Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования.

(!!!) здесь везде Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru в степени *(звездочка)

Модели перестрахования.

Главная цель - уменьшить риски страховой компании, передав часть рисков другим страховым компаниям. Делимся рисками -делимся доходами. Дилемма страховой компании - жадность и страх.

Страх при этом нормативров., нельзя взять больше, чем позволено. Нормативы меняются, размер риска связан с капиталом компании.

1. Пропорциональное страхование.

Z - размер риска, случайная величина страховой выплаты. Z=∑ Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru

α - остается у цедента αZ (1-α)Z

(1-α) -переход к цессионарию

EZ- средний размер возмещения, ожидаемый по портфелю.

α(1+η)EZ - премия страховщика

(1-α)(1+ Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru )EZ - премия перестраховщика

у - доход цедента

y=[η- Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru +(1+ Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru )α] EZ (*)

(1+η)EZ - (1-α)(1+ Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru )EZ - остается на долю страховщика

P(αZ > y) - вероятность разорения

Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru P(αZ > y) min(α)

Подставим у(*) и разделим на α

Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru Р(Z > [ Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru +(1+ Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru ) ]EZ) min(α)

Рассмотрим три случая:

1) η > Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru ( надбавка страховщика больше, чем перестраховщика)

если у=0, то страхователь получает безрисковый доход, что не бывает.

Своя доля завышена, на это никто не идет.

2) η = Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru

от α ничего не зависит. риск прежний, только теряются доходы.

Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru 3) η < Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru , α max

В рамках данной конструкции перестрахование не имеет смысла, но он есть:

η= Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru при условии:

Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru = ∑ Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru = nD - эта формула работает, когда cov=0

Допустим, имеется несколько регионов, в которых страховщики страхуют регионы от потери урожая. От страхования страдают все регионы, а не только один. В итоге риск делится поровну между всеми регионами ( Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru ),тогда

η= Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru

Эта схема позволяет понять, что за счет пропорционального перестрахования приобретается диверсификация, отсюда идет снижение рисковой надбавки или вероятности разорения.

24. Математическая модель непропорционального (эксцедентного) перестрахования. Общая схема. Численный пример.

(!!!) здесь везде Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru в степени *(звездочка)

Непропорциональное страхование – илиСтрахование эксцедента убытка (stop-loss, передается то, что выше опред.суммы, котор.зависит от r). Перестрахование редко вступает в действие, но в этих случаях не несёт рисков – распределение убытка несимметрично.

У нас есть риск Zi ,и он делится след. образом:

Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru Z

Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru = min ( Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru ,r) Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru - Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru = max (0, Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru )

(Цедент) (Цессионарий)

Для перестраховщика эта ситуация ведения бизнеса - аналог франшизы.

 
  Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru

Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru r Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru

Z=∑ Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru

Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru =∑ Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru

Для простоты все Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru одинаковые:

Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru = µ, у перестраховщика только больше дисперсия.

Доход страховщика без перестрахования : у=(1+η)EZ = (1+η) Nµ

Если он передает часть рисков в перестрахование, то:

у= N(1+ Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru )(E Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru - E Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru )

y - доход цедента =N(η- Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru )µ + N(1+ Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru ) E Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru

Как и раньше- задача минимизировать вероятность разорения.

P( Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru > y) = P ( Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru > Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru )

=

= 1 - Ф ( Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru )

это C(r)

Т.к. Ф монотонно возрастает, то эта вероятность минимальна, когда Ф максимальна.

Но Ф à max, если C à max, C - функция от переменной r, которая нбх опред, из критерия:C(r) à max.

Пример

Пусть страховая компания имеет 10 000 договоров на 1 год.

Все договора одинаковые, имеем следующее распределение:

Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru
Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru 5 * Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru 2* Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru 1-25* Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru

E Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru =5 * Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru * Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru + 2* Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru * Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru = 700

D Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru =5,2 * Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru

Пусть Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru = Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru = 1,645

На 1 год: Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru = E Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru + Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru * Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru = 1075

Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru

Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru =700

Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru =375

η= Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru = Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru = 0,536

надбавка норм., тк большое N

Т.о.

y=(1+η) µN = (1+0,536) * Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru * 700 =10752000 ye

2) Пусть r = 105, т.е цессонарий возмещает более ???

также надо установить Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru , у которой другое распред. риска

Пусть Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru =0,6, Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru , т.к его диспресия больше

Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru 105
pi 25*10-4=0.0025 1-25*10-4=0.9975

3) Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru =250

Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru =25*106

- почти бернул. распред.

До перестрахования доход цедента y=NT=1075*104

доход цессионария для 1-го договора Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru

Распред. Ущерба для цессионария – риск за чертой r

Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru 900 000
pi 5*10-4 1-5*10-4

Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru =9*105*5*10-40 – нетто-ставка перестраховщика для цедента

доход цессионария

Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru

у цедента остается y’=355*104

Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru 1-Ф(2,1)=0,018

или вероятность разорения Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru

(риск разорения без цессии составляет5%, исходя из β=0,95)

Исследуем, как влияет лимит ответственности на параметры страховщика(риск его разорения, доход), если величина удержания произвольна

Можно ли найти оптимальное удержание?

Пусть r=r’/105, изменили ед. измерения для удобства

r=1 => Z(r)=105 ; r=10 => Z(r)=106

Таблица распределения, будем считать, что 1<r<10, те между 105 и 106

для цедента решьине была 1, qp-вер-ть)

Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru r
pi 5*10-4 20*10-4 1-25*10-4

Необходимо найти доход и риски для страховщика

Кол-во договоров 10 000, N=104

индивид Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru =5*10-4(r+4) => для N, Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru =5*(r+4)

Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru =5*(r2+4)*10-4 => Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru =5*(r+4)

Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru - среднее, то что получает перестраховщик.

но у него еще есть накрутка – 1,6*5*10-4*(10-r)=8(10-r)* 10-4 – в расчете на одного человека, 1,6 – риск надбавки для перестраховщика

Т.к валюта поменялась, то 1075*10-1 =>107.5

y(r) =107.5-8(10-r) =27.5+8r

Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru нам надо найти такое r, чтобы максимизировать функцию Ф, тем самым минимизировать разорение

max rk=1.6 à160 000

h(r)à max(r)

hmax=2.15 à Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru

Цели перестрахования, виды перестраховочных договоров, терминология. Математическая модель пропорционального перестрахования, эффект пропорционального перестрахования. - student2.ru

ниже r=1.6 – нет смысла рассматривать

выше - эффективное множество Парето-Эджуорта

в (.)1 – минимальные риски

в (.)2 – макс. доход

Вся задача рассматривается с позиции цедента.

Наши рекомендации