Тождественное отображение. Обратимое отображение

Определение 50. Отображение называется тождественным, если , и обозначается .

Замечание. Пусть - функция, тогда и

Доказательство. .

Определение 51. Отображение называется обратимым, если существует отображение , такое, что . fg= и gf= . В этом случае функция g называется обратной для функции f.

Замечание. Если в определении 51 выполняется 1-ое равенство то функция g называется правой обратной функцией для f, а если 2-ое то левой обратной функцией для f.

Лемма 1. Пусть , - функции. Если gf= , то f – инъективная функция, а g – сюръективная функция.

Доказательство. 1) Покажем что f - инъективная функция. Проверим, что выполняется определение 46.

Пусть f( ) = f( ). Покажем, что = . Действительно, ( ) gf( ) g(f( ))= g(f( )) gf( ) ( ) x-инъективна.

2) Покажем, что g-сюръективная функция.

g - сюръективная функция.