Методы расчета стоимости опционов на ценные бумаги

На сегодняшний день существуют определенные методы оценки опционов на ценные бумаги (которые мы рассмотрим ниже), но так как и опционы на ценные бумаги и реальные опционы обладают одними и теми же характеристиками, то к расчету стоимости вторых можно применить методику расчета стоимости первых.

Биномиальная модель

Наиболее известная дискретная временная модель – это биномиальная модель, разработанная в конце 1970-х гг.

Биномиальные модели предполагают, что основная случайная переменная (цена базисного актива, лежащего в основе опциона) характеризуется биномиальным распределением. Применение бино­миальных моделей к ценообразованию опционов подразумевает моделирование цены актива, лежащего в основе опциона, как би­номиального процесса для определения распределения этой пере­менной на момент исполнения. Затем рассчитывается будущая стои­мость опциона и дисконтируется к настоящей (текущей) стоимости. Таким образом, определяется текущая цена опциона.

Допустим, что в конце года цена базисного актива либо поднимется, либо упадет по сравнению с первоначальным уровнем:

Рис. 2. Одноуровневое биномиальное дерево цены базисного актива и стоимости опциона

На рисунке 1 введены следующие условные обозначения:

– стоимость базисного актива в начальный момент времени;

– стоимость базисного актива через единичный период времени в случае повышения цены;

– стоимость базисного актива через единичный период времени в случае понижения цены;

– стоимость опциона в начальный момент времени;

– цена исполнения опциона;

– цена опциона через единичный период времени в случае повышения стоимости базисного актива (как она рассчитывается, указано чуть ниже);

– цена опциона через единичный период времени в случае понижения стоимости базисного актива (как она рассчитывается, указано чуть ниже).

Заметим, что – это коэффициент движения вверх стоимости базисного актива (1 + относительный прирост стоимости), а – это коэффициент движения вниз стоимости базисного актива (1 – относительное падение стоимости). При этом накладывается ус­ловие, что стратегия вложения средств в опционы является безрис­ковой и ставка дохода по опциону также является безрисковой.

Расчет справедливой стоимости опциона в рамках одноуровне­вой биномиальной модели производится по следующей формуле:

,

где – стоимость опциона;

– цена опциона через единичный период времени в случае повышения стоимости базисного актива (Цена опциона «колл» в таком случае будет равна разнице между стоимостью базисного актива через единичный период времени и его текущей стоимостью, стоимость опциона «пут» в таком случае равна нулю, т. к. исполнять его не имеет смысла. Предполагается, что цена исполнения опциона – текущая стоимость базисного актива.);

– цена опциона через единичный период времени в случае понижения стоимости базисного актива (Цена опциона «пут» в таком случае будет равна разнице между текущей стоимостью базисного актива и его стоимостью через единичный период времени, стоимость опциона «колл» в таком случае равна нулю, т. к. исполнять его не имеет смысла. Предполагается, что цена исполнения опциона – текущая стоимость базисного актива.);

– коэффициент движения вверх стоимости базисного актива (1 + относительное прирост стоимости базисного актива);

– коэффициент движения вниз стоимости базисного актива (1 – относительное падение стоимости базисного актива);

– коэффициент наращения по безрисковой ставке (1 + безрисковая ставка процента).

Упростим приведенное выше выражение, приняв за вероятность повыше­ния цены базисного актива, а вероятность понижения цены за :

,

,

В приведенных выше рассуждениях предполагалось, что время между настоящим моментом и моментом исполнения опциона бы­ло разделено лишь на один период. Однако биномиальный подход можно обобщить таким образом, что срок действия опциона может быть разделен на любое количество временных периодов или биномиальных испытаний.

Независимо от количества биномиальных испытаний используется один и тот же принцип для нахождения стоимости опциона в каждом узле дерева, начиная от момента исполнения опциона к настоящему временному периоду и, таким образом, к текущей цене опциона.

Пример.

Необходимо определить стоимость реального европейского опциона «колл» (или же стоимость инвестиционного проекта), которым обладает компания. Реальный опцион состоит в возможности реализации инвестиционного проекта по производству и реализации наукоемкой продукции.

Исходные данные:

- предполагаемое движение вверх цены базисного актива = движение вверх стоимости наукоемкой продукции = 70%;

- предполагаемое движение вниз цены базисного актива = движение вниз стоимости наукоемкой продукции = 40%;

- текущая стоимость базисного актива = цена исполнения опциона = совокупные расходы на реализацию проекта = стоимость наукоемкой продукции (или же совокупные доходы от проекта) = 10 ден. ед.;

- безрисковая процентная ставка = 8%.

Решение:

Для начала рассчитаем вероятность повышения цены базисного актива (наукоемкой продукции):

= = 0,4364 (или 43,64%)

= 56,36%

Исходя из условий задачи, в случае повышения цены, базисный актив (наукоемкая продукция) через единичный период времени будет стоить на 70% больше или 17 ден. ед., т. е. цена опциона «колл» составит 7 ден. ед. (17 – 7 = 7), т. к. именно такую прибыль принесет его исполнение.

Исходя из условий задачи, в случае понижения цены, базисный актив (наукоемкая продукция) через единичный период времени будет стоить на 40% меньше или 6 ден. ед., цена опциона в таком случае будет равна нулю (т. к. смысла его исполнять не будет).

Для определения стоимости опциона (инвестиционного проекта) применим формулу, приведенную выше:

= = 2,83 ден. ед.

Модель Блэка-Шоулза

Если временной интервал между испытаниями становится бесконечно малым, т. е. торговля, в сущности, происходит непрерывно, то биномиальная модель стано­вится моделью Блэка-Шоулза. Исходной предпосылкой модели выступает нормальное распределение вероятностей.

На базе этой посылки составляется основная формула модели (относительно европейского опциона «колл»):

,

где – стоимость опциона (в случае, когда мы оцениваем акционерный капитал какой-либо компании – это стоимость акционерного капитала, в случае, когда мы оцениваем стоимость инвестиционного проекта – это стоимость инвестиционного проекта);

– текущая стоимость базисного актива (в случае, когда мы оцениваем акционерный капитал какой-либо компании – это текущая стоимость активов компании, в случае, когда мы оцениваем стоимость инвестиционного проекта – это текущая стоимость товаров (работ, услуг), реализация (оказание, выполнение) которых и принесет предполагаемый доход от инвестиционного проекта (или же совокупные доходы от инвестиционного проекта));

– цена исполнения опциона (в случае, когда мы оцениваем акционерный капитал какой-либо компании – это сумма долга с процентами, в случае, когда мы оцениваем стоимость инвестиционного проекта – это стоимость реализации инвестиционного проекта (или же совокупные расходы на реализацию инвестиционного проекта));

= 2,7183;

, – вероятности того, что при нормальном распределении со средней величиной равной нулю и стандартным отклонением равным единице, результат будет соответственно меньше и [27];

;

;

где – безрисковая процентная ставка;

– дивидендная доходность по базисному активу (в случае, когда мы оцениваем акционерный капитал какой-либо компании – это дивиденды, которые выплачиваются акционерам (в процентах), в случае, когда мы оцениваем стоимость инвестиционного проекта – дивидендная доходность равна стоимости задержки реализации инвестиционного проекта (в процентах). Например, у компании есть возможность осуществить определенный инвестиционный проект в течение следующих 10 лет. Сумма совокупных доходов от этого проекта напрямую зависит от того, в какой момент в течение этих 10 лет, компания начнет реализацию проекта, т. е. каждый год (день, месяц) будет означать потерю части доходов от проекта. В этом случае отсрочка равная 1 году в реализации инвестиционного проекта приведет к потере 10% доходов. Таким образом, дивидендная доходность будет равна 10%. В случае, когда отсрочка в реализации инвестиционного проекта в рамках срока действия опциона не повлияет на совокупные доходы (не приведет к потерям доходов) от проекта, дивидендная доходность равна нулю);

– стандартное отклонение вероятностей ( – дисперсия) (в случае, когда мы оцениваем акционерный капитал какой-либо компании – это дисперсия стоимости активов компании, в случае, когда мы оцениваем стоимость инвестиционного проекта – это дисперсия совокупных доходов от инвестиционного проекта);

– срок действия опциона, годы (в случае, когда мы оцениваем акционерный капитал какой-либо компании – это дюрация долга компании, в случае, когда мы оцениваем стоимость инвестиционного проекта – это количество лет, в течение которого еще возможна реализация инвестиционного проекта).

Пример.

У компании есть возможность начать и осуществить определенный инвестиционный проект в течение следующих 15 лет. Стоимость затрат на запуск и осуществление этого инвестиционного проекта составляет 550 000 ден. ед. Приведенная стоимость доходов, которые могут быть получены от реализации этого проекта оценивается в 450 000 ден. ед. Но существует вероятность того, что продукция выпускаемая в рамках этого проекта будет пользоваться большим спросом. В таком случае, денежные потоки по проекту могут возрасти. Дисперсия денежных потоков оценивается в 0,25. Безрисковая ставка процента составляет 8%. Дивидендная доходность равна 0.

Необходимо определить стоимость реального опциона, которым обладает компания, используя модель Блэка-Шоулза.

Решение:

- стоимость базисного актива = приведенная стоимость доходов от проекта = = 450 000 ден. ед.;

- цена исполнения опциона = стоимость запуска и осуществления проекта = = 550 000 ден. ед.;

- срок действия опциона = = 15 лет;

- дисперсия стоимости базисного актива = = 0,25;

- дивидендная доходность по базисному активу = = 0;

- безрисковая ставка процента = = 8%.

Сначала рассчитаем и :

= = 1,4843

= = - 0,4522

= 0,9311, = 0,3256

Теперь рассчитаем стоимость опциона:

= = 365 078,74 ден. ед.