Аксиоматический и конструктивистский методы в логике и математике
В предыдущем параграфе значительное внимание было уделено гипотетико-дедуктивному объяснению и его схеме:
Ci
Lj
Дедукция
Е
Эта схема характерна для всех естественно-научных дисциплин. Логико-математические науки, в силу своей специфики, заключают эмпирическую базу науки (Ci, Е) как бы в скобки. Многовековая практика науки показывает, что в этом есть вполне оправданный резон. Отход от непосредственного осмысления реальных эмпирических событий грозит упущениями, появлением неоправданных домыслов. Но он сулит и выгоду: сбросив эмпирический балласт, мысль движется в сфере Lj и быстрее, и свободнее, и строже. Теперь Lj – это не законы (гипотезы) природы, а конституенты (конструкты) логики, математики и аналогичных им наук. Естественно, свобода логики и математики от эмпирических наук не является абсолютной. В науке все взаимосвязано, она воспаряет в логико-математические высоты не без вполне очевидного желания напоить живительными научными соками эмпирический мир жизни человека. Если бы логика и математика действовали в стиле эмпирических наук, то они были бы всего лишь их дублерами и не доставляли бы им ценную информацию. Логика и математика строят возможные миры и делают это настолько эффективно, что предоставляют в распоряжение эмпирических наук богатейшие ресурсы. Идея возможных миров восходит к Лейбницу, который считал принцип бесконечного числа миров своим изобретением и полагал, что Бог избрал из всех миров наилучший [26,с.136,155,161]. По понятным причинам не эмпирик, а именно логик и математик могут претендовать на лучшие воображаемые миры.
Возможные логико-математические миры следует понимать в широком смысле [4,с.50]. Совсем не обязательно они являются отображениями реальных явлений. Это имеет место только при условии состоявшейся интерпретации, установлении взаимооднозначного соответствия между, например, структурами математики и понятиями физики. В таком случае математические конструкты теряют свою обособленность от физических явлений и, будучи вовлеченными в новый контекст, приобретают характер физических понятий (в том числе идеализации). Так появляются понятия материальной точки, круговых орбит, векторных величин.
На вопрос, что такое материальная точка, надо искать ответ в физике и именно здесь. Что такое Геометрическая точка, выясняется в геометрии. Мир математики – это другой мир, отличный от мира физики (биологии или социологии). Между этими мирами порой устанавливается соответствие, тогда, как часто выражаются, математика начинает работать с непостижимой эффективностью. Но упомянутое соответствие может отсутствовать. Это обстоятельство ни в коей мере не ставит под сомнение актуальность математического знания. Специфика логики и математики содержится в них самих, а не где-то в другом месте.
Научное объяснение в сфере естествознания реализуется гипотетико-дедуктивным методом. В неэмпирических науках гипотетико-дедуктивный метод не может быть задействован, ибо отсутствуют эмпирические факты, нет самого объекта объяснения. Для неэмпирических наук действенен не гипотетико-дедуктивный, а аксиоматический и конструктивистский методы. Их назначение – выяснение характера логической и математической дискурсивности (рациональности). Ничего более.
В историческом плане истоки аксиоматического метода восходят к философии великих греков античности. Труд Евклида "Начала", в котором сделана попытка аксиоматически изложить геометрию, относится к III в. до н.э. Но лишь "Основания геометрии" Гильберта (1899) явились первым геометрическим трудом, удовлетворяющим строгим требованиям, предъявляемым к аксиоматическим теориям. По сути, именно XX век стал веком триумфа аксиоматического метода.
Основное требование аксиоматического метода состоит в задании: 1) исследуемых объектов (например, высказываний для логики или чисел, функций, рядов для математики); 2) аксиом, исходных положений теории; 3) правил вывода (дедукции) из аксиом других положений теории. Обычно речь идет об аксиоматической системе. Чтобы ее задать, требуется некоторый язык. В этой связи широко используют символы (значки), а не громоздкие словесные выражения. Замена разговорного языка логическими и математическими символами называется формализацией. Если формализация имеет место, то аксиоматическая система является формальной, а положения системы приобретают характер формул. Получаемые в результате вывода формулы называются теоремами, а используемые при этом аргументы – доказательствами теорем. Такова описанная нами вкратце и считающаяся чуть ли не общеизвестной структура аксиоматического метода.
Логика и математика в отличие от физики и биологии исследуют не реальные, а воображаемые объекты. В эмпирических науках научное мышление занято уяснением единства общего и единичного. Логике и математике нет необходимости следовать по аналогичному пути поиска соотношения общего и единичного. Так, геометру совсем необязательно воображать себе многообразие единичных треугольников и искать их общее. Он задает конструкт, или, что то же самое, математический объект – "треугольник", и характеризует его как можно более основательно и всесторонне в рамках определенной аксиоматической системы. Вся эта работа может быть проведена на языке символов письма, совсем не нужно чертить на бумаге или доске треугольники. Известно, однако, что изображение математических объектов в форме чертежей и схем иногда полезно, ибо дает воображению дополнительный материал для творчества.
Для понимания аксиоматического метода крайне важно различать, с одной стороны, интерпретацию логики и математики на данные эмпирических наук, а с другой – иллюстрацию самого логико-математического материала, придание ему наглядного выражения. В случае интерпретации логико-математические конструкции "тонут" в эмпирическом материале и больше не являются по своей природе логико-математическими (материальная точка – физическое понятие, а не математический объект).
При иллюстрации логические и математические конструкции сохраняют свою обособленность от эмпирии. Если геометр чертит треугольник на доске, то это графический образ математического объекта, фигурирующего под названием "треугольник". Начерченный треугольник отнюдь не представитель всех треугольников, как считал Кант [15, с. 423 - 425] и вслед за ним многие другие философы и геометры. Всякий начерченный треугольник может служить образом, картинкой математического объекта "треугольник". Математика интересует чертеж треугольника именно как образ его мысленных изобретений. Математик не изучает свойства каких-либо реальных треугольников, это дело естествоиспытателя, каковым математик, так же как и логик,не является по определению.
Смешение эмпирической интерпретации логико-математического материала и его иллюстрации на тех или иных реальных объектах совершенно недопустимо. Такое смешение снимает различие между эмпирическими и неэмпирическими науками, между гипотетико-дедуктивным и аксиоматическим методами. Между тем различие существует. Отождествление двух указанных методов приводит к желанию аксиоматизировать, например, физику. Физике можно пытаться придать наиболее строгий гипотетико-дедуктивный вид, но это не аксиоматизация. Аксиоматизация физики превратила бы ее в математику, в результате чего исчезла бы специфика физического знания.
М. Бунге справедливо отмечает, что в области физических теорий формальный аппарат математики и логики "ничего не говорит о физическом значении" [27,с.198]. Этот аппарат безмолвствует относительно физического значения в силу простого обстоятельства – его там нет. Вопреки расхожему мнению эмпирические науки говорят не на языке логики и математики, а на языке соответствующим образом интерпретированной логики и математики. Язык физики – это не что иное, как язык физики, язык социологии – это не что иное, как язык социологии. Русский язык – это русский язык (а не греческий или латинский, по отношению к которым он сохраняет известную историческую и фонетическую преемственность).
Интересно, что различие интерпретации и иллюстрации характерно не только для неэмпирических и эмпирических наук, но и для всех междисциплинарных связей, в том числе для соотношения логики и математики. Как логика, так и математика подчас конструируются аксиоматически – в этом они схожи. Но они отличаются своими объектами. Логика занимается высказываниями о предикатах (признаках), математика интересуется числами, рядами, кольцами и т.п. Математика сама задает свои объекты и их свойства. Этим не занимается логика. Именно по этой причине оказалась несостоятельной программа логицизма, выдвинутая Фреге и Расселом. Попытка свести математические объекты к логическим оказалась безнадежным мероприятием [28,с.76-80]. Интерпретация логики на математику перечеркивает логику как логику. Соответственно интерпретация математики на логику перечеркивает математику как математику. Фреге перенес из математики в логику понятие функции. Так в логике появились пропозициональные функции (предложения с переменными). Пропозициональная функция – это логический, а не математический объект. Математическая логика постоянно подпитывается токами знания от математики, но от этого она не становится математикой. Разумеется, логику можно иллюстрировать примерами из математики.
Обратимся теперь к характеристике аксиом и их соотношениям. Под аксиомой понимается отправной пункт всех возможных в данной неэмпирической системе выводов (доказательств). Аксиома – это не вечное, непреложное истинное положение, не нуждающееся в доказательстве в силу своей самоочевидности (такие положения просто-напросто не существуют), а составной элемент теории, который получает подтверждение вместе с нею [29, с.9-10]. Аксиома – это не раз и навсегда установленное положение. Дело в том, что в качестве аксиом могут быть избраны различные положения. Аксиомы соотносительны с теоремами. В евклидовой геометрии в качестве пятой аксиомы можно избрать как положение о том, что сумма углов в треугольнике равна 180° (а), так и утверждение, что через точку, находящуюся вне данной прямой, можно провести лишь одну параллельную ей прямую (б). Если а избирается в качестве аксиомы, то б есть теорема; если б считается аксиомой, то а станет теоремой.
Число аксиом варьируется в широких границах; от двух-трех до нескольких десятков. К аксиомам и выводам из них предъявляются требования непротиворечивости, независимости и полноты [30,с.110].
Теория противоречива (а вместе с ней противоречивы и аксиомы), если в ее состав входит как высказывание А, так и его отрицание не-А. Если в теории появляются противоречия, то от них стремятся избавиться. В связи с этим избираются новые аксиомы.
Независимы, друг от друга те аксиомы, которые не выводимы в теории в качестве теорем. Независимость аксиомы указывает на ее необходимость для получения всей совокупности выводов данной теории.
Аксиоматическая система теории является полной, если все ее положения выводимы (сами аксиомы не нуждаются в выводе). Если же в составе теории обнаруживается невыводимое из ее аппарата положение, то необходимо определиться относительно него. Это положение либо является еще одной аксиомой, которая, будучи присоединенной к исходным, делает теорию более строгой, либо придание рассматриваемому положению статуса аксиомы приводит к противоречиям. Лишь второй случай указывает на неполноту системы аксиом. Последняя должна быть дополнена, чтобы анализируемое положение приобрело характер теоремы.
Интересно, что при современной трактовке содержания аксиоматического метода допускается известное ослабление каждого из трех указанных выше требований: независимости, полноты и непротиворечивости аксиом теории. Практика научных исследований показывает, что не следует торопиться с отправкой теорий в "отходы". Они сохраняют "трудоспособность" при частичной зависимости аксиом друг от друга, их известной неполноте и даже появлении противоречий, если они не разрушают теоретическую систему (речь идет о так называемых паранепротиворечивых логиках) [31]. Если теория не соответствует строгим требованиям аксиоматического метода, то приходится специально рассматривать вопрос о целесообразности ее дальнейшего использования.
Прояснению оснований аксиоматического метода в значительной степени способствовал немецкий математик Д. Гильберт, создатель программы формализма. Для этой программы характерны следующие моменты [28,с.88-92; 32,с.148-153]:
§ Математическая аксиоматическая система должна быть представлена в качестве формальной системы.
§ Непротиворечивость математической системы должнабыть доказана ее собственными средствами.
§ Если доказана непротиворечивость теории T1, то непротиворечивость теории Т2 определяется на основе метода моделей: при установлении соответствия между всеми аксиомами и теоремами двух теорий, из которых одна непротиворечива, непротиворечивой признается и другая. Вопрос о непротиворечивости одной теории сводится к непротиворечивости другой. Особое значение придается в этой связи формальной арифметике. Если бы удалось доказать непротиворечивость арифметики, то непротиворечивость других математических теорий можно было устанавливать, проецируя их (в указанном выше смысле соответствия) на арифметику. Особый интерес к арифметике как математической модели не случайный: арифметика представляется наиболее простой из класса действительно актуальных и богатых по своим возможностям математических теорий.
§ Целый ряд математических конструктов, наиболее спорных в силу их причастности к так называемым математическим парадоксам, переводится в разряд идеальных символов, функционирующих всего лишь согласно определенным непротиворечивым правилам. Таковой признавалась, например, актуальная бесконечность.
В конечном счете, как предполагалось, все спорные вопросы разрешались в силу их сведения к формулам, вывод которых должен был осуществляться за конечное число математических шагов (речь идет о финитных доказательствах). Итак, главное в формализме Гильберта – это формализация аксиоматической системы и доказательство ее непротиворечивости.
Для простых систем исчислений высказываний доказательствоих непротиворечивости вполне возможно. Но в случае арифметики и теории множеств – двух образцовых математических теорий – ситуация оказывается довольно необычной и непредвидимой с позиций здравого смысла, не умудренного математическим опытом. Речь идет о двух знаменитых теоремах австрийца К. Гёделя. Согласно теореме о неполноте, в достаточно богатых формальных непротиворечивых системах, содержащих арифметику (или, например, теорию множеств), всегда находятся неразрешимые формулы, которые одновременно и недоказуемы, и неопровержимы. Согласно теореме о непротиворечивости, если формализованная арифметика действительно непротиворечива, то это недоказуемо ее средствами. Итак, формальная аксиоматическая, достаточно богатая содержанием непротиворечивая система неполна, а ее непротиворечивость недоказуема.
Теоремы Гёделя выявили необоснованность ряда притязаний, содержащихся в формализме Гильберта (так, видимо, невозможно доказать непротиворечивость достаточно богатых формальных аксиоматических систем). Аксиоматический метод надо брать (и любить) таким, каковым он является. Ему нет замены. Формализм как абсолютный метод обоснования математики оказался столь же несостоятельным, как и логицизм. Что касается самого метода формализации, то его достоинства в теоремах Гёделя не обсуждаются. Этот метод широко и с успехом используется и в логике, и в математике.
Под натиском парадоксов теории множеств и желания их преодолеть окрепло еще одно направление оснований математики – интуиционизм, или конструктивизм. Родоначальником интуиционизма является голландский математик Л. Брауэр [33].
Интуиционисты (Л. Брауэр, А. Гейтинг, Г. Вейль) предлагали обеспечить надежность математике следующим образом:
§ начало математических операций связывать не с символами, как у формалистов, а с наглядно-очевидными математическими интуициями интеллекта;
§ не выводить формулы, а строить, конструировать математические объекты (более сложные, чем исходные интуиции);
§ отказаться от понятия актуальной бесконечности, ибо бесконечность не может быть построена;
§ в процессе построения использовать интуитивно оправданную, свободно становящуюся последовательность шагов [34,с.61-64,87].
Язык, в том числе язык символов, играет у интуиционистов подсобную роль, он нужен для сообщения результатов математически-мыслительной деятельности и представления в наглядной форме процесса конструирования математических объектов. От закона исключенного третьего – истинно А либо не-А – интуиционисты отказываются: нельзя с уверенностью судить о не-А, если оно нереализовано. Недопустимо считать актуальную бесконечность реальной в той же степени, что и конечные множества. Именно в результате такой подмены возникают антиномии. «Брауэр, – считал Вейль, – открыл нам глаза и показал, как далеко классическая математика, питаемая верой в "абсолютное", превосходящее все возможности человеческого понимания, выходит за рамки таких утверждений, которые могут претендовать на реальный смысл и истину, основанную на опыте». Тем не менее Вейль подчеркивает, что математика Брауэра уступает обычной математике в простоте и силе [34,с.87]. Надо полагать, по этой причине сам Вейль стремился сочетать возможности интуиционистской и формальной математики и логики.
В программе интуиционистов два решающих момента – выбор в качестве исходных некоторых математических объектов и последующее конструирование сложных объектов. Кстати, по второму признаку интуиционистов вполне оправданно называют также конструктивистами. В отечественной литературе принято отличать интуиционизм от конструктивизма, под которым понимается конструктивное направление в математике и логике, развитое в трудах А.А. Маркова, Н.А. Шанина и их последователей. Отмечая точки соприкосновения интуиционизма и конструктивистского направления, А.А. Марков критиковал интуиционистов за то, что они не считают человеческую практику источником математических понятий и построений и следуют идее свободно становящейся последовательности, а не алгоритма [35.С.51].
Различия, существующие между интуиционизмом Брауэра и конструктивизмом Маркова, относятся в основном к философскому плану. Они, на наш взгляд, не позволяют выводить интуиционистов за пределы конструктивизма как основополагающего логико-математического направления. Что касается идеи свободно становящейся последовательности построения логических и математических объектов, то она, как выявилось особенно в последние 20-30 лет, является далеко не бесплодной. Было разработано столь большое число способов построения математических и логических объектов, что характеристика последовательности построения в качестве свободно становящейся представляется все более уместной.
В историческом плане конструктивистское направление в математике возникло в форме интуиционизма, затем оно многократно модифицировалось. Незыблемой оставалась главная идея – идея построения логических и математических объектов. С этой точки зрения термин "конструктивизм" имеет преимущество перед термином "интуиционизм". Интуиционизм Брауэра и конструктивистское направление Маркова – это разновидности логико-математического конструктивизма.
В борьбе с логико-математическими противоречиями конструктивистский метод оказался довольно сильнодействующим средством. В частности, не одним, а несколькими способами удалось доказать непротиворечивость формальной арифметики [36]. Эти доказательства существенно ослабляют значимость теорем Гёделя. Согласно его второй теореме, непротиворечивость арифметики недоказуема. Она действительно недоказуема при тех методах, которые использовал Гёдель. Но она доказуема при других методах, в частности в рамках конструктивизма. Пикантность ситуации состоит в том, что как те, так и другие методы не без успеха используются в математике и логике. Требования, которые предъявляются, допустим, к математике одним из ее направлений – логицизмом, формализмом, конструктивизмом, неправомерно возводить в ранг абсолюта.
Специфика логического и математического мышления определяется сочетанием, иногда причудливым, достоинств и недостатков далеко не во всем совпадающих логико-математических направлений, главными из которых являются логицизм, формализм и конструктивизм.