Группа связок, работающих на высказываниях (пропозициональные связки)

отрицание (не, неверно, что)

и

или

если – то

эквивалентно (если и только если, тогда и только тогда)

(2)

Выражения количества – кванторы

все

некоторые

(3)

а также неразличение объектов в данном контексте – равенство

Подробная характеристика этих выражений и соответствующих им логических операций дается в следующих главах.

Существуют различные способы разбиения разнообразия нелогической информациина различные классы. Здесь будет изложен наиболее распространенный в настоящее время способ (и, кстати, отличный от использованного Аристотелем).

С точки зрения этого метода типологии смыслов и значений языковых выражений существуют два принципиально разных типа нелогических[5] выражений:

(1) те, которые обладают самостоятельным смыслом, «завершенные» выражения, - их тоже в свою очередь два вида:

(1а) предложения – с логической точки зрения важно, что это выражения, с которыми связываются (как минимум) два объекта – истина и ложь, или истинно и ложно; только предложения осмысленно оценить как истинные или как ложные;

(1b) выражения, обозначающие ровно один объект – логические имена;

(2) «незавершенные» выражения, которые не обладают самостоятельным смыслом, но с их помощью можно строить предложения и новые логические имена (т.е. задавать новые объекты).

Незавершенные выражения разделяются на 2 типа:

(2а) те, с помощью которых мы получаем новые имена, они называются функторы;

(2b) те, с помощью которых мы строим предложения, такие выражения называются предикаты.

Таким образом, с точки зрения логики предикатов каждое нелогическое выражение относится к одному из четырех типов, оно

либо логическое имя (=задает ровно один объект),

либо предложение,

либо функтор,

либо предикат.

Местность (валентность, арность) функтора – количество имен, которое нужно к нему присоединить, чтобы получить логическое имя.

Местность (валентность, арность) предиката – количество имен, которое нужно к нему присоединить, чтобы получить предложение.

Таким образом, общая «формула» такова:

n- местный функтор + n (логических) имен = (логическое) имя   n-местный предикат + n (логических) имен = предложение

Что касается функторов и предикатов, то приводимые примеры покажут, что смысл и этих понятий не так туманен, как может показаться на первый взгляд.

Примеры логических имен

Земля (планета)

второй президент США - логическое имя (данное выражение задает ровно один объект).

2 (натуральное число 2)

Примеры функторов

(1) Ö (операция извлечения квадратного корня) – (одноместный) функтор.

Покажем, что Ö(…) действительно функтор.

Во-первых, использование операции извлечения квадратного корня, означает, что в распоряжении имеется некоторое множество чисел (скажем, действительных или комплексных) и эта операция не является ни логическим именем (т.е. в данном случае именем какого-либо числа из области рассмотрения), ни предложением. Посмотрим, сможем ли мы, присоединяя к выражению Ö логическое имя (или логические имена) получить новое логическое имя или предложение.

4 - логическое имя.

Ö4 – логическое имя (это выражение задает ровно один объект, число 2).

Таким образом, присоединив к выражению Ö (одно) имя, на выходе мы получили имя. Это и показывает, что Ö - одноместный функтор.

Присоединение к выражению Ö более одного числа бессмысленно: операция извлечения квадратного корня сопоставляет число ровно одному числу.

(2) (…):(…) (операция деления) – двухместный функтор: присоединяем к нему два имени объектов и на выходе получаем имя объекта. Например, так:

8 – логическое имя,

4 – логическое имя,

8:4 – логическое имя (это выражение задает ровно один объект), таким образом, имеем:

«:» + 2 логических имени = логическое имя.

Примеры предикатов

(1) Философ – одноместный предикат.

Раз данное выражение одноместный предикат, значит можно, присоединив к нему ровно одно имя объекта, получить истинное или ложное утверждение. Например, так.

Возьмем логическое имя: «основатель дисциплины психологии». Соединяем это выражение с выражением «философ», получаем предложение (нечто истинное или ложное): «Основатель дисциплины «психология» – философ». (Кстати, кто?)

Внимание! Неверно отнести выражение «философ» к логическим именам, т.к. это выражение не задает ровно одного человека, оно задает класс объектов.

(2) предикат «=» – двухместный (что равно чему).

Действительно, выражение «…=…» бессмысленно оценивать как истинное или как ложное, то же относится к выражению «4=…». Заполнив второй пропуск, получим предложение, например, «4=5» (неважно в данном случае, что оно ложно; нужно было показать, что «=» – двухместный предикат, и это мы сделали.)

(3) севернее – двухместный предикат: что севернее чего?

(4) севернее Москвы – одноместный предикат: что? севернее Москвы. Нужно к данному выражению присоединить ровно одно имя объекта, чтобы получить предложение (в данном случае неважно – истинное или ложное): «Петербург севернее Москвы», «Архангельск севернее Москвы», «Киев севернее Москвы».

Упражнения

1. В данном курсе логики понятие высказывания ýже, чем в языкознании. Высказываниями для изучаемых логических теорий будут только повествовательные предложения, которые осмысленно оценить как истинные или как ложные. Какие из следующих языковых выражений являются высказываниями с этой точки зрения?

1. x1 2. x+y 3. x+y=2 4. 2+3 5. 2+3=x 6. 2+3=100 7. x<y 8. x<3 9. Для любого натурального числа x найдется натуральное число y такое, что x<y. 10. «Если жизнь тебя обманет, не печалься, не грусти» 11. Быть или не быть? 12. «Быть или не быть?» - вот в чем вопрос.

13. «Если есть в кармане пачка сигарет, значит всё не так уж плохо на сегодняшний день» 14. Который час? 15. Будь осторожен! 16. Вашингтон – столица США 17. Бесцветные зеленые идеи яростно спят (Н.Хомский) 18. Октябрь уж наступил… 19. Думай, Федя, думай… 20. Существует холодный кипяток, который не является водой. 21. Древние греки заимствовали и очертания, и названия своих букв у финикийцев.