БУРБАКИ НИКОЛЯ (Bourbaki Nicolas) (1936)

БУРБАКИ НИКОЛЯ(Bourbaki Nicolas) (1936) — собирательное название группы французских матема­тиков, выпускников университета "Высшая Нормаль-

ная школа" (Париж), выступивших с концепцией (иду­щей от Д.Гильберта) построения математики с точки зрения принципов логики и аксиоматики теории мно­жеств Цермело-Френкеля (в доработке Бернайса и Геделя). Состав и численность группы Б.Н. не известны. Многотомный трактат Б.Н. "Элементы математики" (издаваемый с 1939) развивает аксиоматическую фор­мальную систему, долженствовавшую преобразовать главные направления математических наук в "частные аспекты общей концепции". В изложении давался только логический каркас (абстрактный и формализо­ванный) теорий. В основаниях изложения лежат опре­деляемые посредством аксиом иерархические структу­ры: топологические, порядка, группы и др. По Б.П., "единственными математическими объектами стано­вятся, собственно говоря, математические структуры" ("Архитектоника математики", 1948). М.Клайн о Б.Н. пишет, что "в целом свойственное этой группе стрем­ление рассматривать математику как науку о математи­ческих структурах идет навстречу определенным уст­ремлениям в современной прикладной математике, вы­ражающимся в росте значения математического моде­лирования внематематических феноменов". Классифи­кация математических наук на основе математических структур, данная там же, отличается от стандартной. Способ рассуждений в трудах Б.Н. — только "от обще­го к частному". По Б.Н., Д.Гильберту и А.Черчу, мате­матические понятия и их свойства существуют в неко­тором смысле объективно и потому познаваемы: мате­матическую истину открывают, а не изобретают; по­этому то, что эволюционирует, есть не математика, а лишь человеческое знание математики. При этом для Б.Н. основная проблема мира "состоит во взаимодей­ствии мира экспериментального и мира математичес­кого. То, что между материальными явлениями и мате­матическими структурами существует тесная связь — это, как кажется, было совершенно неожиданным спо­собом подтверждено... открытиями современной физи­ки, но нам совершенно неизвестны глубокие причины этого (если только этим словам можно приписать ка­кой-либо смысл), и быть может, мы их никогда не узна­ем". Согласно М.Клайну, "математику можно пред­ставлять как своего рода хранилище математических структур. Некоторые аспекты физической или эмпири­ческой реальности точно соответствуют этим структу­рам, словно последние "подогнаны" под них". Для Б.Н. логика, подчиненная аксиомам собственно математи­ки, "не определяет ни того, что такое математика, ни того, чем занимаются математики", а представляет со­бой "не больше и не меньше, как грамматику языка, ко­торым мы пользуемся, языка, который должен был су­ществовать еще до того, как могла быть построена

грамматика" ("Журнал символической логики", 1949). Ситуация с бесконечными множествами продемонст­рировала потребность новых модификаций логики при развитии математики. Применяя аксиому выбора и за­кон исключенного третьего, Б.Н. отвергали концепции Д.Гильберта, Рассела, Фреге и др. А по поводу непро­тиворечивости своих построений Б.Н. только лишь по­мечали в них, что все противоречия возможно преодо­леть способом, "позволяющим избежать всех возраже­ний и не оставляющим сомнения в правильности рас­суждений". По этому поводу Б.Н. также полагали, что "как показывает анализ исторического развития мате­матики, было бы неверно утверждать, что математика свободна от противоречий; непротиворечивость пред­стает как цель, к которой следует стремиться, как некое данное Богом качество, ниспосланное нам раз и на­всегда. С древнейших времен критические пересмотры оснований всей математики в целом или любого из ее разделов почти неизменно сменялись периодами не­уверенности, когда возникали противоречия, которые приходилось решать... Но вот уже 25 веков математики имеют обыкновение исправлять свои ошибки и видеть в этом обогащение, а не обеднение своей науки; это да­ет им право смотреть в будущее спокойно" ('Теория множеств"). Направление интуиционизма в математи­ке, о котором, как считают Б.Н., "математики вспоми­нают как о своего рода историческом курьезе", оказало существенное влияние на математические науки хотя бы одним уже только тем, "что заставило своих про­тивников, т.е. подавляющее большинство математиков, яснее осознать причины (одни — логического порядка, другие — психологического) их веры в математику" ("Очерки по истории математики"). По поводу все бо­лее и более нарастающей специализации в математиче­ских науках, Б.Н. писали, что многие из математиков "не в силах даже понять язык и терминологию своих собратьев, специальность которых далека от них. Нет такого математика, ...который бы не чувствовал себя чужеземцем в некоторых областях огромного матема­тического мира; что же касается тех, кто подобно Пу­анкаре или Гильберту, оставляет печать своего гения почти во всех его областях, то они составляют даже среди великих редчайшее исключение" ("Очерки по истории математики"). Лидеры Б.Н. всегда деклариро­вали "антиприкладной" характер своей деятельности. Один из лидеров Б.Н., Ж.Дьедонне (Жан Александр Эжен Dieudonne, p. в 1906, окончил Эколь Нормаль в 1927, преподавал в Университетах Франции и США, член Парижской АН с 1968; основные направления на­учных интересов: алгебраическая геометрия, матема­тический анализ, спектральная теория операторов, то­пология, функциональный анализ), считая, что матема-

тика развивается в силу внутренних побудительных мотивов, на предупреждения "о гибельных последст­виях, которые математика неминуемо навлечет на себя, если откажется от применений к другим наукам", отве­чал, что "даже если бы математика насильно была от­резана от всех прочих каналов человеческой деятель­ности, в ней достало бы на столетия пищи для размы­шлений над большими проблемами, которые мы долж­ны еще решить в нашей собственной науке" ("Совре­менное развитие математики", 1964); впрочем, он здесь говорил только о чисто абстрактных областях, близких его научным интересам. Выражая полную уве­ренность в том, что любые возникающие проблемы ло­гики непременно когда-нибудь будут разрешены, Дьедонне утверждал, что "если когда-нибудь будет доказа­но, что математика противоречива, то скорее всего ста­нет какому правилу следует приписать полученный ре­зультат. Отбросив это правило или надлежащим обра­зом видоизменив его, мы избавимся от противоречия. Иначе говоря, математика изменит направление своего развития, но не перестанет быть наукой. Сказанное не просто умозаключение: нечто подобное произошло по­сле открытия иррациональных чисел. Мы далеки от мысли оплакивать это открытие, потому что оно вскрыло противоречие в пифагорейской математике, а, напротив, сегодня мы считаем его одной из великих побед человеческого духа". В докладе "Абстракция и математическая интуиция", сделанном Дьедонне на коллоквиуме "Математика и реальность" (1974, Люк­сембург), в традициях Б. на первый план были выведе­ны математические структуры, и большое внимание было уделено взаимопроникновению алгебры, арифме­тики и теории функций. Дьедонне также говорил там, что в математике нет одной интуиции (т.к. в больших математических конструкциях могут объединяться не­сколько интуиции), а в математике есть спектр разно­образных взаимодействующих между собой устано­вок. Математические интуиции не постоянны, т.к. "почти каждый год появляется незаурядный молодой математик, показывающий новый способ перенесения интуиции из одной области в область, совершенно от нее отличную... Прогресс интуиции... идет рука об ру­ку с прогрессом абстракции. Чем более абстрактно яв­ление, тем больше оно обогащает интуицию... Потому что абстракция удаляет из теории все несуществен­ное... Остался скелет, и в этом скелете вам иногда уда­ется увидеть структуры, которые иначе вам увидеть бы не удалось... Возможно, это мучительно для лиц, жела­ющих ее /интуицию — C.C.I постичь, но я не думаю что кто-то может этого избежать". Один из лидеров Б.Н., А.Вейль (Андре Weil, p. в 1906, окончил Эколь Нормаль в 1928, профессор Принстонского института

перспективных исследований, член Парижской АН с 1982; основные направления научных интересов: тео­рия непрерывных групп, абстрактная алгебраическая геометрия; ввел понятия "абстрактное алгебраическое многообразие" и "равномерное пространство") напи­сал математический раздел "Математическая теория брачных союзов" диссертации антрополога и филосо­фа Леви-Стросса "Элементарные системы родства" (1949). А.Вейль, утверждая, что "математика уже не есть то прежнее величественное творение человечес­кой мысли", однако полагал, что "для нас, чьи плечи ноют под тяжестью наследия греческой мысли, кто идет по стопам героев Возрождения, цивилизация не­мыслима без математики. Подобно постулату о парал­лельности, постулат о том, что математика выживет, утратил свою "очевидность". Но если первый постулат перестал быть необходимым, то без второго мы жить бы не смогли".

С.В. Силков