руб., уплаченных в погашение задолженности на периоде времени t3 – t1 оказывается достаточно и на погашение процентов I3, начисленных за этот период, q2 + q3 > I3 и на уменьшение тела задолженности R1. Таким образом, после третьего платежа q3 текущая задолженность R2 = R1 – (q2 + q3 - I3) = 2981,39 – (45 + 260 - 291,11) =2967,5 руб.
На величину оставшейся задолженности R2 = 2967,5 руб. до конца срока ссуды t (31.12.05) будут начислены проценты в размере I4 = R2 ´ i ´ (t3 – t)/T = 2967,5´ 0,18 ´ 121/365= 117,07 руб. Следовательно, окончательный, четвертый платеж q4 должен погасить и тело текущей задолженности R2 и начисленные проценты I4, то есть q4 = R2 + I4 = 2967,5 + 117,07 = 3144,57 руб.
Упражнения на актуарный метод погашения задолженности по частям.
1. Чему равен окончательный платеж в погашение задолженности размером 9 405 руб., выданной на срок 49 месяцев под простую ставку 13,5% годовых, если через полтора года был осуществлен промежуточный платеж в размере 220 руб. Ответ 14490,17 руб.
2. На какую величину снизится завершающий платеж по годовой задолженности в 7 805 руб. выданный под простую ставку 23,5%, если в начале третьего квартала заемщик выплатил кредитору 500 руб. Ответ: 29,37 руб.
Тест: актуарный способ погашения задолженности по частям.
Задолженность в размере P рублей., выдана под ставку i . Задолженность в течение года была погашена четырьмя платежами . Определить сумму последнего платежа по ссуде.
Примеры теста с ответами
| № | ссуда P | ставка i | начало t0 | срок первого платежа t1 | число дней t1-t0 | начисленные к t1 проценты | платеж q1 | проверка условия погашения процентов |
| № | P | i | t0 | t1 | It1 | q1 | ||
| 3000,00р. | 18,0% | 09.01.06 | 01.02.06 | 34,03р. | 26,00р. | 8,03р. | ||
| 5027,13р. | 29,3% | 06.02.06 | 16.02.06 | 40,35р. | 44,68р. | -4,33р. | ||
| 7925,89р. | 35,3% | 04.02.06 | 04.03.06 | 214,63р. | 233,49р. | -18,86р. |
продолжение таблицы
| тело задолженности после платежа t1 | срок второго платежа t2 | число дней t2-t1 | начисленные к t2 проценты | платеж q2 | проверка условия погашения процентов | тело задолженности после платежа t2 |
| 3000,00р. | 08.03.06 | 85,81р. | 45,00р. | 14,81р. | 3 000,00р. | |
| 5022,80р. | 16.04.06 | 237,89р. | 177,83р. | 60,06р. | 5 022,80р. | |
| 7907,03р. | 08.04.06 | 267,65р. | 78,72р. | 188,93р. | 7 907,03р. |
продолжение таблицы
| срок третьего платежа t3 | число дней t3-t2 | проценты начисленные к t3 | платеж q3 | проверка условия погашения процентов | тело задолженности после платежа t3 |
| t3 | It3 | q3 | R3 | ||
| 26.05.06 | 168,66р. | 260,00р. | -136,34р. | 2 863,66р. | |
| 03.07.06 | 552,38р. | 531,81р. | -157,26р. | 4 865,54р. | |
| 08.06.06 | 734,12р. | 955,08р. | -299,68р. | 7 607,35р. |
продолжение таблицы
| срок погашения ссуды t4 | число дней t4-t3 | проценты начисленные к t3 | завершающий платеж |
| It4 | q4 | ||
| 31.12.07 | 824,73р. | 3 688,39р. | |
| 31.12.07 | 2 132,55р. | 6 998,09р. | |
| 31.12.07 | 4 200,99р. | 11 808,34р. |
Варианты данных теста
| № | ссуда P | ставка i | начало t0 | срок первого платежа t1 | платеж q1 |
| № | P | i | t0 | t1 | q1 |
| 3 000,00р. | 18,0% | 16.01.06 | 03.02.06 | 26,00р. | |
| 3 354,87р. | 28,1% | 09.01.06 | 28.01.06 | 45,29р. | |
| 5 920,38р. | 27,0% | 07.02.07 | 11.02.07 | 9,19р. | |
| 8 743,34р. | 43,4% | 21.01.07 | 30.01.07 | 95,49р. | |
| 7 880,82р. | 49,7% | 11.01.06 | 19.01.06 | 35,81р. | |
| 7 508,20р. | 53,3% | 27.01.06 | 19.02.06 | 359,54р. | |
| 10161,69р. | 52,1% | 18.01.07 | 27.01.07 | 34,58р. | |
| 8 192,19р. | 69,6% | 21.01.06 | 15.02.06 | 413,52р. | |
| 10019,55р. | 47,2% | 02.01.06 | 18.01.06 | 260,17р. | |
| 5 810,85р. | 55,8% | 04.01.07 | 12.01.07 | 115,07р. | |
| 6 843,60р. | 25,8% | 02.01.07 | 27.01.07 | 192,33р. | |
| 7 250,52р. | 24,7% | 13.01.07 | 21.01.07 | 31,75р. | |
| 5 198,34р. | 22,2% | 05.01.06 | 18.01.06 | 77,89р. | |
| 6 037,67р. | 33,8% | 14.01.07 | 01.02.07 | 178,15р. | |
| 8 613,59р. | 34,2% | 11.01.06 | 07.02.06 | 294,46р. | |
| 8 576,75р. | 22,4% | 02.01.06 | 12.01.06 | 36,71р. | |
| 9 967,24р. | 22,3% | 19.01.06 | 08.02.06 | 140,94р. | |
| 6 083,26р. | 28,3% | 26.01.06 | 15.02.06 | 107,64р. | |
| 3 400,98р. | 21,7% | 20.01.06 | 02.02.06 | 14,67р. | |
| 3 224,32р. | 28,6% | 28.01.06 | 15.02.06 | 61,83р. | |
| 6 048,41р. | 24,3% | 23.01.07 | 16.02.07 | 142,64р. | |
| 7 543,90р. | 25,3% | 10.01.06 | 02.02.06 | 45,37р. | |
| 3 394,49р. | 32,9% | 09.01.06 | 16.01.06 | 26,71р. | |
| 4 558,16р. | 19,3% | 06.01.06 | 28.01.06 | 54,26р. | |
| 5 459,95р. | 35,8% | 20.01.06 | 10.02.06 | 20,31р. | |
| 7 620,66р. | 49,5% | 07.02.06 | 27.02.06 | 180,72р. | |
| 7 291,93р. | 38,8% | 02.02.06 | 20.02.06 | 55,29р. | |
| 4 385,45р. | 22,3% | 05.01.06 | 18.01.06 | 39,09р. | |
| 3 891,35р. | 38,3% | 28.01.07 | 07.02.07 | 24,86р. | |
| 4 331,28р. | 32,2% | 05.02.06 | 06.02.06 | 3,58р. | |
| 7 271,94р. | 29,6% | 11.01.06 | 13.01.06 | 8,54р. |
продолжение таблицы данных
| № | срок второго платежа t2 | платеж q2 | срок третьего платежа t3 | платеж q3 | срок погашения ссуды t4 |
| № | t2 | q2 | t3 | q3 | |
| 16.03.06 | 45,00р. | 22.05.06 | 260,00р. | 31.12.07 | |
| 14.02.06 | 174,37р. | 12.03.06 | 38,79р. | 31.12.07 | |
| 20.02.07 | 51,45р. | 15.03.07 | 86,66р. | 31.12.07 | |
| 11.02.07 | 183,52р. | 09.04.07 | 647,52р. | 31.12.07 | |
| 26.02.06 | 781,77р. | 01.03.06 | 34,92р. | 31.12.07 | |
| 06.04.06 | 301,73р. | 08.06.06 | 1618,75р. | 31.12.07 | |
| 17.02.07 | 557,46р. | 29.03.07 | 968,68р. | 31.12.07 | |
| 04.03.06 | 52,27р. | 18.05.06 | 2104,49р. | 31.12.07 | |
| 24.02.06 | 200,72р. | 29.03.06 | 425,16р. | 31.12.07 | |
| 08.03.07 | 558,57р. | 31.03.07 | 45,33р. | 31.12.07 | |
| 16.02.07 | 64,48р. | 05.04.07 | 239,76р. | 31.12.07 | |
| 13.02.07 | 264,90р. | 04.04.07 | 134,95р. | 31.12.07 | |
| 07.03.06 | 122,49р. | 16.05.06 | 190,96р. | 31.12.07 | |
| 21.02.07 | 57,62р. | 10.03.07 | 177,64р. | 31.12.07 | |
| 25.03.06 | 612,49р. | 27.05.06 | 283,47р. | 31.12.07 | |
| 16.02.06 | 204,21р. | 05.04.06 | 101,26р. | 31.12.07 | |
| 10.03.06 | 152,83р. | 19.04.06 | 154,05р. | 31.12.07 | |
| 16.03.06 | 127,83р. | 22.04.06 | 317,96р. | 31.12.07 | |
| 21.02.06 | 33,76р. | 09.05.06 | 294,68р. | 31.12.07 | |
| 25.03.06 | 153,49р. | 06.06.06 | 216,41р. | 31.12.07 | |
| 05.03.07 | 104,32р. | 15.04.07 | 127,27р. | 31.12.07 | |
| 13.03.06 | 450,79р. | 21.04.06 | 142,93р. | 31.12.07 | |
| 10.03.06 | 242,28р. | 03.04.06 | 63,06р. | 31.12.07 | |
| 08.02.06 | 34,81р. | 08.05.06 | 218,87р. | 31.12.07 | |
| 06.04.06 | 247,22р. | 17.05.06 | 447,26р. | 31.12.07 | |
| 15.04.06 | 862,11р. | 26.06.06 | 608,08р. | 31.12.07 | |
| 05.04.06 | 303,54р. | 16.06.06 | 1184,47р. | 31.12.07 | |
| 16.03.06 | 64,51р. | 29.05.06 | 424,47р. | 31.12.07 | |
| 08.02.07 | 53,77р. | 15.04.07 | 509,78р. | 31.12.07 | |
| 27.02.06 | 41,13р. | 21.03.06 | 96,58р. | 31.12.07 | |
| 18.02.06 | 259,08р. | 19.03.06 | 187,88р. | 31.12.07 |
Правило торговца».
Правило торговца: база начисления процентов P (первоначальная сумма долга) остается неизменной в течение всего срока задолженности и проценты на нее начисляются за весь срок t по простой ставке i. Частичные платежи q в погашение долга учитываются в конце срока задолженности, причем учитываются вместе с процентами, начисленными на них по ставке долга i . Начисление процентов на частичные платежи q1, q2, q3 в погашение долга осуществляется по правилу начисления простых процентов. Окончательный платеж Q в погашение задолженности равен разности между суммой долга P с начисленными на него за весь срок t процентами I(p) и суммой всех промежуточных платежей q с процентами I(q), которые начислены на каждый платеж q по ставке долга i с момента осуществления промежуточного платежа q до конца срока задолженности t.
Q = (P + I(p)) – 
(q + I(q)).