Декарт, Гюйгенс и сохранение импульса.

Другой выдающийся вклад в развитие механики сделал французский философ Рене Декарт, принадлежавший уже к следующему за Галилеем поколению. Если Галилей начинал строить механику снизу вверх, то Декарт старался работать сверху вниз. Его целью было создание общей философии, которая заменила бы схоластику с помощью умозрений, размышлений и аналитических методов. Главным у Декарта было открытие и использование «первых принципов». Имея «кусочное» образование молодого человека из низов среднего класса, готовящегося к военной карьере, он презирал учёность и эрудицию и не интересовался работой других. Как пример: нет указаний, что он был знаком с работами Галилея. В своих целях и методах их достижения он был во многих отношениях ближе к древним философам, чем Галилей, чей стиль можно назвать вполне современным. До сегодняшнего дня французское академическое образование поощряет использование картезианского стиля аргументации (стиля Декарта), в котором выдвигается базовый принцип, а затем с помощью безупречной дедукции получаются воистину удивительные выводы, часто возбуждающие ярость у противника. Эта французская практика не всегда хорошо воспринималась учёными эмпирического склада ума.

На самом деле, признание достижений Декарта в физике во многом является заслугой Христиана Гюйгенса, сына датского дипломата, частым гостем которого был Декарт. Хотя Гюйгенс категорически отвергал философскую систему Декарта, он использовал те её части, которые были полезны для физики, а также исправлял в ней явные научные ошибки.

Достижения механики Декарта оказались далеки от поставленных им целей, но он оставил два незабываемых следа в истории физики. Во-первых, привлёк внимание к проблеме взаимодействия двух движущих тел, и Ньютон впоследствии развернул великие преимущества такого подхода. Во-вторых, в процессе изучения этой проблемы Декарт продемонстрировал эффективность нового способа построения законов природы – использование законов сохранения.

Закон сохранения можно назвать научным эквивалентом французского афоризма: чем больше вещи изменяются, тем больше они остаются прежними. Применение закона сохранения к сложным процессам, в которых объекты постоянно изменяются, означает утверждение, что некоторые простые величины при этом остаются неизменными. Истинная сила законов сохранения не была полностью реализована даже во времена Ньютона. Однако современные физики настолько привыкли думать в понятиях законов сохранения, что многие попытки формулировать новые базовые законы формулируются именно в такой форме.

Закон сохранения редко даёт полное описание процесса, т.к. в самом существе закона предполагается, что детали не нуждаются в рассмотрении, – они проявятся сами. В этом сила закона, т.к. он с самого начала освобождает от необходимости рассматривать явление во всей его полноте. Можно найти аналогию в современных социальных науках: политолог может разработать способ точного предсказания результатов голосования на выборах Президента, будучи неспособным сказать, как голосовал любой конкретный штат.

Закон, который Декарт использовал для анализа простой задачи о столкновении двух тел, был в современной форме законом сохранения импульса, или, в терминах Декарта (и Р.Марча), это закон сохранения момента. Момент, по Декарту, был произведением веса движущегося тела на его скорость. Позже Ньютон сделал малую, но важную подстановку массы вместо веса, различие между которыми не должно нас пока занимать.

Закон утверждает, что когда два тела сталкиваются, сумма их импульсов не будет изменяться.

Представим (см. рис. 2-3) два тела, которые движутся по идеальной поверхности без трения, – любимому объекту авторов физических текстов. Одно тело весит 3 кг и покоится, а другое движется со скоростью 10 м/с и весит 2 кг. (С этого места мы в большинстве примеров будем использовать очень рациональную метрическую систему единиц, избегая английскую систему, которая, вообще-то, является просто современной лоскутной модификацией нескольких наборов плохо связанных между собой средневековых торговых единиц и создавалась для минимизации социальных неудобств при введении новых единиц; такую практику французы назвали бы типично англосаксонской). До столкновения общий импульс (в кгм/сек) будет:

.

Использование р для обозначения импульса является ещё одной традиционной особенностью, а единица кг м за секунду, к сожалению, не имеет собственного названия. Закон говорит, что после столкновения суммарный импульс будет тем же самым. И это всё, о чём он говорит. Он не берётся утверждать, какую скорость будет иметь каждое тело после удара. Чтобы разрешить этот вопрос, нужна дополнительная информация.

В простейшем случае, дополнительной информацией является простое качественное утверждение о том, что тела прилипли друг к другу (неупругий удар). В этом случае мы получаем составное тело весом 5 кг. Чтобы иметь импульс 20 кгм/с, тот же самый импульс, что и до столкновения, это тело должно иметь скорость .

В другом случае, дополнительной информацией могла бы стать измеренная скорость одного из тел после столкновения. Например, мы могли бы обнаружить, что первоначально покоившееся тело приобрело скорость 8 м/с, направленную по движению ударяющего тела. Его импульс при этом будет равен .

Что мы должны делать в этой курьёзной ситуации? Мы получили импульс, больший того, с которого начали! Декарт сам был обескуражен этим примером и заключил, что когда лёгкий предмет ударяет более тяжёлый, он должен отскочить, не шевельнув при том другой предмет ни на йоту. Однако подобное заключение не выдерживает проверки здравым смыслом. Здесь на помощь Декарту пришёл Гюйгенс. Он понял, что импульс должен учитывать не только величину скорости, но и её направление. Движения в противоположных направлениях гасят друг друга. Если мы считаем положительным импульс тела, которое движется направо, то тело, движущееся налево, должно иметь отрицательный импульс. Так что тело весом 2 кг во втором примере должно иметь импульс – 4 . Чтобы найти его скорость, мы делим импульс на массу, и получаем .

Этот пример был выбран не случайно. Заметим, что после столкновения больший шар движется со скоростью 2 мс^-1 налево. Таким образом, они удаляются друг от друга с относительной скоростью 10 мс^-1. Это та же скорость, что и скорость сближения шаров до столкновения. Когда происходит такое столкновение, его называют упругим. Важность упругого столкновения станет очевидной позднее, когда мы введём ещё один закон сохранения, закон сохранения энергии. Закон сохранения импульса может также соответствовать ситуации, при которой тело 2 кг движется со скоростью 95 м/с в обратном направлении, а его партнёр со скоростью 70 м/с в направлении первоначального движения (вперёд). Это останется верным и для любой другой комбинации скоростей, которая даёт правильный общий импульс.

На самом деле, мы с самого начала до предела упростили проблему, предположив, что столкновение центральное (по линии центров шаров) и что тела после столкновения движутся по линии первоначального движения. Если же мы рассмотрим движение в двух измерениях, как для шаров на бильярдном столе, то откроем новые возможности, для описания которых и сам анализ, и количество информации оказываются более сложными. А если мы зададимся вопросом о том, что же происходит в момент действительного столкновения, то мы должны исследовать ещё более сложное движение. Множество подобных деталей закон сохранения импульса позволяет «замести под ковёр».

Но именно в этой кажущейся незавершённости лежит сила закона. Множество самых разных процессов подчиняются в нём одному и тому же количественному соотношению. Хотя закон ни один процесс не описывает во всей полноте, он позволяет нам, например, определить точно, что произойдёт с телом после столкновения при помощи измерений, проделанных только с его партнёром. И это само по себе является немалым достижением.

Удивительный результат: центр масс не движется.

В заключение этой главы выведем удивительное следствие закона сохранения импульса. Не имея, само по себе, исключительного значения, это следствие даёт хороший пример применения закона сохранения импульса. Более того, оно окажется полезным позже, при рассмотрении теории относительности. Рассматриваемая теорема является утверждением, что если центр масс группы объектов остаётся постоянным (неизменным во времени), никакое взаимодействие между объектами не может заставить его переместиться.

Представление о центре масс было знакомо древним грекам, а также любому ребёнку, который развлекался на доске-качелях. Центр масс – не более чем научное название для бытового понятия о точке равновесия – баланса. Каждому ясно, что если ребёнок весом 90 фунтов хочет уравновесить на доске-качалке свою младшую сестру 45 фунтов, то он должен сесть вдвое ближе к центру масс (и баланса), чем сестра. Говоря более математически, качели сбалансированы (уравновешены), если произведение веса на расстояние до центра баланса будет одинаковым для обоих качающихся. Ребёнок, весящий на 10% больше, должен быть примерно на 10 % ближе к центру равновесия, чем его партнёр. Если он вдвое тяжелее, то он должен сидеть на доске вдвое ближе.

Когда мы рассматриваем более сложный пример движущихся объектов, ясно, что если центр масс должен оставаться на месте, то тяжёлый объект должен двигаться медленнее, чем лёгкий. Если объекты 90 фунтов и 45 фунтов сближаются, центр масс, или точка баланса, остаётся неподвижной, если более тяжёлый объект движется вдвое медленнее (рис. 2-4).

С точки зрения Гюйгенса, в описанной ситуации общий импульс просто равен нулю. Когда два объекта сближаются (или удаляются друг от друга), и более тяжёлый движется с пропорционально более низкой скоростью, то их импульсы остаются равными и противоположно направленными. Общий импульс будет равен нулю до тех пор, пока внешние воздействия не вступят в игру. Таким образом, если два пушечных ядра летят навстречу, и вдвое более тяжёлый объект движется вдвое медленнее, то при столкновении они намертво остановятся. В каждый момент их движения центр масс будет находиться в точке, делящей расстояние между ними в отношении 1 к 2, ближе к более тяжёлому ядру.

А в качестве другого примера, представим себе «перетягивание каната» двумя людьми на роликах. Более тяжёлый участник сместится меньше, так как движется медленнее, и они неизбежно сталкиваются в центре масс, ближе к тяжёлому участнику соревнования.

В качестве последнего примера рассмотрим рис. 2-5, на котором человек весом 150 фунтов стоит на конце доски весом 75 фунтов, которая может свободно, без трения перемещаться по льду.

Когда человек начинает идти по доске к её другому концу, он «толкает» доску в обратную сторону. Так как доска вдвое легче человека, то по закону сохранения импульса она должна двигаться вдвое быстрее. Если доска имеет 12 футов длины, то человек продвинется на 4 фута, в то время как доска проскользит в обратную сторону на 8 футов. Когда он остановится на другом конце доски, она остановится тоже. Т.к. человек продвинулся в 2 раза меньше, чем доска, которая вдвое легче его, то центр масс не сдвинется! Более того, он оставался на месте во всё время движения!