Типовые примеры и методы их решения. Пример 1.2.1.Вы поместили в банк вклад 10 тыс

Пример 1.2.1.Вы поместили в банк вклад 10 тыс. руб. под простую процентную ставку 26% годовых. Какая сумма будет на вашем счете через 3 года? Какова будет величина начисленных процентов? Если банк осуществляет регулярные выплаты начис­ленных процентов, то какую сумму Вы будете получать: а) каж­дый год; б) каждый квартал?

Решение.Полагая в формуле (9) Р = 10.тыс. руб., п = 3 года, г = 0,26, получим наращенную сумму через 3 года, если не про­исходят выплаты простых процентов:

F = 10 * (1 + 3 • 0,26) = 17,8 тыс. руб.

Следовательно, величина начисленных процентов / составит: / = F- Р = 17,8 - 10 = 7,8 тыс. руб.

Величину начисленных простых процентов, выплачиваемых ежегодно, определяем из формулы (12) при / = 1:

1₁ = 10 • 1 • 0,26 = 2,6 тыс. руб.

При ежеквартальных выплатах i = 0,25 года, и поэтому вели­чина каждой выплаты составит:

1₂ = 10 * 0,25 • 0,26 = 0,65 тыс. руб.

Заметим, что проценты на уже начисленные проценты не на­числяются независимо от срока хранения вклада. Поэтому имеет смысл начисленные простые проценты регулярно получать и использовать, например, для иных инвестиций. Поскольку при­ращение вклада при наращении простыми процентами растет линейно вместе со сроком его хранения, то величины 1₁ и 1₂ можно найти, поделив / соответственно на 3 и на 12.

Пример 1.2.2.На какой срок необходимо поместить денеж­ную сумму под простую процентную ставку 28% годовых, что­бы она увеличилась в 1,5 раза?

Решение.Искомый срок определяем из равенства множите­ля наращения величине 1,5:

1 + n*0.28=1.5

Решая это уравнение относительно п, получим п = = 1,786

года. Таким образом, если в году 365 дней, то необходимый срок составит 1 год и 287 дней.

Пример 1.2.3.Предпринимателю 14 февраля была предос­тавлена ссуда в размере 20 тыс. руб. с погашением 14 июля того же года под процентную ставку 30% годовых. Рассчитайте раз­личными способами сумму к погашению, если начисляются простые проценты и год невисокосный.

Решение.Величина уплачиваемых процентов за пользова­ние ссудой зависит от числа дней, которое берется в расчет. Для упрощения процедуры расчета точного числа дней пользуются специальными таблицами (одна - для обычного года, вторая -для високосного), в которых все дни в году последовательно пронумерованы. Продолжительность финансовой операции оп­ределяется вычитанием номера первого дня из номера последне­го дня. Поэтому точное число дней находим по таблице 1 в при­ложении 2: 195 — 45 = 150 дней. Естественно, это число можно найти и непосредственно, исходя из количества дней в соответ­ствующих месяцах. Приближенное число дней ссуды состоит из 16 дней февраля (30 - 14); 120 дней (по 30 дней четырех меся­цев: март, апрель, май, июнь) и 14 дней июля. Т.е. приближен­ное число дней составляет: 16 + 120 + 14 = 150. Теперь с помо­щью формулы (10) можно рассчитать возможные значения сум­мы к погашению. Во всех случаях Р = 20 тыс. руб., r= 0.3

1. В расчёт принимаются точные проценты и точное число дней ссуды (т.е. Г = 365, f = 150):

F = 20 (1 + 0,3) = 22,466 тыс. руб.

2. В расчет принимаются обыкновенные проценты и точное число дней ссуды (т.е. Т =360 t ==150):

F = 20 (1 + 0.3) = 22,5 тыс. руб.

3. В расчет принимаются обыкновенные проценты и при­ближенное число дней ссуды (т.е. T = 360, f = 150):

F = 20 (1 + 0,3) = 22,5 тыс. руб. 360

Очевидно, что обыкновенные проценты и точное число дней ссуды доставляют большее значение суммы к погашению, чем точные проценты и точное число дней ссуды. В условиях этого примера второй и третий варианты расчета обеспечивают оди­наковые суммы при возврате долга. Вообще, как правило, число точных и число приближенных дней краткосрочной (до одного года) ссуды либо очень близки, либо совпадают, что позволяет в банковских расчетах обычно пользоваться приближенным чис­лом дней ссуды. Так, если бы ссуда была выдана с 15 января по 14 июля, то точное число дней ссуды - 180, а приближенное -179. Следовательно, по второму и третьему вариантам расчета соответственно получим:

F тыс.руб.

F = 20(1 + 0,3) = 22,983 тыс. руб.

Вообще видно, что во всех случаях суммы к погашению раз­личаются незначительно, но при больших величинах ссуд даже небольшие расхождения могут иметь значение.

Отметим, что число точных и число приближенных дней ссуды могут достаточно сильно отличаться друг от друга, если срок ссуды более 360 дней. Если, например, ссуда предоставле­на с 14 февраля одного года до 13 февраля следующего, то точ­ное число дней равно 364, а приближенное - 359. Отсюда сле­дуют и более существенные различия в суммах к погашению.

Пример 1.2.4.Предприниматель 18 апреля обратился в банк за ссудой до 19 ноября того же года под простую процентную ставку 25% годовых. Банк, удержав в момент предоставления ссуды проценты за весь ее срок, выдал предпринимателю 12 тыс. руб. Какую сумму необходимо будет вернуть банку, если при расчете начисленных процентов использовались обыкно­венные проценты с точным числом дней?

Решение.Обозначим через F сумму, которую необходимо будет вернуть банку, и вначале для определения процентов I, удержанных банком, воспользуемся формулой (14), где P = F. Число дней находим либо прямым подсчетом, либо по таблице:

t= 215 дней (323 - 108). Так как Т = 360, г = 0,25, дивизор P-I = F-I= 12тыс.руб.,то

тыс.руб.

Следовательно, предприниматель обязан возвратить долг в размере:

F= 12 + 7= 12 + 2,106 =14,106 тыс. руб.

Для проверки найдем простые проценты, начисленные за 215 дней на сумму 14,106 тыс. руб.:

14106 * 0,25 = 2,106 тыс. руб., 360

что подтверждает правильность вычислений.

Заметим, что проценты / представляют собой проценты "во 100" с 12 тыс. руб. Действительно, поскольку процентная ставка

за 215 дней (215/360 года) составляет 0.25 = 0.1493, то

тыс. руб

При решении примера можно было рассуждать и таким об­разом. Поскольку проценты, удержанные банком, составили величину F* 0,25, то предпринимателю выдана сумма

F – F* • 0,25 = 12 тыс. руб. Отсюда:

тыс.руб

Забегая немного вперед, можно сказать, что на 12 тыс. руб. в течение 215 дней происходит наращение по простой учетной ставке 25% годовых.

Пример 1.2.5.Сберегательный счет был открыт 10 марта и на него была положена сумма 8 тыс. руб. В следующем месяце (14 апреля) на счет поступило 4 тыс. руб. Затем 25 июня со счетабыло снято 3 тыс. руб. и 4 сентября - 2 тыс. руб. Счет был закрыт 20 декабря. Все операции осуществлялись в течение високосного года. Определите сумму, полученную владельцем счета, если процентная ставка равнялась 30% годовых и при расчете исполь­зовались обыкновенные проценты с точным числом дней.

Решение.Этот пример можно решить обычным способом, определяя величину начисленных процентов последовательно за промежутки времени, когда сумма на счете не менялась. Мы же воспользуемся (как это и делают в банках при обслуживании текущего счета) величинами , которые, так же как и Pt назы­ваются процентными числами (через Р обозначена величина вклада, через t — время его хранения). В этом случае в формуле

для вычисления дивизора D = ставка r выражена не десятичной дробью, а в процентах.

Для того чтобы найти общую величину начисленных про­центов за весь срок, определим процентные числа за каждый промежуток времени, когда сумма на счете не менялась. Затем сложим все процентные числа и полученное значение поделим на дивизор.

Вначале определяем суммы, которые последовательно фик­сировались на счете: 8 тыс. руб., 12 (8 + 4) тыс. руб., 9 (12 - 3) тыс. руб., 7 (9 - 2) тыс. руб. Затем находим сроки хранения этих сумм. Они соответственно равны 35 (105 - 70) дням, 72 (177 -105) дням, 71 (248-177) дню, 107 (355 - 248) дням. Сумма про­центных чисел составит:

Дивизор в данном случае равен: D = = 12 . Следовательно,

общая величина начисленных процентов составит: тыс. руб.,

а владелец счета получит: 7 + 2,11 = 9,11 тыс. руб.

Отметим, что процентные числа можно было вычислять и с несколько иным образом найденными сроками, а именно: для каждого поступления срок хранения определяется исходя из да-

ты поступления и даты закрытия счета. Если происходило изъя­тие денег, то соответствующее процентное число берется со зна­ком минус. Тогда: для 8 тыс. руб. - 285 (355 - 70) дней, для 4 тыс. руб. - 250 (355 - 105) дней, для 3 тыс. руб. - 178 (355 - 177) дней и для 2 тыс. руб. - 107 (355 - 248) дней. Находим (учитывая зна­ки) сумму процентных чисел:

т.е. получили такую же величину, как и способом, изложенным ранее.

Поскольку февраль не входит в период работы со сберега­тельным счетом, то при осуществлении операций и в течение ие-високосного года получим окончательно также 9,11 тыс. руб.

Пример 1.2.6,Господин N поместил в банк 16 тыс. руб. на следующих условиях: в первые полгода процентная ставка рав­на 24% годовых, каждый последующий квартал ставка повыша­ется на 3%. Найдите наращенную сумму за полтора года, если проценты начисляются только на первоначальную сумму вкла­да. При какой постоянной процентной ставке можно получить такую же наращенную сумму? Найдите наращенную сумму за полтора года, если с изменением ставки происходит одновре­менно и капитализация процентного дохода.

Решение.Пусть вначале проценты начисляются только на первоначальную сумму вклада. Рассмотрим отдельно периоды, в течение которых ставка была постоянной. Поскольку на первый период длительностью = 0,5 года установлена процентная ставка i₁ = 0,24, то приращение капитала (в тыс. руб.) за этот пе­риод равно величине 16*0,5*0,24. На второй период длительно­стью n₂ = 0,25 года (квартал) установлена процентная ставка i₂ = 0.24 + 0,03 = 0,27, и, следовательно, приращение капитала за этот период равно величине 16*0.25*0.27. Аналогичным образом на периоды n₃ ,n₄ ,n₅ , каждый из которых равен 0,25 года, уста­новлены соответственно ставки j₃ = 03, i₄ = 0,33, i₆ = 0,36, дос­тавляющие приращения капитала 16*0,25*0,3; 16*0.25*033; 16*0.25*036. Суммируя первоначальный капитал и все его при­ращения, получим наращенную сумму за полтора года (общий множитель всех слагаемых 16 вынесем за скобки): F = 16 (1 + 0,5 0,24+ 0,25 0,27+ 3,25 0,3 + +0,25 - 033 + 0,25 036) - 22,96 тыс. руб.

Такую же наращенную сумму можно получить, если про­стые проценты начисляются за полтора года по ставке

Действительно, F = l6( 1+ 1,5* 0,29)=22,56 тыс. руб.

Отметим, что в указанных обозначениях величины F и , конечно, можно найти по формулам (15) и (16). Записывая (16) в виде

замечаем, что ставка / равна взвешенной сумме процентных ставок, где весом для каждой ставки i_k служит доля длительно­сти периода п_к, которую он составляет от общей суммы длительностей периодов , причем очевидно, что сумма всех

весов равна единице. Таким образом, для ставки 24% весом явля­ется дробь (так как полгода составляют третью часть от полу­тора лет), для каждой доследующей ставки весом будет дробь (так как квартал составляет шестую часта от полутора лет).

Если же с изменением ставки происходит одновременно и капитализация процентного дохода (т.е наращенная сумма вкладывается вновь под измененную простую процентную став­ку), то за полтора года наращенная сумма составит:

F = 16 * (1 + 0,5 * 0,24)(1 + 0,25 – 0.27)(1 + 0,25 * 0,3) * (1 + 025 * 0,33)(1 + 0,25 - 0,36) = 24,264 тыс. руб.

Естественно, получили сумму, превышающую 22,96 тыс. руб., поскольку в этом случае за каждый период проценты на­числяются не только на первоначальную сумму вклада, но и на проценты, начисленные за предыдущий период.

Пример 1.2.7. В финансовом договоре клиента с банком предусмотрено погашение долга в размере 8,9 тыс. руб. через 120 дней при взятом кредите в размере 8 тыс. руб. Определите доходность такой сделки для банка в виде годовой процентной ставки. При начислении банк использует простые обыкновен­ные проценты.

Решение. Подставляя в формулу (23) значения F = 8,9 тыс. руб., Р = 8 тыс. руб., t= 120 дней, Т= 360 дней, получим:

Таким образом, инвестируя 8 тыс. руб. под простую про­центную ставку 33,75% годовых, через 120 дней при использо­вании обыкновенных процентов можно получить 8,9 тыс. руб. Действительно,

8*(1 + *0.3375)=8,9 тыс. руб.

Пример 1.2.8. Банк в начале года выдал кредит на сумму 30 тыс. руб. сроком на два месяца по ставке 28% годовых и через два месяца - кредит на сумму 45 тыс. руб. сроком на четыре ме­сяца по ставке 34% годовых. Определите общую доходность этих кредитных операций за полгода в виде годовой процентной ставки в двух случаях: когда при выдаче второго кредита не ис­пользуются и когда используются деньги, возвращенные банку после погашения первого кредита. За предоставление кредита банк начислял простые обыкновенные проценты.

Решение. Найдем начисленные проценты за первый кредит по формуле (12) при Р = 3О тыс. руб., i = 60/360 года, r = 0,28:

i₁₌30 *0,28 = 1,4 тыс. руб.

Аналогичным образом при Р = 45 тыс. руб., i = 120/360 го­да, r = 034 ваходим для второго кредита:

тыс. руб.

Следовательно, общий доход, полученный банком, равен:I = I₁ + I₁ = 1,4 + 5.1 = 6,5 тыс. руб.

Если при выдаче второго кредита не использовались деньги, возвращенные банку после погашения первого кредита, то об­щая величина вложенных средств равна 75 (30 + 45) тыс. руб. Поэтому общая доходность этих кредитных операций за полгода в виде простой годовой процентной ставки по формуле (23) со­ставляет:

или 17.33%

Если же второй кредит в размере 45 тыс. руб. включает 30 тыс. руб. (первый кредит), то

или 28,89% годовых.

Очевидно, повторное использование финансовых ресурсов повышает доходность.

Пример 1.2.9.Предприниматель получил в банке кредит на 90 дней по процентной ставке 36% годовых, при этом банком были удержаны комиссионные в размере 2,5% от величины кре­дита. Найдите доходность такой финансовой операции для бан­ка в виде годовой простой процентной ставки, если банк начис­ляет простые проценты на исходную сумму кредита, полагая, чтов году 360 дней. Как изменится доходность при выдаче кре­дита на 60 дней и на 120 дней?

Решение.Обозначим через Р величину кредита (в каких-либо денежных единицах), тогда величина удержанных комис­сионных составит 0.025Р и, следовательно, предпринимателю будет выдана сумма Р -0,025Р =0,975Р. Через 90 дней предприниматель должен будет вернугь сумму Р(1 + 0,36) = 1,09Р.

Таким образом, общий доход банка составит: 1.09Р - 0,975Р = = 0,115Р. Теперь, используя формулу (23), можно определить доходность финансовой операции для банка в виде годовой процентной ставки:

т.е. r = 47.18%, что больше объявленных банком 36% годовых. Таким образом, удержание комиссионных увеличивает доход­ность финансовой операции для кредитора (банка).

При выдаче кредита на 60 дней его величина вместе с начис­ленными процентами составит: Р(1 + 0,36) = 1,06 Р, и, следовательно, доходность для банка будет равна:

или 52.31%

т.е. больше, чем при выдаче кредита на 90 дней.

Если же срок кредита составляет 120 дней, то предпринима­тель должен будет вернуть 1.12Р и доходность для банка в виде простой годовой процентной ставки составит:

360 = 0,4462, или 44,62%,

т.е. меньше, чем при сроке кредита 90 дней.

Рассмотренный пример показывает, что при удержании ко­миссионных увеличение срока кредита уменьшает доходность финансовой сделки для кредитора. Конечно, если комиссионные не взимаются, то при любом сроке кредита доходность такой финансовой сделки в виде простой годовой процентной ставки будет постоянна и равна 36%.

Пример 1.2.10.Банк за использование в течение двух месяцев 800 тыс. руб. должен выплатить 60 тыс. руб. Определите стои­мость привлеченных средств в виде простой годовой процентной ставки в условиях начисления обыкновенных процентов.

Решение.Стоимость привлеченных средств можно найти по формуле (23), где через Р обозначена использованная сумма средств; через F-P - проценты, выплаченные за использование суммы Р в течение времени и. Полагая Р = 800 тыс. руб., F-P = 60 тыс. руб., n =2/12 = 1/6 года, получим:

0,45, или, что эквивалентно, 45% годовых.

Пример 1.2.11.Из какого капитала можно получить 24 тыс. руб. через два года наращением по простым процентам по про­центной ставке 25%? Чему равен дисконт?

Решение.Пользуясь формулой (18), где F = 24 тыс. руб.,n= 2 года, r = 0,25, получим:

= 16 тыс. руб.

Отсюда можно найти дисконт D_r = F-P = 24 -16 = 8 тыс. руб. Этот дисконт представляет собой 50% (процентная ставка за два года) "на 100" с 24 тыс. руб. Действительно, по формуле (7):

= 8 тыс. руб.

С целью проверки можно по формуле (9) определить нара­щенную сумму с капитала Р = 16 тыс. руб. за 2 года по простой процентной ставке 25% годовых:

F = 16(1 + 2 *0,25) = 24 тыс. руб.

Дисконтный множитель

= 0,6667 представляет собой

величину, обратную множителю наращения 1 + 2 * 0,25, и показы­вает долю капитала Р = 16 тыс. руб. в капитале F = 24 тыс. руб.

Пример 1.2.12.Вам 27 декабря будет нужна сумма 15 тыс. руб. Какую сумму 10 июня этого же года Вы должны положить в банк под простую процентную ставку 36% годовых, если в расчете применяется обыкновенный процент с точным числом дней?

Решение.Полагая в формуле (18) F =5 тыс. руб., п = 200/360 года (200 дней), r = 0,36, получим;

= 12,5 тыс. руб.

Если бы в расчете применялся точный процент с точным числом дней, то величина вклада должна быть несколько боль­шей. Так, для невисокосного года:

= 12,529 тыс. руб.,

что превышает полученную ранее сумму на 29 руб.

Пример 1.2.13.На какой срок клиент банка может взять кредит в размере 20 тыс. руб. под простые проценты с условием, чтобы величина возврата долга не превышала 22 тыс. руб., если процентная ставка равна 34%, в расчет принимаются точные проценты с точным числом дней и год високосный?

Решение. Полагая в формуле (21) для расчета срока в днях F = 22 тыс. руб., Р = 20 тыс. руб., T = 366 дней, r = 0,34, полу­чим:

тыс.руб

Так что клиент банка может взять кредит не более чем на 107 дней. Для проверки по формуле (9) найдем наращенную сумму за 107 дней:

F = 20(l + 0,34) = 21,988 тыс.руб. 366

Кстати, если взять 108 дней, то получим 22,007 тыс. руб., т.е. превышение всего на 7 руб., что, конечно, не является сущест­венным.

Пример 1.2.14.Депозитный сертификат номиналом 20 тыс. руб. с начислением процентов по простой процентной ставке 40% годовых выпущен на один год. По какой цене его можно приобре­сти за 60 дней до срока погашения, чтобы обеспечить доходность такой финансовой сделки в виде простой процентной ставки 45% годовых? Расчетное количество дней в году равно 365.

Решение.Депозитный сертификат - документ, подтвер­ждающий, что его владелец является держателем срочного де­позита в банке. Для определения допустимой цены покупки сер­тификата необходимо его номинал вместе с начисленными за год процентами дисконтировать по простой процентной ставке 45% годовых, исходя из периода в 60 дней:

тыс.руб

Если цена покупки депозитного сертификата будет больше полученной величины 26,071 тыс. руб., то при его приобретении доставляется доходность, меньшая 45%.

Задачи

1.2.1. Клиент поместил в банк вклад в сумме 4,5 тыс. руб. под 18% годовых с ежеквартальной выплатой простых процентов. Какую сумму клиент будет получать каждый квартал? Как изме­нится сумма при выплате простых процентов каждый месяц?

1.2.2.Клиент поместил в банк вклад 6 тыс. руб. под простую процентную ставку 20% годовых. Какая сумма будет на счете клиента через: а) 7 месяцев; б) 3 года; в) 3 года 9 месяцев?

1.2.3. Банк принимает депозиты на 3 месяца по процентной ставке 28% годовых, на 6 месяцев - по 32% годовых и на год -по 34% годовых. Определите сумму, которую получит владелец депозита в размере 20 тыс. руб. при начислении простых про­центов во всех трех случаях.

1.2.4. В финансовом договоре клиента с банком предусмот­рено погашение долга в размере 24 тыс. руб. через 150 дней при взятом кредите в 20 тыс. руб. Определите доходность такой сделки для банка в виде годовой процентной ставки. При начис­лении банк использует простые обыкновенные проценты.

1.2.5. Банк в начале года выдал кредит на сумму 20 тыс. руб. сроком на три месяца по ставке 30% годовых и через три месяца кредит на сумму 40 тыс. руб. сроком на полгода по ставке 35% годовых. Определите общую доходность этих кредитных опера­ций за девять месяцев в виде простой годовой процентной став­ки в двух случаях: когда при выдаче второго кредита яе исполь­зуются и когда используются деньги, возвращенные банку после погашения первого кредита. За предоставление кредита банк начислял простые обыкновенные проценты.

1.2.6. Предприниматель взял в банке ссуду на два года под процентную ставку 32% годовых. Определите, во сколько раз сумма долга к концу срока ссуды будет больше выданной бан­ком суммы, если банк начисляет простые проценты.

1.2.7. Банк выдал ссуду на 45 дней в размере 10 тыс. руб. под простую процентную ставку 30% годовых. Рассчитайте доход

банка, если при начислении простых процентов считается, что в году: а) 360 дней; б) 365 дней.

1.2.8. Имеются две денежные суммы, одна из которых боль­ше другой на 2 тыс. руб. Обе суммы помещаются в банк под простые проценты, причем большая сумма - на 9 месяцев под 30% годовых, а меньшая - на 4 месяца под 25% годовых. На­численные проценты за большую сумму в 3 раза больше начис­ленных процентов за меньшую сумму. Найдите размеры перво­начальных денежных сумм.

1.2.9. Найдите величину дохода кредитора, если за предос­тавление в долг на полгода некоторой суммы денег он получил 46,55 тыс. руб. При этом применялась простая процентная став­ка а 22%.

1.2.10. Сертификат, выданный на 120 дней, обеспечивает держателю доход в виде дисконта, равного 15% от суммы пога­шения. Определите размер простой годовой процентной ставки, доставляющей такой же доход при начислении: а) обыкновенных процентов; б) точных процентов (год невисокосный); в) точных процентов (год високосный).

1.2.11. Вклад до востребования был размещен с 10 января по 14 апреля того же года. Рассчитайте двумя способами (прибли­женно и точно) количество дней, которое может быть использо­вано для начисления процентов, если год: а) високосный; б) не­високосный. Выполните аналогичные расчеты, если вклад до востребования был размещен с 18 марта по 26 июля.

1.2.12. Определите количество дней для начисления процен­тов при точном и приближенном способе подсчета, если вклад до востребования был размещен: а) с 12 февраля по 15 мая того же года; б) с 5 июня по 3 ноября того же года. Как изменились бы результаты, если бы рассматриваемый год был високосный?

1.2.13. Предоставлена ссуда в размере 180 тыс. руб. 16 янва­ря с погашением через 9 месяцев под 25% годовых (год невисо­косный). Рассчитайте сумму к погашению при различных спо­собах начисления простых процентов: а) обыкновенный процент с точным числом дней; б) обыкновенный процент с приближен­ным числом дней; в) точный процент с точным числом дней.

1.2.14. Предоставлена ссуда в размере 60 тыс. руб. 12 марта с погашением 15 августа того же года под процентную ставку 32% годовых. Рассчитайте различными возможными способамисумму к погашению, если начисляются простые проценты и год високосный.

1.2.15. Предприниматель 7 февраля обратился в банк за ссу­дой до 14 мая того же года под простую процентную ставку 18% годовых. Банк, удержав в момент предоставления ссуды про­центы за весь ее срок, выдал предпринимателю 50 тыс. руб. Ка­кую сумму необходимо будет вернуть банку, если при расчете начисленных процентов использовались обыкновенные процен­ты с точным числом дней и год високосный?

1 .2.16. Предприятие обратилось 1 марта в банк за кредитом в 150 тыс. руб., обязуясь вернуть сумму с процентами в конце го­да. Какой способ начисления простых процентов выгоден для предприятия и какой - для банка, если используется процентная ставка 26% годовых и год невисокосный?

1.2.17. Вы получили ссуду 12 февраля на условиях начисления простых процентов. Взятую сумму с процентами необходимо вер­нуть 27 декабря того же года. Во сколько раз вырастет долг при различных способах начисления простых процентов, если приме­няется процентная ставка 32% годовых и год невисокосный?

1.2.18. Вклад в размере 40 тыс. руб. был размещен в банке 12 марта под простую процентную ставку 30% годовых. При востребовании вклада 15 октября того же года вкладчику были начислены проценты в размере 47,134 тыс. руб. Какой способ начисления процентов использовал банк?

1.2.19. За срок ссуды величина обыкновенных процентов (с точным числом дней) составила 6,4 тыс. руб. Определите ве­личину точных процентов при условии, что год невисокосный. Как изменится ответ, если год високосный?

1.2.20. За срок ссуды сумма к погашению составила 86 тыс. руб., причем начислялись обыкновенные проценты с точным числом дней. Определите величину суммы к погашению при начислении точных процентов при условии, что размер ссуды 70 тыс. руб. и год: а) невисокосный; б) високосный.

1.2.21. Какое необходимо время, чтобы 28 тыс. руб., поме­щенные в банк под простую процентную ставку 20% годовых, увеличились на такую же величину, как и 30 тыс. руб., помещен­ные в банк с 16 февраля по 28 июля того же года под простую процентную ставку 25% годовых? На первый капитал начисля­ются обыкновенные проценты с точным числом дней, на второй -обыкновенные проценты с приближенным числом дней.

1.2.22. По депозитному 30-дневному сертификату номина­лом в 10 тыс. руб. начисляются обыкновенные проценты по ставке 25% годовых. Рассчитайте, какой должна быть годовая процентная ставка при начислении точных процентов с услови­ем, чтобы они были равны обыкновенным. Какова величина на­численных процентов? Год високосный.

1.2.23. За какой срок вклад 5 тыс. руб. возрастет до 6 тыс. руб. при начислении процентов по простой процентной ставке 32% годовых?

1.2.24. На какой срок необходимо поместить имеющуюся денежную сумму под простую процентную ставку 20% годовых, чтобы она увеличилась в 2,5 раза?

1.2.25. На какой срок необходимо поместить имеющуюся денежную сумму под простую процентную ставку 30% годовых, чтобы начисленные проценты были в 1,8 раза больше первона­чальной суммы?

1.2.26. Предпринимателю через некоторое время понадобит­ся сумма в 25 тыс. руб., между тем он располагает лишь 22 тыс. руб. С целью накопления требуемой суммы предприниматель собирается положить в банк 22 тыс. руб. Предлагаемая банком процентная ставка равна 30% годовых. Какое количество дней необходимо для накопления требуемой суммы, если банк начис­ляет простые проценты, используя в расчетах точные проценты, и год невисокосный?

1.2-27. Заемщик собирается взять в банке кредит в размере 20 тыс. руб. с погашением его суммой, не превышающей 22 тыс. руб. Простая процентная ставка банка по кредитам равна 27% годовых. На какое максимальное количество дней заемщик мо­жет взять кредит, если банк начисляет точные проценты, пола­гая в году 365 дней?

1.2.28. Вкладчик, владея суммой в 20,5 тыс. руб., хочет по­лучить, положив деньги на депозит, через год не менее 27 тыс. руб. Имеет ли смысл ему обратиться в банк, применяющий про­стую процентную ставку 26% годовых? Какая ставка необходи­ма для осуществления намерения вкладчика?

1.2.29. Вкладчик хочет положить на депозит 15 тыс. руб. и за 5 месяцев накопить не менее 18 тыс. руб. Определите требуе­мую простую годовую процентную ставку, на основании кото-рой вкладчик должен выбрать банк для размещения своих средств, если в расчете применяются обыкновенные проценты и приближенное число дней.

1.2.30. Банк за использование в течение четырех месяцев 960 тыс. руб. должен выплатить 70 тыс. руб. Определите стоимость привлеченных средств в виде простой годовой процентной став­ки в условиях начисления обыкновенных процентов.

1.2.31. Вкладчик намеревается положить в банк 8 тыс. руб., чтобы через 200 дней накопить 9,2 тыс. руб. Какова должна быть простая процентная ставка, обеспечивающая такое накоп­ление? Зависит ли величина ставки от способа начисления про­стых процентов?

1.2.32. Банк выдал кредит на 9 месяцев по простой процент­ной ставке 28% годовых, при этом удержав комиссионные в размере 3% от суммы кредита. Определите действительную до­ходность для банка такой кредитной операции в виде годовой простой процентной ставки, если простые проценты начисля­лись на исходную сумму кредита.

1.2.33. Предприниматель получил в банке кредит на 150 дней по процентной ставке 30% годовых, при этом банком были удержаны комиссионные в размере 1,5% от величины кредита. Найдите доходность такой финансовой операции для банка в виде годовой простой процентной ставки, если банк начисляет простые проценты на исходную сумму кредита, полагая в году 360 дней. Изменится ли величина доходности при выдаче кре­дита на 90 дней?

1.2.34. Выдается ссуда по процентной ставке 40% годовых, при этом взимаются комиссионные в размере 2% от величины ссуды. Простые точные проценты начисляются на исходную величину ссуды, год високосный. На какой срок должна быть выдана ссуда, чтобы доходность такой сделки для кредитора в виде годовой простой процентной ставки составляла 100%?

1.2.35. При выдаче ссуды по процентной ставке 42% годо­вых были удержаны комиссионные в размере 2,5% от величины ссуды. Простые точные проценты начислялись на исходную ве­личину ссуды, год високосный. На какой срок была выдана ссу­да, если доходность такой сделки для кредитора в виде годовой простой процентной ставки составила 64%?

1.2.36. При выдаче банком ссуды на 80 дней по процентной ставке 38% годовых сразу удерживаются комиссионные. Про­стые обыкновенные проценты начисляются на исходную вели­чину ссуды, год невисокосный. Определите, какой процент от величины ссуды составили комиссионные, если доходность та­кой финансовой операции для банка в виде простой годовой процентной ставки оказалась равной 40%.

1.2.37. Банк выдал одному предпринимателю 30 тыс. руб. на 80 дней, затем полученные от него деньги выдал второму пред­принимателю на 60 дней и, наконец, полученную от второго предпринимателя сумму выдал третьему предпринимателю на 160 дней. Все ссуды были выданы под простую процентную ставку 30% годовых, и начислялись обыкновенные проценты. Какую сумму должен вернуть банку третий предприниматель? Определите доходность для банка всей финансовой операции в виде годовой простой процентной ставки.

1.2.38. Банк выдавал кредиты своим четырем клиентам А, В, С и D - следующим образом: клиенту А - на 45 дней под 28% годовых; все деньги, полученные от клиента А, сразу'выдал клиенту В на 120 дней под 33% годовых; всю сумму, получен­ную от клиента В, выдал клиенту С на 100 дней под 32% годо­вых и, получив деньги от клиента С, выдал их клиенту D на 40 дней под 30% годовых. Клиент D в конце срока вернул банку 37 632 руб. Какую сумму получил клиент А, если во всех случа­ях начислялись простые обыкновенные проценты?

1.2.39. Банк выдал клиенту ссуду в размере 20 тыс. руб. 5 ян­варя с условием возврата долга 4 мая. Всю полученную сумму банк в этот же день выдал другому клиенту, который 3 июля вернул в банк 23,1 тыс. руб. В обоих случаях применялась оди­наковая простая процентная ставка и расчет велся способом 365/360 (обыкновенный процент с точным числом дней). Опре­делите эту ставку, если все действия совершались в течение од­ного года, являющегося високосным.

1.2.40. Банк продает депозитные сертификаты на следующих условиях: сертификат сроком на 3 месяца под 40% годовых или на год - под 45% годовых. Какие сертификаты выгоднее приоб­ретать с целью получения в конце года наибольшего дохода, если банк начисляет по вкладам простые обыкновенные проценты? 1.2.41. Банк продает депозитные сертификаты на следующих условиях: сертификат сроком аа 3 месяца под 40% годовых; на 6 месяцев - под 42% годовых; на год - под 45% годовых. Какие сертификаты выгоднее приобретать с целью получения в конце года наибольшего дохода, если банк начисляет по вкладам про­стые обыкновенные проценты?

1.2.42. Какую сумму необходимо положить в банк под про­центную ставку: а) 25% годовых; б) 50% годовых; в) 80% годо­вых, чтобы получать ежегодную ренту в 400 руб., а сумма на счете в банке оставалась бы неизменной?

1.2.43. Какую сумму необходимо положить в банк под про­стую процентную ставку 30% годовых, чтобы получать: а) еже­квартально ренту в 300 руб.; б) ежемесячно ренту в 100 руб., а сумма на счете в банке оставалась бы неизменной?

1.2.44. Банк предоставляет клиенту кредит в размере 8 тыс. руб. под простую процентную ставку 20% годовых. Используя дивизор, найдите доход банка, если срок кредита составляет: а) 40 дней; б) 4 месяца; в) 200 дней. Расчет ведется способом 360/360.

1.2.45. Используя дивизор, вычислите простой процент с ка­питала 4,8 тыс. руб., отданного в долг по ставке 20% годовых на срок с 8 июля по 25 ноября (год невисокосный), если расчет ве­дется способом 365/365 (точный процент с точным числом дней). _t

1.2.46. Банк за предоставление кредита с 18 апреля по 10 сен­тября того же года под 24% годовых получил от заемщика в со­вокупности 12 тыс. руб. Используя дивизор, определите доход банка и сумму, полученную заемщиком, если начисленные про­стые проценты были удержаны банком в момент предоставле­ния кредита и использовался способ 365/360. Чему равны были бы искомые величины, если бы применялся способ 360/360?

1.2.47. При открытии сберегательного счета на него 16 января была положена сумма 14 тыс. руб., однако 20 февраля со счета бы­ло снято 8 тыс. руб. Позже, 14 апреля, на счет была добавлена сумма 3 тыс. руб., 16 июня - 2 тыс. руб., а 10 сентября счет был закрыт. Рассчитайте с помощью процентных чисел сумму, полу­ченную владельцем счета, если процентная ставка составляла 20% годовых, начислялись простые проценты способом 365/360 и все операции осуществлялись в течение одного високосного года.

1.2.48. Предприниматель открыл счет в банке, положив на него 20 тыс. руб. Затем 4 июля он добавил 5 тыс. руб. и 20 нояб­ря этого же года счет закрыл, получив 28.2 тыс. руб. Найдите дату открытия счета, если простая процентная ставка составляла 24% годовых и использовался способ 365/360.

1.2.49. Какую сумму необходимо поместить в банк под про­стую процентную ставку 40% годовых, чтобы накопить 26 тыс. руб.: а) за 9 месяцев; б) за 2,5 года; в) за 4 года?

. 1.2.50. Какую сумму необходимо поместить в банк под про­стую процентную ставку 36% годовых, чтобы накопить 12 тыс. руб.: а) за 20 дней; 6) за 70 дней; в) за 300 дней? Рассмотрите отдельно случай начисления обыкновенных процентов и случай начисления точных процентов в високосном году.

1.2.51. Предпринимателю 18 ноября будет нужна сумма в 25 тыс. руб. Какую сумму 10 февраля этого же года он должен положить в банк под простую процентную ставку 34% годовых, если в расчете применяется обыкновенный процент с прибли­женным числом дней?

1.2.52. Предприниматель взял 14 апреля банковский кредит и погасил его 10 августа того же года суммой в 180 тыс. руб. Какой величины был кредит, если процентная ставка по кредитам равна 25% годовых и банк начислял простые проценты способом: а) 365/360; б) 365/365?

1.2.53. Господин N поместил свой капитал в банк под про­центную ставку 30% годовых. Через год он взял из своего капи­тала половину, а затем через 8 месяцев закрыл счет. Величина начисленных процентов за весь период нахождения денег в бан­ке составила 2340 руб. Определите величину капитала, поме­щенного в банк, если банк начисляет простые проценты спосо­бом 360/360.

1.2.54. Клиент поместил в банк свободные денежные средст­ва под процентную ставку 30% годовых. Через 1 год и 8 месяцев клиент закрыл счет, получив 9 тыс. руб. Определите величину наращенной суммы, которая была в конце первого года, если банк начисляет простые проценты способом 360/360. Если бы клиент не закрыл счет, то через какое время он смог бы полу­чить 9,6 тыс. руб.?

1.2.55. Сумма в 30 тыс. руб. помещена в банк под 20% годо­вых на два счета таким образом, чтобы брат и сестра по мере дос­тижения ими возраста 18 лет получили по одинаковой сумме. Определите, сколько получит каждый из них, если в данный мо­мент брату 15 лет 4 месяца и 3 дня, а сестре 14 лет 1 месяц и 20 дней. Каким образом 30 тыс. руб. будут распределены на два счета? Банк начисляет простые проценты, используя в расчетах обыкновенный процент с приближенным числом дней.

1.2.56. Сумма в 50 тыс. руб. помещена в банк под 30% годо­вых на три счета таким образом, чтобы три брата по мере дости­жения ими возраста 18 лет получили по одинаковой сумме. Опре­делите, сколько получит каждый из братьев, если в данный мо­мент старшему брату 16 лет 5 месяцев и 10 дней, среднему брату 12 лет 6 месяцев и 2 дня, а младшему брату 10 лет и 3 месяца. Ка­ким образом 50 тыс. руб. будут распределены на три счета? Банк начисляет простые проценты, используя в расчетах обыкновен­ный процент с приближенным числом дней.

1.2.57. На сумму 200 тыс. руб. начисляются простые процен­ты по процентной ставке 35% годовых. Определите наращенную сумму на конец первого квартала, если ежемесячно проводится операция реинвестирования и начисляются обыкновенные про­центы. Какова была бы наращенная сумма в случае непроведения операции реинвестирования?

1.2.58. Контрактом предусматриваются следующие процент­ные ставки на год: за первый квартал - 30% годовых; за второй квартал - 32% годовых; за третий и четвертый кварталы - 25% годовых. Определите множитель наращения за год, если в тече­ние года начисляются простые проценты. Какой одной простой годовой процентной ставкой можно заменить данные ставки?

1.2.59. За предоставленный на год кредит предусмотрены следующие процентные ставки: за первый квартал - 3% ежеме­сячно; за второй квартал - 3,5% ежемесячно; за третий и четвер­тый кварталы - 2,5% ежемесячно. Определите множитель нара­щения за год, если в течение года начисляются простые процен­ты. Какой одной простой годовой процентной ставкой можно заменить данные ставки?

1.2.60. Контрактом было предусмотрено, что после первого квартала годовая процентная ставка повысится на 3%; после вто­рого - еще на 5% и после третьего квартала - еще на 7%. Множи­тель наращения за год оказался равным 1,365. Определите вели­чину первоначальной годовой процентной ставки, если в течение года начислялись простые проценты.

1.2.61. Заключается финансовое соглашение на 3 года, в ко­тором предусматривается схема начисления простых процентов по следующим годовым процентным ставкам: за первый год — 20%; в каждые следующие два полугодия процентная ставка повышается на 5%; в каждом последующем квартале годовая процентная ставка повышается на 1%. Определите множитель наращения за 3 года.

1.2.62. На некоторую сумму в течение полугода начисляются простые проценты по следующим процентным ставкам: за пер­вые два месяца - 30% годовых; за третий месяц - 32% годовых и за оставшиеся месяцы - 35% годовых. Определите множитель наращения за полгода, если: а) первоначальная сумма, на кото­рую начисляются проценты, не изменяется; б) при каждом из­менении процентной ставки происходит реинвестирование (ка­питализация процентов).

1.2.63. Простая процентная ставка по вкладам до востребо­вания, составляющая в начале года 26% годовых, через квартал была увеличена до 30%, а еще через полгода - до 35% годовых. Определите величину процентов, начисленных за год на вклад 10 тыс. руб. При какой постоянной годовой процентной ставке можно обеспечить такую же величину начисленных простых про­центов?

1.2.64. Вклад 15 тыс. руб. был положен в банк 9 апреля при простой процентной ставке 40% годовых. С 1 июня банк снизил процентную ставку по вкладам до 35% годовых. Вклад был за­крыт 10 августа того же года. Рассчитайте различными возмож­ными способами величину начисленных процентов.

1.2.65. Господин N поместил в банк свободные денежные средства, на которые согласно договору начисляются простые проценты по изменяющейся процентной ставке: за первые че­тыре месяца - 27% годовых, каждый следующий месяц ставка увеличивается на 0,5%. Через год, закрыв счет, господин N по­лучил 64,25 тыс. руб, Определите, какую сумму получил бы господин N, закрыв счет через 9 месяцев.

1.2.66. Вкладчик поместил в банк 35 тыс. руб. на следующих условиях: в первый год процентная ставка равна 28% годовых, каждые следующие полгода ставка повышается на 2%. Найдите наращенную сумму за три года, если начисляются простые про­центы. При какой постоянной процентной ставке можно полу-чить такую же наращенную сумму? Найдите наращенную сумму за три года, если с изменением ставки происходит одновременно и капитализация процентного дохода.

1.2.67. Клиент 4 января положил в банк 5 тыс. руб. и закрыл счет 10 сентября этого же года, являющегося високосным. Ка­кую сумму банк выдал клиенту, если в течение всего срока на­числялись простые проценты способом 365/365 (точные процен­ты с точным числом дней), но процентная ставка менялась: в начале года - 24%, с 1 апреля - 28% и с 1 июня - 32% годовых?

1.2.68. Депозитный сертификат номиналом 60 тыс. руб. с на­числением процентов по простой процентной ставке 35% годо­вых выпущен на один год. По какой цене его можно приобрести за 150 дней до срока погашения, чтобы обеспечить доходность такой финансовой сделки в виде простой процентной ставки 42% годовых? Расчетное количество дней в году равно 365.

Простая учетная ставка

Основные положения

• Банковское (коммерческое) дисконтирование применяется в ситуации предварительного начисления простого процента, например при операции по учету векселя, заключающейся в по­купке банком или другим финансовым учреждением векселя у владельца до наступления срока оплаты по цене, меньшей той суммы, которая должна быть выплачена по векселю в конце срока. Сумма, которую получает векселедержатель при досроч­ном учете векселя, называется дисконтированной величиной векселя. Проценты, удерживаемые банком в свою пользу, часто называют дисконтом.

• Если специальным образом не оговорены условия, вексель, как правило, учитывается по простой учетной ставке и при этом используются обыкновенные проценты.

• Банковское дисконтирование (в отличие от математическо­го) нельзя осуществить во всех ситуациях (например, по доста­точно большой учетной ставке и задолго до срока платежа).

• Математическое дисконтирование выгоднее для векселе­держателя, а банковское дисконтирование - для банка.

• Удержание простых процентов в момент предоставления ссуды можно рассматривать как соглашение между кредитором и должником о том, что наращение будет осуществляться по простой учетной ставке. Аналогичное соображение можно вы­сказать и относительно операции учета векселя.

• При применении наращения на основе простой учетной ставки величина начисляемых процентов с каждым годом уве­личивается, в то время как при наращении капитала на основе простой процентной ставки капитал ежегодно увеличивается на одну и ту же величину. Простая учетная ставка обеспечивает более быстрый рост капитала, чем такая же по величине про­центная ставка.

• Финансовый результат, полученный с помощью простой учетной ставки, можно получить и с помощью эквивалентной ей простой процентной ставки.

• Финансовое соглашение может не только предусматривать постоянную учетную ставку на весь период, но и устанавливать изменяющуюся во времени (переменную) ставку.

Вопросыдля обсуждения

1. Что представляет собой банковское дисконтирование? В ка­ких случаях оно применяется?

2. Какая ставка используется при банковском дисконтировании?

3. Что называется дисконтированной величиной векселя?

4. Как часто называют проценты, удерживаемые банком в свою пользу?

5. Поясните фразу: «Банковское дисконтирование осуществля­ется процентами "со 100"».

6. Что может произойти, если при достаточно большой учетной ставке попытаться учесть вексель задолго до срока платежа?

7. Верно ли, что по простой процентной ставке вексель можно учесть за любое время до срока его погашения?

8. Какая ставка (учетная или процентная) и в каком смысле более жестко отражает временной фактор? 9. Сравните (аналитически и графически) между собой матема­тическое и банковское дисконтирование в случае, когда про­центная и учетная ставки одинаковы по величине.

Ю.Может ли в принципе банк при учете денежных обязательств (в частности, векселей) использовать процентную ставку и математическое дисконтирование?

11.Какого типа дисконтирование (математическое или банков­ское) выгоднее для векселедержателя?

12.В каких ситуациях возникает задача, обратная банковскому дисконтированию?

13.Какие существуют способы наращения капитала простыми процентами?

14.Чем отличается наращение на основе простой учетной ставки от наращения на основе простой процентной ставки?

15.Какая из простых ставок, процентная или учетная, обеспечи­вает более быстрый рост капитала? Поясните аналитически и графически.

16.Можно ли установить связь между операцией учета векселя и наращением по простой учетной ставке?

П.Верно ли, что наращение капитала по простой учетной ставке осуществляется процентами "во 100"?

18.Какие учетная и процентная ставки называются эквивалент­ными?

19.Может ли простая учетная ставка, эквивалентная простой процентной ставке, превышать 100%?

20. Каким образом с помощью понятий наращенной суммы и приведенной стоимости можно интерпретировать соотноше­ние между эквивалентными ставками (учетной и процентной)?

21. Как можно оценить доходность операции учета векселя? 22.Чем отличается декурсивный способ начисления процентов от

антисипативного? 23.В чем заключается суть факторного анализа учета векселя?