Математическая модель динамики населения с учётом возрастной структуры. Стационарное возрастное распределение и его вероятностная интерпретация. Теоретические (аналитические) законы смертности.
Основы демографической статистики и моделирование.
Рассмотрим модель динамики населения с учётом возрастной структуры:
Пусть
l(t,x)-количество моделей в возрасте x в момент времени t
l(0,x)-распределение людей по возрасту в некоторый начальный момент времени – кол-во людей в «нуле»
l(t,0)-скорость рождения – сколько людей рождается в момент времени t
, или 
где μ(x) -интенсивность смертей (смертность) - какая-то часть людей возраста x, умерших в момент вр. t,
d=μ*l -абсолютная смертность (количество умерших)
,
Где [ 
]-фертильный возраст – интервал фертильности,
-функция рождаемости.
[ 
+/- ∆] - модель с включением миграции
Точно такой же моделью описывается движение рек (коэф. v - скорость реки): 
)
x- расстояние, l-количество загрязняющих веществ, 
-самовосстановление реки.
Пусть популяция стационарна, не зависит от t, то есть смертность и рождаемость постоянны во времени. В этом случае частные производные превращаются в ноль, кроме производной по возрасту:
- стационарное возрастное распределение
-количество родившихся ( 
)
Подставив, получим 
– демографический потенциал.
Если соблюдать равенство, то распределение стационарно, сокращается, и сравниваем:
если 
, то популяция не будет стационарной,
если же 
, то популяция стационарна.
Если бы интенсивность смерти и рождаемости не зависели от t, то получаем зависимость от возраста (выше – lx=… - стац.возраст.распред.) - такая модель лежит в основе актуарных расчётов, но рассматривается не всё население, а когорта. Рассм, как меняется во времени их численность:
-некоторое количество людей, которые родились в один год
-умершие до года (детская смертность) – 10% - вызывает скачок l(x)
-момент рождения человек – начало координат
-постепенно умирают
-к годам x=100 – обозначается w - никого не остаётся
100 x
Кривая 
называется кривой дожития, означает, какая часть людей доживает до возраста x. Чтобы построить функцию, необходимо иметь статистику по когорте. Функция строится в табличном виде, данные статистики вносятся в таблицу выживания (или таблицу смертности).
| : lо Þ 
, это получим, решая дифференциальное уравнение
В результате 
, s(x) –это доля живущих, выживших (сл-но, вероятность).
Теоретические законы смертности –нбх знать вид функции интенсивности смерти, чтобы определить вероятностные хар-ристики стац.возраст.распределения.
1) 
По аналогии с популяциями животных
, тогда 
 |
2) Закон де Муавра (1729)
, где w-некоторый предельный возраст
3) З-н Гомперца (1825)
, a, B-некоторые коэффициенты, раскроем s: => 
s(x)=exp{ 
}
Зависимость объясняет, что поскольку d= m должна иметь максимум, этот максимум смертей попадает на определённый возраст жизни. В этом возрасте вероятность смерти выше по сравнению с остальными.
, где максимум берется по функции f=ms=-ds/dx
(это были основные, дополнительные дальше)
4) Модель Мэйкхема
- добавляется к предыдущей модели коэф. A-учитывает некоторый фон, связанный с эпидемиями, бедствиями, различными катастрофами
5)Закон Вейбула
,
s(x)=exp{ 
}
6) Распределение Перкса
-является вогнутой и хуже описывает ситуацию (остальные были вогнутые)
(функция s(x) довольно громоздкая)
Вероятностная интерпретация стационарного распределения
Введём случайную величину X – продолжительность жизни при рождаемости. Тогда P(X>x)=s(x), F(x)=P(X≤x)=1-s(x)
s(x)
P( 
>x)
x
Найдём вероятность умереть на интервале
Пусть t малая величина, тогда:
t 
-мгновенная смерть/интенсивность смертей
S=1-F
S`=-fÞm(x)= 
– показывает риск умереть в возрасте х – функция риска.
Основные вероятностные характеристики, используемые в страховании жизни (безусловные и условные вероятности дожития, интенсивность смертности, средняя продолжительность жизни при рождении, средняя остаточная продолжительность жизни). Таблицы выживаемости (смертности). Отличие средних при использовании непрерывной и дискретной моделей.
Введём случайную величину X – продолжительность жизни при рождаемости. Тогда P(X>x)=s(x), F(x)=P(X≤x)=1-s(x)
s(x)
P( >x)
x
Введём случайную величину L(x) – количество людей доживших до возраста x, причём lx – конкретная фактическая известная величина, поэтому значение приближённое:
l(x)=EL(x) ~~ 
, т.е. l(x)=
I-индикатор события дожития A=( >x) (дожил-1, не дожил-0), поэтому её мат.ож. равно вер-ти А.
Обознач. 
-если величина дискретная, l(x) - если возраст считать непрерывной величиной
На практике используется не функция, а таблица (дискретная вел-на кол-ва людей):
| x | |  |  |  |
| | ||||
 | ||||
| … | ||||
 |
Начальная графа – стартовый размер когорты -корень таблицы, который показывает её точность (1000, 10000, …), и чем больше, тем точнее.
Количество умерших за год в когорте: dx= 
Вероятность того что человек дожил до возраста x, но вероятность мереть в следующем году: 
Это вероятность условная - при условии, что человек дожил
Вероятность прожить ещё год: 
Количество смертей (умерших), человек дожил до возраста x, но умер в ближайшие n лет: ndx= 
Соответственно условные вероятности
n =ndx/ ; n 
Найдём вероятность умереть на интервале [x, x+t]:
P(x<X≤x+t|X>x)= 
Пусть t малая величина, тогда:
t 
-мгновенная смерть/интенсивность смертей
S=1-F
S`=-fÞm(x)= – показывает риск умереть в возрасте х
В теории вероятности такая функция называется функцией риска
Среднее время жизни.
1) Среднее время жизни при рождении. 
2) Остаточная продолжит.жизни – случ.величина, её мат.ож – средняя остаточная продолжит.жизни
Найдем распределение 
:
вероятность умереть в интервале(x;x+t)
T(x)=X-x (?)
t – сколько осталось прожить
- приближенно
Рассмотрим вероятность того, что человек, доживший до возрастра x проживет еще m лет, но умрет в последующий n лет:
- отложенная смерность