Функция ожидаемой полезности.

Вероятность повторяющегося события есть частота, с которой оно происходит. Если значения, принимаемые переменной величиной, зависят от исхода, наступающего с той или иной вероятностью, то ожидаемое значение такой переменной есть ее среднеарифметическое взвешенное значение, весами при расчете которого выступают вероятности исходов. Для лотереи (Х) с призами Х1, Х₂, ... Х_п и вероятностями выигрыша p1, p₂, ... р_n ожидаемая стоимость лотереи есть

Итак, ожидаемая стоимость лотереи — это взвешенная по соответствующим вероятностям сумма ее призов (выигрышей), т.е. просто величина приза, который игрок рассчитывает выиграть в среднем. Отклонения от величины этого «усредненного» приза, т.е. от ожидаемой стоимости, могут измеряться такими известными из статистики показателями, как дисперсия и стандартное отклонение.

Дисперсия измеряет изменяемость выигрышей: она есть взвешенная по соответствующим вероятностям средняя квадратов отклонений выигрышей по каждому исходу от ожидаемой стоимости лотереи:

Стандартное отклонение — это квадратный корень из дисперсии:

Предположим, что выбор агента может привести к одному из целого ряда возможных исходов. При этом нельзя определить заранее (в момент выбора), к какому именно исходу он приведет. Множество всех возможных исходов обозначим через С. Предположим, что множество исходов конечно. Будем считать, что вероятности любого исхода также известны.

Простой лотереей будем называть вектор вероятностей L = (p1,…,ps), где ps – вероятность исхода s, ps ∊ [0,1] и = 1.

Сложной лотереей (α1, α2,… α_R., … L1,…,L_R) будем понимать такую лотерею, исходами которой являются простые лотереи, и каждая простая лотерея L_k имеет место с вероятностью αk. Договоримся записывать образованную таким образом сложную лотерею как .

К актуарно справедливымиграм относят игры с нулевой ожидаемой стоимостью или игры за участие в которых игроки готовы заплатить их ожидаемую стоимость.

Пример: Предположим, что азартные игроки Иванов и Петров подбрасывают монетку на следующих условиях: если выпадает «орел», то Иванов платит Петрову 100 руб., а если выпадает «решка», то наоборот. С точки зрения Петрова, в игре имеется два приза: при выпадении «орла» приз составляет Х1 = +100 руб., а при выпадении «решки» Х₂ = —100 руб., и знак «минус» означает, что Петрову придется платить. С точки зрения Иванова, знаки «плюс» и «минус» надо расставить наоборот. Поэтому ожидаемая стоимость игры есть

Иными словами, при многократном разыгрывании маловероятно, чтобы кто-то из игроков оказался в серьезном выигрыше.

Осознав это, Иванов и Петров меняют условия игры. Теперь, с точки зрения Петрова, призами в игре становятся: Х1 = +1000 руб. и Х₂ = —100 руб.: если выпадает «орел», Петров выигрывает 1000 руб., а если — «решка», то проигрывает лишь 100 руб. Ожидаемая стоимость этой игры есть

Однако, согласно распространенным наблюдениям, люди обычно не склонны играть в подобные игры. Объяснение этого факта играет важную роль в теории выбора в условиях неопределенности. Убедительным примером нежелания людей принимать участие в справедливых играх является так называемый Санкт-Петербургский парадокс, впервые исследованный математиком Николасом Бернулли в 1728 г.

Допустим, что некто предлагает вам снова и снова подбрасывать монету до тех пор, пока не выпадет «орел», и обещает уплатить вам 2ⁿ долл., где n— номер броска, при котором это произойдет: 2 долл., если это случится при первом же броске, 4 долл. — если при втором, 8 долл. - если при третьем, и т.п. Какую максимальную сумму вы готовы заплатить (т.е. от какого максимального верного выигрыша готовы отказаться), чтобы сыграть в эту игру один-единственный раз?

У данной игры может быть бесконечное количество исходов (монету можно подбрасывать, что называется, до Судного дня, и, хоть это и малоправдоподобно, «орел» так и не выпадет). Вероятность первого выпадения «орла» при i-й попытке равна (0,5)ⁱ : это— вероятность появления «орла» после того, как (п — 1) раз подряд появлялась «решка». Следовательно, вероятности получения выигрыша для первых трех шагов составят:

Вероятность получения выигрыша в условиях этой игры в общем виде . Ожидаемая стоимость игры «Санкт-Петербургский парадокс» равна бесконечности: , но ни один игрок не согласится уплатить за участие в такой игре сколько-нибудь крупную сумму.

Этот парадокс был разрешен Дэниэлом Бернулли, который утверждал, что индивидов интересует не сам денежный выигрыш, а, скорее, его полезность для них. И если предположить, что по мере роста дохода его предельная полезность убывает, то данная игра может иметь некую конечную стоимость «ожидаемой полезности моральной ценностью игры», которую игроки готовы заплатить за право участия в игре. Поскольку полезность может увеличиваться медленнее, чем денежная стоимость выигрышей, вполне возможно, что моральная ценность игры окажется ниже ее ожидаемой стоимости.

Итак, поведение индивидов в ситуации неопределенности можно объяснить, исходя из наличия у них функции ожидаемой полезности, являющейся взвешенной по вероятностям наступления каждого из исходов средней из полезностей этих исходов, которая получила название функции полезности фон Неймана-Моргенштерна

Отношения предпочтения индивида в условиях неопределенности являются рациональными, непрерывными и независимыми.

Отношение предпочтения, определенное на удовлетворяет аксиоме независимости, если для любых L,L`,L`` и любого α∊(0.1], L L` тогда и только тогда, когда αL + (1-α)L`` αL` + (1-α)L``.