Логический анализ структуры сложного суждения.

Суждение – это, вообще говоря, то, что может быть истинным или ложным. Сложное суждение строится из простых при помощи логических союзов (связок), которые являются истинностными функциями, т. е. для каждого набора значений связываемых ими аргументов (суждений) каждая связка даёт значение получающемуся целому. Значение сложного суждения зависит от того, какие логические союзы связывают содержащиеся в нём простые суждения и от значений этих простых суждений.

Логические союзы в какой-то степени являются формальными аналогами союзов и союзных слов естественного языка. Возможные соответствия приводим в следующей ниже таблице:

Логический союз	символ	аналог в естественном языке
Конъюнкция	&	«и», «а», «но», «тогда как», «при том, что», запятая и т. п.
Слабая дизъюнкция	Ú	«или», «или ..., или ...»,
Строгая дизъюнкция	¹	«либо», «либо ..., либо ...»
Импликация	®	«если ..., то ...»
Эквиваленция	«	«тогда и только тогда, когда»
Отрицание	Ø	«неверно, что», «ложно, что»

Примеры просты. Так, сложные суждения

Слоны не обратили на это внимание, а бегемот обратил.

Когда письмо пришло, мартышки не было дома.

Карася поймали, отрезали хвост.

У меня на носу растут голубая и розовая ленты.

образованы из простых с помощью конъюнкции, суждения

Эта рыба либо корюшка, либо ряпушка.

Внутри его головы звенят болты или гайки.

образованы с помощью различных дизъюнкций. Суждения

Если у слона стреляет в ухе, то слышно далеко вокруг.

Если Лондон – столица Парижа, то Париж – столица Рима.

образованы импликациями. Суждение

Фиорелло идёт в кино тогда и только тогда, когда там показывают комедию

содержит эквиваленцию. Кроме того, суждения

Неверно, что слоны умеют летать.

Ложно, что Париж не является столицей Рима.

образованы с помощью отрицания.

Следует отметить, что логическая роль союза или союзного слова не всегда очевидна. Например, в суждениях

У меня на носу растут голубая и розовая ленты.

Внутри его головы звенят болты или гайки.

союзы «и» и «или» связывают, как кажется, не суждения, а объекты и можно подумать, что эти суждения не являются сложными, ведь с точки зрения грамматики мы здесь имеем дело с простыми предложениями, содержащими однородные члены. Но логический взгляд на вещи несколько иной, и при анализе таких суждений надо осуществлять их трансформацию. Так, после трансформирования приведённых суждений мы получим

У меня на носу растёт голубая лента, и у меня на носу растёт розовая лента.

Внутри его головы звенят болты или внутри его головы звенят гайки.

Детальное описание правил трансформирования сложно, так что в дальнейшем при работе с суждениями естественного языка будем руководствоваться интуицией.

Теперь приведём сводную таблицу истинности для основных логических союзов, связывающих два суждения, обозначенные в ней как А и В, а также таблицу для отрицания.

А	В	А Ù В	А Ú В	А ¹ В	А ® В	А « В		А	ØА
И	И	И	И	Л	И	И		И	Л
И	Л	Л	И	И	Л	Л		Л	И
Л	И	Л	И	И	И	Л
Л	Л	Л	Л	Л	И	И

Дадим некоторые пояснения. Поскольку каждое из суждений А и В может быть либо истинным, либо ложным, т. е. принимает одно из значение И или Л, таблица истинности имеет четыре строки, каждая из которых соответствует некоторому сочетанию значений А и В. Каждому такому сочетанию каждый логический союз сопоставляет значение целого выражения. Например, конъюнкция двух суждений истинна только в том случае, когда оба эти суждения истинны, а во всех остальных случаях конъюнкция ложна. Слабая или неисключающая дизъюнкция истинна во всех случаях, кроме того, когда оба суждения ложны, а строгая дизъюнкция истинна только при различающихся значениях А и В. Это можно пояснить на примерах

Эта рыба либо корюшка, либо ряпушка.

Внутри его головы звенят болты или гайки.

Первое суждение, очевидно, предполагает использование строгой дизъюнкции, поскольку если считать, что оно истинно, то это будет означать, что данная рыба обязательно будет либо корюшкой, либо ряпушкой, но не чем-либо другим и уж конечно, не тем и другим вместе. Предполагая истинность второго суждения, мы, напротив, допускаем, что в голове могут звенеть как болты, так и гайки, т. е. в нём используется слабая дизъюнкция.

Не очень проста для понимания импликация. Здесь следует сразу же развести по разные стороны наше привычное представление о «если ... то ...», как о средстве описания причинно-следственных отношений между явлениями и логическую интерпретацию «если ... то ... ». Последняя адекватна только отрицательному тесту на причинность. В самом деле, импликации

Если 2+2=4, то снег белый.

Если 2+2=5, то снег белый.

Если Лондон столица Парижа, то Париж – столица Рима.[1]

являются, как это ни покажется парадоксальным, истинными – это легко можно установить, воспользовавшись приведённой выше таблицей. Отсюда следует, что система значений логической импликации не может быть использована как формальный позитивный тест для причинно-следственных отношений. И в этом нет ничего удивительного, поскольку для этих отношений вообще не может быть ни универсальной, ни логической позитивной концепции. Но зато есть негативная. Негативный тест на причинность содержится во второй строке таблицы истинности для импликации, а именно, там, где следование из истинного суждения ложного суждения объявляется невозможным.

Рассмотрим пример:

Если Петя усердно готовится к экзамену, то он получает пятёрку.

Всем известно, что усердная подготовка к экзамену иногда может стать одной из причин получения оценки «пять», но, во-первых, не единственной и, во-вторых, не всегда. Приводя всего один пример, когда Петя усиленно готовился к экзамену, но не получил пятёрки, мы опровергаем предположение о том, что подготовка к экзамену является достаточной для получения оценки «пять». И в этом же случае оказывается ложной соответствующая импликация.

В задачах на анализ сложных суждений естественного языка требуется записать их в символическом виде, обозначая простые суждения буквами, а логические союзы – символами. При этом надо должным образом использовать скобки. Детали можно найти в учебнике.

Приведём примеры решений таких задач.

Если Петя надевает очки, то видит, что на его носу сидит муха,

а если снимает, то не видит мухи.

Это сложное суждение образовано четырьмя простыми: «Петя надевает очки», «Петя видит, что на его носу сидит муха», «Петя снимает очки», «Петя не видит, что на его носу сидит муха», которые мы обозначим как А, В, С и D соответственно. Первая часть суждения есть импликация А ® В, вторая – также импликация С ® D, а всё суждение представляет собой конъюнкцию этих импликаций – ((А ® В) & (С ® D)).

Бряка фордыбачит на глызе только тогда, когда с весны не закурдявилась.

Здесь, очевидно, представлена эквивалентность двух суждений, а именно, «бряка фордыбачит на глызе» и «неверно, что бряка с весны закурдявилась». Последнее суждение содержит отрицание, так что результат записи исходного сложного суждения в символическом виде таков: (А « ØВ).

Он молчит, а Варенька ему поёт «Виют витры», или глядит на него

задумчиво своими тёмными глазами, или вдруг зальётся: «Ха-ха-ха!»[2].

Здесь, конечно, все дизъюнкции строгие, так что обозначив простые суждения «он молчит», «Варенька ему поёт ...», «Варенька глядит на него ...», «Варенька вдруг зальётся ...» буквами А, В, С и D соответственно, мы получим выражение (А & (В ¹ (С ¹ D))).

Он и ахнуть не успел, как на него медведь насел.

Здесь получаем конъюнкцию вида (ØА & В).

Если в ящике нет кролика, то там голуби или ежи.

Присутствующая здесь дизъюнкция может быть и слабой, так что получаем символическую запись (ØА ® (В Ú С)).

Кобелякин просыпается, если его трясут или пинают,

но никогда не от звона будильника

Поскольку пробуждение Кобелякина может наступить вследствие одновременного применения тряски и пинков, здесь присутствует слабая дизъюнкция. Ещё одна трудность связана с тем, что импликация и отрицание во второй части суждения замаскированы оборотом «никогда не от». Символическая запись рассматриваемого суждения имеет следующий вид: (((А Ú В) ® С) & Ø(D ® С)).

Если друг оказался вдруг

И не друг, и не враг, а так,

Парня в горы бери, тяни ...[3]

Здесь решения не может быть вовсе, т. к. данное высказывание является императивом и относительно него нельзя говорить, что оно является истинным или ложным. Императив – это не суждение.

Приглашения на бал рассылают в розовых конвертиках, если рекомендуют гостю участие в танцах или маскараде, в зелёных, если рекомендуют маскарад, бостон и ужин, и ставят неверную дату, если не хотят видеть гостя.

Сразу приведём ответ: ((((А Ú В) ® С) & ((В & (С & D)) ® E)) & (ØF ® G))

КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧИ ПО ТЕМЕ «УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ»

Сначала рассмотрим задачи на элементарные умозаключения, как-то, обращение, превращение и противопоставление, а затем перейдём к задачам на силлогизм и энтимему.

1. Обращение суждений.

Обращение суждений у многих студентов почему-то вызывает трудности. Особенно мучаются те, кто плохо понял, что такое логическая форма суждения и как её получить.

Обращение – это элементарное умозаключение, где в качестве посылки фигурирует простое категорическое суждение, а в качестве заключения другое простое категорическое суждение, в котором субъект первого стоит на месте предиката, а предикат – на месте субъекта. Общая схема перехода от посылки к заключению по обращению выглядит так:

... S ... Р (посылка)

¾------

... Р ... S(заключение)

Черта, отделяющая посылку от заключения, означает, что совершаемый переход является логическим, и его принцип гласит:

если истинно написанное над чертой,

то должно быть истинно и написанное под чертой

Это принцип относится вообще к любому умозаключению, осуществляемому по правилам логики.

При проведении обращений пользуемся правилом обращения, согласно которому

а обращается в i,

i обращается в i,

е обращается в е,

о вовсе не обращается.

Рассмотрим ряд примеров, в которых мы будем по большей части сохранять естественную форму суждений:

Все слоны боятся мышей (а)

---------------------

Некоторые из тех, кто боится мышей – слоны (i)

Ночные страхи и меланхолия не присущи слонам (е)

----------------------------------------

Ничто из того, что присуще слонам, не есть ночные страхи (е)

и меланхолия

Для пояснения последнего примера приведём логическую форму посылки:

Всё, что является ночными страхами и меланхолией,

не суть то, что присуще слонам.

Следующий пример:

Некоторые владыки Азии падали с белого слона (i)

----------------------------------------

Некоторые из тех, кто падал с белого слона – владыки Азии (i)

Могут вызвать затруднение примеры в которых субъект или предикат являются единичным понятием. В этом случае квантор в посылке отсутствует. Мы помним, что единичные суждения рассматриваются как общие. Так же действуем и при обращении, но придавая заключению естественное благозвучие. Например,

Пётр Петрович упал с белого слона (а)

------------------------------

Один из упавших с белого слона – Пётр Петрович (i)

Или

Самый ловкий человек это не Пётр Петрович (е)

-------------------------------------

Пётр Петрович не является самым ловким человеком (е)

Ничего страшного не произойдёт, если Р будет единичным термином, а посылка – общеутвердительной:

Пётр Петрович – самый неуклюжий человек (а)

-------------------------------------

Некоторые из тех, кто являются самыми неуклюжими (i)

людьми, это Пётр Петрович

Квантор «некоторые» или «один из» перед заведомо единичным понятием «самый неуклюжий человек» смотрится, конечно, не лучшим образом, но в рамках традиционной логики приходится с ним считаться.

Рассмотрим также пример, в котором разные понятия могут претендовать на роль субъекта:

Мне белый слон сегодня не встретился.

Если считать субъектом «мне» или «я», то обращение выглядит так:

Ни один из тех, кому сегодня встретился белый слон, не есть я.

Если же в качестве субъекта взят «белый слон», то получаем

Ни один из тех, кто сегодня встретился мне, не суть белый слон.

Наконец, суждения с ловушкой на «некоторый» обращаются, как и прочие:

Уши некоторых слонов не годятся в качестве паруса (е)

--------------------------------------------

Всё, что годится в качестве паруса, не есть уши (е)

некоторых слонов

4. Превращение суждений.

Превращение также является элементарным умозаключением. Его техническая сторона состоит в замене связки на противоположную и замене предиката на противоположный. Общая схема превращения выглядит так:

... S ... Р (посылка)

¾-----------

... S не- ... не-Р(заключение)

Правило превращения:

а превращается в е

i превращается в о

е превращается в а

о превращается в i.

В следующих ниже примерах посылку мы оставляем в естественной форме, а заключение даём в логической. Кроме того, подразумевается, что «не тот, кто А» эквивалентно «тот, кто не-А».

Все слоны перед сном задумчиво смотрят на Луну (а)

¾----------------------------------------

Все слоны не суть те, кто перед сном не смотрит (е)

задумчиво на Луну

Некоторые слоны опоздали к началу кумбабы (i)

¾------------------------------------

Некоторые слоны не суть те, кто не опоздал к (о)

началу кумбабы

Погонщик слона не простоит на голове более суток (е)

¾-----------------------------------------

Все погонщики слона суть те, кто не простоит на (а)

голове более суток

Некоторые жители Басры не видели белого слона (о)

¾----------------------------------------

Некоторые жители Басры суть те, кто не видел (i)

белого слона

Превращение отрицательных суждений проходит как будто незаметно, поскольку связка в русском языке как правило опускается. Между тем, логическая форма посылок в двух последних примерах такова:

Ни один погонщик слона не суть тот, кто простоит на голове более суток.

и

Некоторые жители Басры не суть те, кто видел белого слона.

Здесь именно связки являются отрицательными. Превращение состоит в том, что отрицание «перелетает» со связки на предикат и, поскольку в русском языке от отрицательной связки остаётся только «не», кажется, что ничего не произошло. Следует всегда помнить, что отрицание в связке и отрицание в предикате – это два разных отрицания.