Переведите высказывания с естественного языка на язык логики предикатов.

1). Все моряки боятся пиратов.

2). Некоторые маленькие девочки бояться врачей.

3). Кто-то приглашает кого-то, а тот его не приглашает.

4). Некоторые девушки учатся в университете, а некоторые – в колледже.

5). Все делегаты съезда – партийные и профсоюзные лидеры.

6). Все студенты уважают друг друга.

7)*. Все короли воевали друг с другом.

2. Возьмем некоторую реализацию <U, I>, где U - множество натуральных чисел, а I интерпретирующая функция: I(a) = 1, I(b) = 2, I(с) =3, I(f) = операции возведения в квадрат, I(h) = операции умножения, I(P) = множество нечетных чисел, I(Q) = множество пар чисел, первое из которых больше второго. Опре­делите значения в данной реализации следующих термов и формул:

1) Р(h(а, b)),

2) Р(c) v P(f(c)),

3) x yQ(c,h(х,у)),

4) x(Р(х) & Q(x, f(x))),

5) x(P(x) P(h(x, а))).

3*. Продемонстрируйте выполнимость следующей формулы, подобрав реали­зацию, в которой она принимает значение «истина»:

х(Р(х, а) & Р(х, b)).

Продемонстрируйте опровержимость этой же формулы, подобрав реализацию, в которой она принимает значение «ложь».

4. Подберите конкретную реализацию, демонстрирующую, что следующие формулы совместимы по истинности:

xP(x, а) и хР(а, х).

5. Подберите конкретную реализацию, демонстрирующую, что следующие формулы совместимы по ложности:

а) xP(x, а) и xP(x, а).

6*. Продемонстрируйте некорректность следующих умозаключений, для чего выявите их логические формы и подберите соответствующие контрреализации (контрпримеры):

а) Каждый человек является экстравертом или интровертом. Следовательно, не существует людей, которые одновременно являлись бы экстравертами и интровертами.

б) Нельзя сказать, что все политики справедливы. Нельзя сказать, что все политики умны. Значит, про какого-то политика можно сказать, что он не справедлив и не умен.

7. Используя метод аналитических таблиц (деревьев), покажите общезначимость формул.

1)* хР(х) Р(а)

2)* Р(а) хР(х)

4)** ∃x∀yR(x,y) ⊃ ∃y∀xR(x,y)

5)** ∃x(∃yP(y) ⊃ P(x))

8**. Построить доказательства в натуральном исчислении предикатов первого порядка.

1) x (P(x) y P(y))

2) x P(x) x P(x)

3) x P(x) x P(x)

4) x (Q(y) R(x,y)) (Q(y) x R(x,y))

ЧАСТЬ 4

(вопросы 20 -24)

Определите логическую форму высказываний.

Многие люди любят мороженое.

Молодежь всегда полна надежд.

Только с иностранцами плохо обходятся.

Допускаются только бизнесмены.

Если высказывание «большинство мужчин умирает молодыми» истинно, что можно заключить относительно следующих суждений? Докажите свою позицию с помощью круговых схем, назовите тип отношения (логический квадрат).

1). Некоторые мужчины не умирают молодыми.

2). Некоторые мужчины умирают молодыми.

3). Все мужчины умирают молодыми.

4). Все мужчины умирают старыми.

5). Большинство из тех, кто умирает молодыми, являются мужчинами.

6). Некоторые из тех, кто умирает старыми, не являются мужчинами.

7). Немногие создания, не являющиеся мужчинами, умирают старыми.