Простая средняя арифметическая

`х – простая средняя арифметическая;

х₁, х₂, …, х_n – значения (варианты) некоторой совокупности;

n – количество вариант;

Средняя арифметическая взвешенная

, где

`х – средняя арифметическая взвешенная;

х₁, х₂, …, х_n – значения (варианты) некоторой совокупности;

f₁, f₂, …, f_n – частоты, веса варьирующего признака.

Средней арифметической взвешенной пользуются в тех случаях, когда каждый из двух показателей ее определяющих находится как сумма произведений или как простая сумма заданных значений совокупности.

Средняя гармоническая

, где

`х_гар – средняя гармоническая;

х₁,х₂,…,х_n – значения (варианты) некоторой совокупности;

f₁, f₂, …, f_n – частоты, веса варьирующего признака.

Средней гармонической пользуются в тех случаях, когда хотя бы один из двух показателей, ее определяющих, находится как сумма обратных величин варьирующих признаков совокупности.

Пример 1.Имеется информация об урожайности пшеницы по трем бригадам колхоза за два периода

Номер бригады	Годы
Базисный год	Отчетный год
Урожайность с 1 га, в ц	Посевная площадь в га	Урожайность с 1 га, в ц	Посевная площадь в га
	30,5		35,4	885,0
	20,8		29,7	891,0
	30,6		48,9	1369,0

Определить:

а) Среднюю урожайность пшеницы по колхозу для каждого года;

б) Как изменилась средняя урожайность в отчетном году по сравнению с базисным периодом (в абсолютных и относительных величинах);

в) Какие формулы средних применялись, и дать обоснования их применения.

Решение.

Величину средней урожайности определяют два показателя: валовой сбор и посевная площадь.

Для базисного года валовой сбор определяется как сумма произведений урожайности х_i по бригадам на посевную площадь (f_i) соответствующей бригады. Посевная площадь по колхозу определяется как простая сумма площадей (f_i) трех бригад, а это означает, что средняя урожайность пшеницы по колхозу в целом определяться как средняя арифметическая взвешенная.

=(250×30,5+300×20,8+

280×30,6)/(250+300+280)=22433/830=27(ц. с га)

Для отчетного года валовой сбор по колхозу определяется как простая сумма валового сбора (f_i) по бригадам. Для нахождения посевной площади колхоза необходимо валовой сбор (f_i) по каждой бригаде разделить на урожайность (х_i) и результаты просуммировать. Т.е. второй показатель находится как сумма обратных величин варьирующего признака. По определению следует, что средняя урожайность за отчетный год определяется по формуле средней гармонической.

=(885+891+1369)/

(885/35,4+891/29,7+1369/48,9)=3145/83=37,9(ц. с га)

Для определения изменения урожайности в отчетном году по сравнению с базисным воспользуется понятием абсолютных и относительных величин. Абсолютное изменение средней урожайности определится как разность средней урожайности отчетного периода и средней урожайности базисного периода и составит 37,9-27=10,9 (ц. с га), т.е. урожайность увеличилась на 10,9 ц с га.

Относительное изменение средней урожайности по отношению к базисному году составило 37,9/27=1.404 или 140,4%.

То есть, средняя урожайность по колхозу выросла в 1,4 раза или на 40,4%.

Средняя геометрическая

=

`– средняя геометрическая;

х₁, х₂, …, х_n – значение (варианты) некоторой совокупности;

n – количество, вариант;

П – знак произведения.

При применении средней геометрической индивидуальные значения признака представляют собой, как правило, относительные величины динамики, построенные в виде данных величин (подробнее будет рассмотрено в разделе рядов динамики).

Средняя квадратическая:

- Простая средняя квадратическая s=

- Взвешенная средняя квадратическая s=

s – средняя квадратическая;

х_i – значение (варианты) некоторой совокупности, где i принимает значение от 1 до n (i = );

n – количество вариант;

f_i - частота (вес) варьирующего признака (i = );

`х – средняя арифметическая (простая или взвешенная);

Величина, находящаяся под квадратным корнем, называется дисперсией (s² = D) и определяется как средняя арифметическая (простая или взвешенная).

Средней квадратической пользуются для измерения степени колеблемости некоторого признака.

Для сравнения колеблемости признаков имеющих неодинаковую размерность удобно применять коэффициента вариации (v );

V=(s/`х )×100%

Это уже относительная величина выраженная в процентах.