Тема 24. Основные теоремы о вероятности

Задания для решения на практическом занятии

1. В ящике 10 белых, 15 черных, 20 синих и 25 красных шаров. Вынули один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар: 1) белый, 2) черный, 3) синий, 4) красный, 5) белый или черный, 6) синий или красный, 7) белый, черный или синий.

2. В первом ящике 2 белых и 10 черных шаров; во втором ящике 8 белых шаров и 4 черных. Из каждого ящика вынули по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара белые?

3. В условиях предыдущей задачи определить вероятность того, что один из вынутых шаров белый, а другой – черный.

4. В ящике 6 белых и 8 черных шаров. Из ящика последовательно вынули 2 шара (не возвращая первый вынутый шар в ящик). Найти вероятность того, что оба шара белые.

5. Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,75, для второго – 0,8, для третьего – 0,9. Определить вероятность того, что все три стрелка одновременно попадут в цель.

6. В условиях предыдущей задачи определить вероятность того, что в цель попадет хотя бы один стрелок.

7. Вероятность выхода станка из строя в течение одного рабочего дня равна a (a – малое положительное число, второй степенью которого можно пренебречь). Какова вероятность того, что за 5 дней станок ни разу не выйдет из строя? Решить задачу при a=0,01.

8. В ящике a белых и b черных шаров. Какова вероятность того, что из двух вынутых шаров один белый, а другой – черный? Вынутый шар в ящик не возвращается.

9. В ящике 20 белых и 10 черных шаров. Вынули подряд 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в ящик перед извлечением следующего и шары в ящике перемешивают. Какова вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется 2 белых?

10. Вероятность появления события А равна 0,4. Какова вероятность того, что при 10 испытаниях событие А появится не более трех раз?

11. Определить вероятность того, что в семье, имеющей 5 детей, будет 3 девочки и 2 мальчика. Вероятности рождения мальчика и девочки предполагаются одинаковыми.

12. В условиях предыдущей задачи найти вероятность того, что среди детей будет не больше 3-х девочек.

13. В ящике 10 белых и 40 черных шаров. Вынимают подряд 14 шаров, причем цвет вынутого шара регистрируют, а затем шар возвращают в ящик. Определить наивероятнейшее число появлений белого шара.

14. Вероятность попадания стрелком в цель равна 0,7. Сделано 25 выстрелов. Определить наивероятнейшее число попаданий в цель.

15. В результате многолетних наблюдений установлено, что вероятность выпадения дождя 1 октября в данном городе равна . Определить наивероятнейшее число дождливых дней 1 октября в данном городе за 40 лет.

16. Имеется 4 ящика. В первом ящике 1 белый и 1 черный шар, во втором – 2 белых и 3 черных шара, в третьем – 3 белых и 5 черных шаров, в четвертом – 4 белых и 7 черных шаров. Событие – выбор i-го ящика (i=1,2,3,4). Известно, что вероятность выбора i-го ящика равна . Выбирают наугад один из ящиков и вынимают из него шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

17. Имеются 3 одинаковых по виду ящика. В первом ящике 20 белых шаров, во втором – 10 белых и 10 черных шаров, в третьем – 20 черных шаров. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Найти вероятность того, что шар вынут из первого ящика.

18. В ящике 10 деталей, из которых четыре окрашены. Сборщик наудачу взял три детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей окрашена.

19. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает предложенные ему экзаменатором три вопроса.

20. В мешочке содержится 10 одинаковых кубиков с номерами от 1 до 10. Наудачу извлекают по одному три кубика. Найти вероятность того, что последовательно появятся кубики с номерами 1, 2, 3, если они извлекаются: а) без возвращения; б) с возвращением (извлеченный кубик возвращается в мешочек).

21. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.

22. Стрелку для поражения мишени предложено 5 винтовок, причем 3 из них – с оптическим прицелом. Вероятность поражения мишени из винтовки с оптическим прицелом – 0,9; из обычной – 0,55. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелку для одного выстрела предложена наугад взятая винтовка.

23. Для участия в студенческих отборочных соревнованиях выделено из 1-й группы 4 студента, из 2-й – 6, из 3-й – 5. Вероятности того, что отобранный студент из 1, 2 или 3-й группы попадет в сборную, равны соответственно 0,5; 0,4; 0,3. Наудачу выбранный участник соревнований попал в сборную. К какой из трех групп он вероятнее всего принадлежит?

24. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу 5 деталей – 2 стандартные, если вероятность того, что каждая деталь стандартна, равна 0,9.

Задания для самостоятельной работы

1. В ящике a белых, b черных, c синих шаров. Вынули один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар: 1) белый, 2) черный, 3) синий, 4) белый или черный, 5) белый или синий, 6) синий или черный.

2. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,7; а вторым – 0,75. Стрелки выстрелили одновременно. Какова вероятность того, что один из них попадет в цель, а другой не попадет?

3. Вероятность того, что в южном городе N температура в июле в любой день меньше равна a (a – малое положительное число, второй степенью которого можно пренебречь). Какова вероятность того, что в течение первых трех дней июля температура будет не меньше ? Решить задачу при a=0,001.

4. В первом ящике 1 белый, 2 красных и 3 синих шара. Во втором ящике 2 белых, 6 красных, 4 синих шара. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность того, что среди вынутых шаров нет синих?

5. Вероятность того, что в течение дня произойдет неполадка станка, равна 0,03. Какова вероятность того, что в течение 4-х дней подряд не произойдет ни одной неполадки?

6. В классе 12 мальчиков и 18 девочек. Нужно выбрать делегацию из двух человек. Какова вероятность (если считать выбор случайным), что выбраны:

1) 2 мальчика, 2) 2 девочки, 3) мальчик и девочка?

7. Производят 3 выстрела по одной мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,5. Найти вероятность того, что в результате этих выстрелов произойдет только одно попадание.

8. Монету подбрасывают 8 раз. Какова вероятность того, что 6 раз она упадет гербом вверх?

9. Монету подбрасывают 6 раз. Какова вероятность того, что она упадет гербом вверх не более трех раз?

10. В классе 20 мальчиков и 10 девочек. На каждый из трех вопросов, заданных учителем, ответили по одному ученику. Какова вероятность того, что среди ответивших были 2 мальчика и одна девочка?

11. В каждом из четырех ящиков по 5 белых и по 15 черных шаров. Из каждого ящика вынули по одному шару. Какова вероятность вынуть 2 белых и 2 черных шара?

12. Имеется 20 ящиков однородных деталей. Вероятность того, что в одном, взятом наудачу ящике, детали окажутся стандартными, равна 0,75. Найти наивероятнейшее число ящиков, в которых все детали стандартные.

13. Первый рабочий за смену может изготовить 120 изделий, а второй – 140 изделий, причем вероятность того, что эти изделия высшего сорта, составляют соответственно 0,94 и 0,8. Определить наивероятнейшее число изделий высшего сорта, изготовленных каждым рабочим.

14. В первом ящике 5 белых и 10 черных шаров, во втором – 3 белых и 7 черных шаров. Из второго ящика в первый переложили один шар, а затем из первого ящика вынули наугад один шар. Определить вероятность того, что вынутый шар – белый.

15. В первом ящике 1 белый и 2 черных шара, во втором – 100 белых и 100 черных шаров. Из второго ящика в первый переложили один шар, а затем из первого ящика вынули наугад один шар. Определить вероятность того, что вынутый шар ранее находился во втором ящике, если известно, что он белый.

*Схема Бернулли. Формула Пуассона.

Локальная и интегральная теоремы Муавра–Лапласа [21]

1. Вероятность изготовления на автоматическом станке стандартной детали равна 0,8. Найти: 1) вероятности возможного числа появлений бракованных деталей среди 5 отобранных; 2) наивероятнейшее число появлений бракованных деталей среди отобранных.

2. Сколько раз необходимо подбросить игральную кость, чтобы наивероятнейшее число выпадений тройки было равно 10?

3. На факультете насчитывается 1 825 студентов. Какова вероятность, что 1 сентября является днем рождения одновременно 4-х студентов факультета?

4. В некоторой местности из каждых 100 семей 80 имеют холодильники. Найти: 1) вероятность того, что из 400 семей 300 имеют холодильники; 2) вероятность того, что от 300 до 360 семей (включительно) из 400 имеют холодильники; 3) вероятность того, что от 280 до 360 семей из 400 имеют холодильники.

5. В среднем 20 % пакетов акций на аукционах продаются по первоначально заявленной цене. Найти вероятность того, что из 9 пакетов акций в результате торгов по первоначально заявленной цене: 1) не будут проданы 5 пакетов; 2) будет продано: а) менее 2-х пакетов; б) не более 2-х пакетов; в) хотя бы 2 пакета; 3) наивероятнейшее число пакетов.

6. Завод отправил на базу 10 000 стандартных изделий. Среднее число изделий, повреждаемых при транспортировке составляет 0,02 %. Найти вероятность того, что из 10 000 изделий: 1) будет повреждено: а) 3; б) по крайней мере 3; 2) не будет повреждено: а) 9 997; б) хотя бы 9 997.

7. По результатам проверок налоговыми инспекциями установлено, что в среднем каждое второе малое предприятие региона имеет нарушение финансовой дисциплины. Найти вероятность того, что из 1 000 зарегистрированных в регионе малых предприятий имеют нарушения финансовой дисциплины: а) 480 предприятий; б) наивероятнейшее число предприятий; в) не менее 480; г) от 480 до 520.

8. В страховой компании 10 000 клиентов. Страховой взнос каждого клиента составляет 500 руб. При наступлении страхового случая, вероятность которого по имеющимся данным и оценкам экспертов составляет 0,5 %, страховая компания обязана выплатить клиенту страховую сумму размером 50 000 руб. На какую прибыль может рассчитывать страховая компания с вероятностью 95 %?

9. Вероятность малому предприятию быть банкротом за время t равна 0,2. Найти вероятность того, что из 6 малых предприятий за время t сохранятся:

а) 2; б) более 2-х.

10. В среднем по 15 % договоров страховая компания выплачивает страховую сумму. Найти вероятность того, что из 10 договоров с наступлением страхового случая будет связано с выплатой страховой суммы:

а) 3 договора; б) менее 2-х договоров.

11. Предполагается, что 10 % открывающихся вновь малых предприятий прекращает свою деятельность в течение года. Какова вероятность того, что из 6 малых предприятий не более 2-х в течение года прекратят свою деятельность?

12. В банк отправлено 4 000 пакетов денежных знаков. Вероятность того, что пакет содержит недостаточное или избыточное число денежных знаков, равна 0,0001. Найти вероятность того, что при проверке будет обнаружено:

а) 3 ошибочно укомплектованных пакета; б) не более 3-х пакетов.

13. Строительная фирма, занимающаяся установкой летних коттеджей, раскладывает рекламные листки по почтовым ящикам. Прежний опыт работы компании показывает, что примерно в одном случае из 2 000 следует заказ. Найти вероятность того, что при размещении 100 000 листков число заказов будет:

а) равно 48; б) находиться в границах от 45 до 55.

14. Учебник издан тиражом 10 000 экземпляров. Вероятность того, что экземпляр учебника сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что:

а) тираж содержит 5 бракованных книг; б) по крайней мере 9 998 книг сброшюрованы правильно.

15. Вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда, равна 0,01. Найти наиболее вероятное число из 800 пассажиров и вероятность такого числа опоздавших.

16. При обследовании уставных фондов банков установлено, что пятая часть банков имеет уставный фонд свыше 100 млн руб. Найти вероятность того, что из 1 800 банков имеют уставный фонд свыше 100 млн руб.:

а) не менее 300; б) от 300 до 400 включительно.

Тема 25. Дискретные случайные величины,
их числовые характеристики и законы распределения

Задания для решения на практическом занятии

1. Случайная величина Х характеризуется рядом распределения

	0,2	0,4	0,3	0,08	0,02

Построить полигон распределения, функцию распределения, определить числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию и моду).

2. В ящике 6 белых и 4 черных шара. Из него 5 раз подряд извлекают шар, причем каждый раз вынутый шар возвращают в ящик и шары перемешивают. Приняв за случайную величину Х число извлеченных белых шаров, составить закон распределения этой величины, определить ее математическое ожидание и дисперсию.

3. Автоматическая телефонная станция получает в среднем за час 300 вызовов. Какова вероятность того, что за данную минуту она получит точно 2 вызова.

4. Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной величины Х – числа выпадений «герба» при двух бросаниях монеты. Построить полигон распределения.

5. В ящике имеется 4 шара с номерами от 1 до 4. Вынули 2 шара. Случайная величина Х – сумма номеров шаров. Построить ряд распределения и функцию распределения случайной величины Х.

6. Среди семян ржи имеется 0,4 % семян сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 5 000 семян обнаружить 5 семян сорняков?

7. Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0,01. Найти вероятность того, что среди 200 деталей окажется ровно четыре бракованных.

8. Устройство состоит из 1 000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента.

9. В партии из шести деталей имеется четыре стандартных. Наудачу отобраны три детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины X – числа стандартных деталей среди отобранных.

Задания для самостоятельной работы

1. Случайная величина Х характеризуется рядом распределения

	0,2	0,3	0,35	0,1	0,05

Построить полигон распределения, функцию распределения, определить ее математическое ожидание, дисперсию и моду.

2. Стрелок производит по мишени 3 выстрела. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,3. Построить ряд распределения числа попаданий. Найти математическое ожидание.

3. В ящике 5 белых и 25 черных шаров. Вынули один шар. Случайная величина Х – число вынутых белых шаров. Построить функцию распределения.

4. Случайная величина Х характеризуется рядом распределения

	0,24	0,36	0,20	0,15	0,03	0,02

Построить полигон распределения, функцию распределения, определить ее математическое ожидание, дисперсию и моду.

5. Книга в 1 000 страниц имеет 100 опечаток. Найти закон распределения числа опечаток на странице.

6. В партии 10 % нестандартных деталей. Наудачу отобраны 4 детали. Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной величины Х – числа нестандартных деталей среди 4-х отобранных, построить многоугольник распределения и функцию распределения.

7. Вероятность попадания стрелком в мишень равна 2/3. Стрелок сделал 15 выстрелов. Случайная величина Х – число попаданий в мишень. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

8.Учебник издан тиражом 100 000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Составить закон распределения числа бракованных книг в тираже.

9. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Наудачу отобраны две детали. Составить закон распределения числа стандартных деталей среди отобранных.