Понятие диверсификации портфеля. Создание эффективного инвестиционного портфеля Марковица.

-1-

Теория основывается на экономической теории финансов, теории вероятности и математической статистике.

Эффективный и оптимальный портфели.

Инвесторы, формируя портфель, стремятся максимизировать ожидаемую до­ходность своих инвестиций при определенном, приемлемом для них уровне риска. Портфель, удовлетворяющий этим требованиям, называется эффективным портфелем.

Для построения эффективного портфеля необходимо сделать ряд предположе­ний о принципах принятия инвестиционных решений. Прежде всего будем считать, что инвестор избегает риска, т.е. из двух вариантов инвестирования с одинаковой ожидаемой доходностью, но различными уровнями риска он выберет тот, риск которого меньше.

Если инвестор стоит перед выбором одного из эффективных портфелей, то оптимальным портфелембудет наиболее предпочтительный из них.

Функция полезности и кривые безразличия.

В экономике часто встречаются ситуации, когда субъект (физическое лицо или фирма) должен выбрать одну из альтернатив. Существует экономическая теория, которая занимается изучением процесса выбора, используя так называемую функ­цию полезности. Функция полезностиописывает правило, по кото­рому каждому из возможных вариантов выбора приписывается некоторое числовое значение. Чем больше это значение, тем больше «полезность» данного варианта выбора. Говоря проще, в теории портфеля функция полезности выражает предпоч­тения субъекта при определенных отношении к риску и представлениях об ожида­емых доходностях.

В графической форме функцию полезности отражают кривые безразличия. На рисунке 8.1 они обозначены через и₁, и₂, и₃. На горизонтальной оси откладывается значение риска, а на вертикальной — ожидаемые доходности. Кри­вые представляют

собой наборы портфелей с различными комбинациями риска и доходности. Точки одной такой кривой определяют значение риска и доходности для данного уровня полезности. Рассмотрим, например, два портфеля и и и ' на кривой и₁ Портфель и имеет большую доходность, но и больший по сравнению с u' риск. При этом инвестору безразлично, какой из них выбирать. Наклон кривой безразли­чия означает, что с ростом риска инвестор требует его компенсации большей до­ходностью.

Чем выше лежит кривая, тем больше полезность, поскольку по вертикали отложены доходности. Таким образом, из трех кривых на рисунке 8.1 кривая и₃ имеет наибольшую полезность, а и₁ — наименьшую.

Рисковые активы — это активы, доходность которых в будущем неопределенна. Активы, будущая доходность которых известна в момент пога­шения, существуют. Такие активы называются безрисковыми активами. Как правило, это краткосрочные правительственные облигации.

-2-

Определение доходности портфеля за один период.

Доходность портфеля активов за фиксированный период определяется, по сле­дующей формуле:

R_P=w₁R₁+ w₂R₂+…+ w_GR_G, (8.1)

где R_р — доходность портфеля р за период;

R_g — доходность актива g за период;

w_g — вес актива g в портфеле (т.е. доля рыночной стоимости актива g в общей рыночной стоимости всего портфеля);

G — число активов в портфеле.

Кратко уравнение (8.1) записывается следующим образом:

с, (8.2)

Выражение (8.2) показывает, что доходность портфеля, состоящего из С ак­тивов (К_р), равна сумме всех взвешенных доходностей отдельных активов, входя­щих в портфель. Доходность портфеля, определенную выше, иногда называют до­ходностью за период владения или реализованной доходнос­тью.

Ожидаемая доходность портфеля рисковых активов

Уравнение (8.1) определяет реализованную доходность портфеля за некото­рый промежуток времени. Управляя портфелем, инвестор обычно желает знать его ожидаемую доходность. Ожидаемая доходность портфеля — это взвешенная сумма ожидаемых доходностей активов, входящих в портфель. При этом вес ожидаемой доходности каждого актива определяется как доля рыночной стоимости отдельно­го актива в общей рыночной стоимости портфеля. Таким образом:

Е(R_р)=w₁E(R₁)+w₂E(R₂)+…+w_GE(R_G), (8.3)

I

Выражение Е(R_р) означает ожидаемое значение величины, поэтому Е(R_Р) иног­да называют ожидаемой доходностьюпортфеля за определенный период.

Ожидаемая доходность рискового актива вычисляется следующим образом. Сначала задается распределение вероятностей для возможных значений реализован­ной доходности. Распределение вероятностей — это функция, сопоставляющая каж­дое возможное значение доходности и вероятности его реализации. При заданном распределении вероятности ожидаемое значение случайной величины есть взвешен­ное среднее ее возможных значений, причем роль весов играет вероятность реали­зации этих значений. Вместо термина «ожидаемое значение доходности актива» мы будем пользоваться термином ожидаемая доходностьактива. Мате­матически ожидаемая доходность актива выражается следующим образом:

Е(R_i)=p₁ r₁+p₂ r₂+…+p_N r_N,, (8.4)

где r_n – n-е возможное значение доходности i-го актива;

p_n – вероятность реализации значения доходности n для i-го актива;

N – число возможных значений доходности.

Определение риска портфеля.

Принятое в инвестиционном менеджменте уточнение понятия риска было сформулировано Марковицем. Он определил риск при помощи хорошо изве­стной статистической величины — вариации как меры возможных отклонений от ожидаемого (среднего) значения.

Использование вариации для измерения риска.

Вариация, или дисперсия, случайной величины служит мерой разброса ее значений вокруг среднего значения. Для доходности (как случайной величины) вариация, оценивающая «степень отклонения» возможных конкретных значений от средней или ожидаемой доходности, служит мерой риска, связанного с данной доходностью.

Формула для определения вариации доходности 1-го актива записывается сле­дующим образом:

, (8.5)

или

(8.6)

Таким образом, вариация учитывает не только размер отклонений возможных значений доходности от среднего, но и вероятность такого отклонения. В этом смысле дисперсия указывает меру неопределенности в ожиданиях инвестора, который оце­нивает будущую доходность как среднюю по всем возможным значениям. Это об­стоятельство и позволило Марковичу считать дисперсию доходности мерой риска инвестиций.

Стандартное отклонение.Поскольку вариация имеет размерность квадрата измеряемой величины, ее принято преобразовывать в стандартное отклонение, т.е. извлекать квадратный корень:

SD(R_i)= , (8.7)

Так как эти два понятия, по сути, эквивалентны, то говорят, что риск инве­стиций тем больше, чем больше вариация, или стандартное отклонение.

Критика вариации как меры риска.Существуют два довода против исполь­зования вариации в качестве меры риска. Первый — вариация учитывает отклоне­ние в обе стороны по отношению к среднему значению. Действительно, реализо­ванная доходность может быть как выше, так и ниже среднего значения, при этом первый случай также вносит вклад в величину вариации и, следовательно, риска. Инвестор же не расценивает превышение реальной доходности над ожидаемой как неприятный результат. Напротив, он только приветствует такой исход дела. Поэто­му многие исследователи считают, что при измерении риска не должны рассмат­риваться случаи, когда возможная доходность выше ожидаемой.

Марковиц понимал этот недостаток вариации и предлагал меру риска, кото­рая учитывала лишь случаи снижения доходности по отношению к среднему значе­нию. Эту меру называют полувариацией. Полувариация рассчитывает­ся как обычная вариация кроме тех случаев, когда доходность выше ожидаемой доходности. Однако сложности вычисления, связанные с использованием полува­риации, привели к тому, что в своих работах Марковиц был вынужден ограничиться обычной вариацией.

В настоящее время при измерении риска снижения стоимости ценной бумаги финансисты-практики пользуются обоими понятиями.

Второй довод, относящийся к недостаткам вариации как меры риска, состо­ит в том, что она нечувствительна к асимметричности распределения отклонений от среднего значения. В случае несимметричных распределений приходится пользо­ваться другими характеристиками типа коэффициента асимметрии и т.п. Марко­виц не рассматривал подобные характеристики в своей теории. Использование вариации можно оправдать, основываясь на эмпирических исследованиях, под­тверждающих относительную симметричность статистических распределений доходностей акций. Поскольку считается, что для принятия решения инвестор рас­сматривает только ожидаемую доходность и вариацию, теория портфеля в фор­мулировке Марковица получила название двухпараметрической модели.

Измерение риска портфеля из двух активов.

Формула (8.5) дает вариацию отдельного актива. Найти вариацию портфеля из двух активов не намного сложнее. Она зависит не только от вариации двух акти­вов, но и от «степени согласованности» в поведении доходностей активов.

Вариация портфеля имеет вид:

, (8.8)

где cov (Ri, Rj) — ковариация доходностей активов i и j.

Смысл уравнения (8.8) состоит в том, что вариация доходности портфеля равна взвешенной сумме взвешенных вариаций доходностей двух активов и их ковариации.

Ковариация. Понятие ковариации еще не встречалось в наших обсуждениях. Это — математический термин. В данном контексте он означает степень взаимосвя­зи доходностей двух активов. Для измерения ковариации нет таких специальных еди­ниц, как, например, доллары или проценты. Положительная ковариация означает, что доходности обоих активов изменяются (в среднем) в одном направлении, а от­рицательная — в противоположном. Ковариация двух активов рассчитывается при помощи следующей формулы:

(8.9)

где r_in — л-е возможное значение доходности актива i;

r_jn — л-е возможное доходности актива j;

р_п — вероятность реализации л-го значения доходности для активов i, j;

N — число возможных значений доходности.

Связь между ковариацией и корреляцией. Понятие корреляции между доходностями активов аналогично понятию их ковариации. Корреляция доходностей активов i и j определяется как ковариация двух активов, деленная на произведение их стандартных отклонений:

(8.10)

Существенного различия между терминами «корреляция» и «ковариация» нет. Деление ковариации на результат стандартного отклонения просто нормирует ко-вариацию, превращая ее в безразмерный показатель — коэффициент.

Коэффициент корреляции принимает значение в промежутке от —1 до +1. При этом значение, равное +1, отражает полное совпадение направления движения, а —1 означает полное несовпадение.

Расчеты по статистическим данным.. При расчетах ожидаемых значений или стандартного отклонения, ковариации и корреляции, мы исходили из известного распределения вероятностей для двух акций. С этой точки зрения они действительно «ожидаемые величины». На практике оценка этих величин получается, исходя из статистических наблюде­ний за доходностью.

Измерение риска портфеля, состоящего из более чем двух активов

Вычисление риска в данном случае осуществляется по той же схеме, что и для портфеля из двух активов. Так, для портфеля из трех акций i, j и k риск задается выражением:

(8.11)

Использование статистических данных для оценки характеристик активов.

Для оценки активов (ожидаемой доходности и риска) портфельная теория использует статистические данные. Основное предполо­жение состоит в том, что эти оценки дают достаточно точное приближение к ис­тинным значениям оцениваемых характеристик. Менеджер может вносить поправ­ки в эти оценки, если его анализ показывает возможность значительного расхож­дения реальных значений и оценок, полученных по статистическим данным.

Статистическая доходность рассчитывается либо по данным за месяц, либо за неделю. Независимо от используемого временного интервала формула для вычис­ления статистической доходности выглядит следующим образом:

= (8.12)

-3-

Часто можно слышать, как инвесторы обсуждают диверсификацию своих пор­тфелей. Под этим термином подразумевается такой способ построения портфеля, при котором уменьшается его риск без снижения доходности. Это, в конечном сче­те, и есть та цель, которую преследует любой инвестор. Другое дело, как он может ее достичь.

Некоторые инвесторы считают, что портфель можно диверсифицировать, вклю­чив в него как можно большее число активов разных классов. Например, по их мнению, можно диверсифицировать портфель, включив в него акции, облигации и недвижимость.

Инвесторы, в центре внимания которых находится только один класс акти­вов, например обыкновенные акции, утверждают, что их портфели также могут быть диверсифицированными. Это означает, что инвестор не должен вкладывать средства в акции только одной компании, напротив, его портфель должен вклю­чать акции многих корпораций. В этом случае требуется ответить на несколько вопросов. Во-первых, какие именно компании должны быть представлены в пор­тфеле? Во-вторых, сколько акций каждой корпорации должно быть в таком порт­феле?

До того как теория портфеля получила свое развитие, инвесторы не владели аналитическими средствами для ответа на эти вопросы. Главная заслуга теории пор­тфеля состоит в возможности получения количественной меры диверсификации с целью достижения максимальной выгоды.

Наивная диверсификация.

Стратегия наивной диверсификациисостоит в том, что инвестор просто вкладывает средства в некоторое количество различных акций или типов активов и надеется, что вариация ожидаемой доходности портфеля будет мала. Наивную диверсификацию можно отнести к типу деятельности, которую Алексан-дер и Френсис назвали «финансовым декорированием». В этом случае цель инвес­тиционного консультанта состоит в построении портфеля, в максимальной степеи отражающего «финансовую индивидуальность» клиента-инвестора. Как отмеча­ют Александер и Френсис, консультант — «финансовый декоратор» считает, что каждый тип инвестора имеет свои «предпочтения», которые могут быть полностью удовлетворены достаточно тонкой «подгонкой» портфеля под эти «предпочтения». Например, вдовы обычно заинтересованы в постоянных доходах, поэтому они инвестируют средства в активы с низким уровнем риска и высокими дивидендами. При этом немного или совсем не уделяется внимания уровню корреляции активов внутри этой категории. Концентрация инвестиций в единственной категории акти­вов приводит к большому риску, поскольку внутри каждой категории обычно вы­сока ковариация доходностей активов. Как правило, их доходности одновременно растут, но одновременно и падают. Поэтому существуют другие, лучшие способы диверсификации.

Стратегия диверсификации Марковица

В центре внимания стратегии диверсификации Марковицапрежде всего находится уровень ковариации доходностей активов портфеля. Ключевой вклад Марковица состоит в постановке вопроса о риске активов как составляющих единого портфеля, а не отдельно взятых единиц.

Данная стратегия, стремясь к максимально возможному снижению риска при сохранении требуемого уровня доходности, состоит в выборе таких активов, доход­ности которых имели бы возможно меньшую положительную корреляцию. Именно учет взаимной корреляции доходностей активов с целью снижения риска отличает стратегию диверсификации Марковица от стратегии наивной диверсификации.

Способ диверсификации Марковица и важность корреляции активов можно проанализировать на примере портфеля из двух активов. Для этого мы сначала по­кажем общую взаимосвязь ожидаемого риска портфеля из двух активов и корреля­ции их доходностей. Затем мы изучим влияние комбинирования активов с различ­ными корреляциями на риск всего портфеля.

Риск портфеля и корреляция. Предположим, что наш портфель из двух активов включает обыкновенные акции С и П, имеющие следующие значения ожи­даемых доходностей и стандартного отклонения:

Акция С: Е(R) = 10%, SD(R) = 30%;

Акция D: Е(R) = 25%; SD(R) = 60%.

Если вес каждой акции равен 50%, то ожидаемая доходность портфеля равна:

Е(R_р) = 0,50(10%) + 0,50(25%) = 17,5%,

а вариация доходности портфеля из двух активов, согласно выражению, составляет:

var(R_p) (8.13)

Из выражения (8.10) следует, что:

(8.14)

откуда:

cov (R_C,R_D)=SD(R_C)SD(R_D)cor(R_C,R_D).

Поскольку SD (R_C)=30%; SD(R_D)=60%,

то:

cov(R_C,R_D)=(30%)(60%)cor(R_C,R_D).

var(R_p)=(0,5)²⁽30%)²+(0,5)²(60%)²+2(0,5)(0,5))(30%)(60%)cor(R_C,R_D);

Влияние корреляции доходностей активов на риск всего портфеля. Как может измениться риск нашего портфеля из двух активов с изменением корреля­ции доходностей, его составляющих? Рассмотрим три случая, когда соr(К_с, К₀) равна +1, 0 и — 1. Подстановкой в уравнение данных для каждого из трех случаев получаем:

Cor(R_CR_D) Е(R_р) SD(R_р)

+ 1,0 17,5% 45,0%

0,0 17,5 35,0%

-1,0 17,5 15,0%

Поскольку корреляция ожидаемых доходностей акций С иD снижается с +1 до 0 и — 1, стандартное отклонение ожидаемой доходности портфеля также умень­шается с 45 до 15%. Тем не менее ожидаемая доходность портфеля в каждом случае равна 17,5%.

Этот пример наглядно показывает эффект диверсификации Марковица. Данное явление иногда называют «чудом диверсификации». Стра­тегия диверсификации Марковица предполагает, что с увеличением корреляции (ковариации) доходностей активов, составляющих единый портфель, возрастает вариация (а следовательно, и стандартное отклонение) доходности этого портфе­ля. «Чудо» проявляется при отрицательной корреляции ожидаемых доходностей активов. Прекрасно то, что инвестор может снизить риск портфеля, удерживая его ожидаемую доходность при помощи сочетания активов с низкой (желательно от­рицательной) корреляцией. Плохо лишь то, что активов с малой и отрицательной корреляцией существует совсем немного. Таким образом, задача превращается в поиск среди многочисленных активов таких, портфель из которых имел бы ми­нимальный риск при заданном уровне доходности или, наоборот, при заданном уровне риска имел бы наибольшую доходность. Теперь мы переходим к обсужде­нию понятия эффективного портфеля по Марковицу и принципов его создания.

Выбор портфеля из рисковых активов

Диверсификация в том виде, в котором ее предложил Марковиц, приводит к образованию портфеля, имеющего при заданном уровне риска максимальную ожи­даемую доходность. Такой портфель получил название эффективного портфеля Мар­ковица. Для создания такого портфеля вводится несколь­ко основных предположений о поведении инвестора при выборе активов.

Во-первых, предполагается, что на решение инвестора влияют только два па­раметра — ожидаемая доходность и риск (вариация). То есть инвестор принимает решение, исходя из двухпараметрической модели Марковица. Во-вторых, предпо­лагается, что инвестор не расположен к риску (т.е. выбирая из двух инвестиций с одинаковыми ожидаемыми доходностями, но различными уровнями риска, инве­стор предпочтет ту, для которой риск меньше). В-третьих, предполагается, что все инвесторы стремятся к максимальной ожидаемой доходности при заданном уровне риска. В-четвертых, предполагается, что у всех инвесторов одинаковые взгляды на ожидаемые доходности, вариации и ковариации всех рисковых активов. Это пред­положение получило название однородности ожиданий (homogeneous expectations). И наконец, предполагается, что у инвесторов существует единый для всех инвес­тиционный горизонт (т.е. период, для которого планируются инвестиции).

Создание эффективного портфеля Марковица

Технология создания эффективного портфеля из обширных групп ценных бу­маг требует большого количества расчетов. Для портфеля из G акций требуется рассчитать (G² — G)/2 ковариации. Поэтому для портфеля всего из 50 акций нужно подсчитать 1224 ковариации, а для 100 акций — 4950. Для нахождения портфелей с минимальным риском используются методы квадратичного программирования и со­ответствующее программное обеспечение. Тем не менее мы можем продемонстрировать основную идею построения эффективного портфеля Марковица, обратившись к простому портфе­лю из двух активов — C и D.

Ожидаемые доходности и стандартное отклонение портфелей при разных пропорциях акций с и d.

Данные по акции С: Е(Rс) = 10%; SD(Rс)=30%;

Данные по акции D: Е(R_D) = 25%; SD(Rс) = 60%.

Корреляция между акциями С и D = -0,5

Портфель Доля акций C Доля акций D E(R_P) SD(R_P)

1 100% 0% 10,0% 30,0%

2 75 25 13,8 3,9

3 50 50 17,5 6,8

4 25 75 21,2 17,4

5 0 100 25,0 60,0

Допустимый и эффективный портфели.

Допустимым портфелем называется любой портфель, кото­рый может построить инвестор из имеющихся в наличии активов. Набор допустимых портфелей называется допустимым множеством портфелей. Для данных двух активов допустимое множество портфелей изображается кривой, состоящей из пар значений доходности и риска, соответствующих различным комбинациям (весам) этих акти­вов. Если рассматриваются комби­нации более чем двух активов, допустимое множество портфелей изображается не кривой линией, а заштрихованной областью, как показано на рисунке 8.3.

Эффективный портфель — это портфель, имеющий максимальную доходность среди всех портфелей с заданным уровнем риска. Он называется также портфелем, эффективным по критериям доходность/риск. Таким образом, для каждого уровня риска существует свой эффективный портфель. На­бор всех таких портфелей называется эффективным множеством портфелей Марко­вица. Графически оно представлено на рисунке 8.2.

-

Эффективные портфели, состоящие из различных комбинаций акций С и D отмечены точками 2—5. Им соответствуют наибольшие значения ожидаемой доходности при заданных уровнях риска. Заметь­те, что портфель 1 (С = 10% и D = 30%) не входит в эффективное множество, потому что есть три портфеля (2, 3 и 4) с большей ожидаемой доходностью и мень­шим уровнем риска. Портфели, лежащие слева и выше точек 2—3—4—5, недости­жимы для комбинаций активов С и D и потому не входят в эффективное множе­ство Марковица. Портфели, лежащие справа от точек 2—3—4—5, не включены в него, поскольку есть другие портфели с большей доходностью при тех же уровнях риска, или же, наоборот, — с меньшим риском при той же доходности. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим портфель 6 на рисунке 8.2. У портфелей 4 и 6 одинаковые уровни риска, но первый имеет более высокую ожидаемую доходность. Точно так же у портфелей 2 и 6 одинаковая ожидаемая доходность, но у портфеля 2 меньше риск. В этом случае говорят, что портфели 4 и 2 превосходят портфель 6.

На рисунке 8.3 также изображено эффективное множество Марковица. Все порт­фели из него «превосходят» портфели в заштрихованной области.

		Риcунок 8.3 - Допустимое и эффективное множество портфелей в случае большего, чем два, числа активов

Выбор портфеля из эффективного множества портфелей Марковица.

После того как мы определили понятия эффективного портфеля и эффек­тивного множества портфелей, перейдем к понятию оптимального портфеля.

Согласно сформулированным выше принципам теории Марковица, инвес­тор всегда выбирает портфель, лежащий на эффективной границе. Этот выбор осуществляется посредством анализа соотношения риска и доходности (постоянного «взвешивания»). Двигаясь вдоль границы слева направо, мы увеличиваем ожида­емый риск, но при этом расширяются и границы доходности. В связи с этим воз­никает следующий вопрос: какой же портфель лучше? Лучший из всех портфелей на эффективной границе Марковица называется оптимальным.

Интуитивно понятно, что оптимальный портфель зависит от предпочтений инвестора при выборе между риском и доходностью. Как уже говорилось в начале главы, эти предпочтения можно описать при помощи функции полезности.

Кривая безразличия определяет комбинации риска и ожидаемой доход­ности, дающие одинаковый уровень полезности. И чем дальше расположена кри­вая от горизонтальной оси, тем больше полезность.

Инвестор стремится к самой высокой кривой безразличия, какую можно достичь на эффективной границе.

Описав эффективную границу, инвестор должен определить, какой эффективный портфель ему подходит в наибольшей степени.

Теория портфеля, созданная Марковицем описывает принципы построения эффективных портфелей и способы выбора из них наилучшего, или оптимального, портфеля. Эта теория отличается от преды­дущих тем, что в ней сформулированы принципы измерения основных параметров теории. К ним относятся риск и ожидаемая доходность как отдельных активов, так и всего портфеля в целом. Более того, при помощи этих величин, а также ковариации и корреляции между доходностями активов можно осуществить диверсифи­кацию портфеля, цель которой состоит в уменьшении его риска без ущерба для доходности. Определение и точный смысл этих параметров основываются на теоре­тико-вероятностных понятиях, а их количественная оценка осуществляется стати­стическими методами.

Ожидаемая доходность портфеля — это взвешенное среднее ожидаемых доходностей всех активов, входящих в портфель. Вес каждого актива определяется как процентная доля рыночной стоимости актива в общей рыночной стоимости всего портфеля. Риск актива измеряется при помощи вариации или стандартного откло­нения его доходности. В отличие от ожидаемой доходности портфеля его риск не равен взвешенному стандартному отклонению рисков отдельных активов, входя­щих в портфель. Риск портфеля зависит от ковариации и корреляции между актива­ми. Чем ниже корреляция, тем меньше риск портфеля.

Эффективный портфель по Марковицу — это допустимый портфель с наиболь­шей ожидаемой доходностью для заданного уровня риска. Набор всех эффективных портфелей называется эффективным множеством портфелей, или эффективной гра­ницей.

Оптимальным портфелем называется такой портфель, который в наибольшей степени удовлетворяет предпочтениям инвестора по отношению к доходности и риску. Предпочтения инвестора описываются функцией полезности, которая гра­фически представляется при помощи набора кривых безразличия. Оптимальный портфель — это такой портфель, для которого кривая безразличия касается эффек­тивной границы.