Мера. Математическое и идеальное число.
Совершенно особое место в греческом умосозерцании занимает понятие меры (μετρον). "Ничего слишком", μηδεν αγαν, ничего сверх меры, — один из фундаментальных и в то же время наиболее сокровенных заветов античной культуры может служить тому подтверждением. Все, что превышает меру, уклоняется в ту или иную крайность, необузданное и чрезмерное, и представляет становящееся и небытийное, беспредельное, преходящее и безобразное, склоняющееся ко злу и обреченное смерти (не случайно саму добродетель Аристотель определяет прежде всего в терминах меры — середины между двумя крайностями, а наивысший расцвет человека, ακμη, приходится где-то на возраст около 40 лет, когда он в наибольшей степени способен, удерживаясь на самом острие лезвия, соединять бодрость тела с умудренностью духа). Вне перемен — бытие. Бытие и есть форма, а мера "держит предел и беспредельное, между которыми нет соотношения и пропорции, но которые присутствуют уникальным, т.е. мерным, образом в каждой вещи, так что мера выступает посредником между бытием-определенностью и становлением-неопределенным.
Поэтому для греков мудрый и свободный — тот, кто блюдет во всем меру. Мера же прежде всего связана с числом, ибо мера — точна, вне приблизительности и непознаваемости "более или менее", определенна, т.е. причастна пределу, и, как и истинное знание, не может быть иной. Поэтому-то мера — начало, начало познания, выражение несмешанного присутствия бытия в становящемся, ведь сам познающий представляет собой существо становящееся, находящее свою опору в бытии вне становления (Платон, «Филеб» 18а-Ь, 25Ь; Аристотель, «Метафизика» V 6, 1016Ь18; Х 1, 1052Ь20-24). Мера и есть выражение возможности такого пребывания в единственной точке, из которой можно не уклоняться в чрезмерность и потому пребывать в успокоении, покое бытия, синтетического соединения, как это происходит в числе, предела и беспредельного, единого и многого, тождественного и инакового.
Античные мыслители вводят разнообразные и весьма тонкие различения, связанные с числом, предпринимая попытки, особенно частые в поздней античности, в неопифагореизме и неоплатонизме, истолкования значений тех или иных чисел (например, у Ямвлиха и Анатолия) в пределах первой десятки. Основываясь на пифагорейской аритмологии, Платон в конце жизни развивает учение о разных типах числа — математическом и эйдетическом, или идеальном (ср. изложение и критику этого учения у Аристотеля: «Метафизика» XIII 6, 1080а12 слл.). Математическое число — это число, которое получается из предыдущего прибавлением единицы (греческие математики признавали только натуральные числа). А для этого нужно наряду с первой и единственной единицей признать операцию прибавления единицы, т.е. фактически неопределенную двоицу, дающую нескончаемое множество единиц. Эйдетическое же число — сущее само по себе и, хотя и находится в некотором числовом ряду, тем не менее оно не связано с соседними числами через прибавление или отнятие единицы. В этом смысле идеальное число — это принцип математического числа — это сама по себе "двойка", сама по себе "тройка" и т.д., и их можно рассматривать как начала всех возможных двоек, троек и т.д., причем единицам идеальных чисел нет нужды быть взаимно сопоставимыми, — они оказываются различенными как начала различных идеальных чисел. Вопрос о разных видах числа изучался в Древней Академии, его отголоски можно обнаружить и у Аристотеля (Аристотель, «Физика» IV 14, 224а2 слл.).
Литература:
Никулин Д.В. Мера. Математическое и идеальное число./История философии. Запад-Россия-Восток. Книга первая. Философия древности и средневековья.- М.:Греко-латинский кабинет, 1995 - с.216-217
Число и величина.
Наличие двойственности — пары начал: бытия и становления, — выражается также в различении античностью понятий числа (αριθμος) и величины (μεγεθος). Число (математическое) — это такое множество, в котором можно различить неразложимые далее дискретные составляющие, т.е. неделимые единицы. Величина же — это множество, беспредельно делимое в каждой своей части, т.е. непрерывное (Аристотель, «Физика» VI 2, 232а23). Число поэтому в большей мере представляет единство, предел, логос и смысл, величина же — множество, беспредельное, стихию становления (что соответствует разделению на счислимое и несчислимое множества). Это — одна из причин отделения Платоном сферы дискретных в своей основе, неразложимых чисел и идей от сферы величин — геометрических фигур, которые хотя и несут умопостигаемые признаки, но также сродны телесным, физическим величинам в своей наглядной представимости и беспредельной делимости.
Между дискретным и непрерывным нет перехода: дискретное — признак идеального бытийного мира, непрерывное — признак мира телесности, поэтому их и рассматривают в античности разные науки: арифметика — числа, геометрия и физика — величины. Число и величина взаимодополнительны, но также и взаимоисключающи. И если число идеально, то величина пространственно выражена. Можно говорить о символическом представлении чисел в величинах (например, единицы — в точке, двойки — в линии и т.д.), но только как изображении первых в последних, а никоим образом не их отождествлении: число и величина, бытие и небытие никогда не сойдутся, между ними античная мысль в отличие от европейской всегда полагает водораздел.
Не только тождественное, но и инаковое по-разному проявляется в числе и величине, что выражается в их разном отношении к бесконечности. Прежде всего, как доказывает Аристотель, не может быть актуально бесконечного тела — актуальная бесконечность вообще непознаваема. Бесконечное тело, бесконечная величина непознаваема, "непроходима" ни мыслью, ни чувствами до конца (ибо конца-то у нее и нет), у нее нет места в космосе, она не может быть ни подвижной, ни неподвижной, в ней ничего нельзя различить с определенностью, поэтому ей можно приписать любые, взаимоисключающие определения и предикаты. Тем самым она самопротиворечива и потому невозможна. Но величина не может быть также и потенциально бесконечной: хотя и причастная инаковости и становлению, она все же представляет собой нечто цельное, охватное и единственное.
В некотором смысле тело, величина является "верхним пределом" самого себя, она — своего рода собственная непрерывная цельная "единица", которая может быть только уменьшена, т.е. делима, но не увеличиваема (иначе это будет уже совсем другая величина). Число же не может быть сколь угодно делимо, ибо его основа и наименьший элемент, единица, не имеет частей и неделима. Поэтому единица — дискретное целое, "нижний предел" числа, так что, по словам Стагирита, "для числа имеется предел в направлении к наименьшему, а в направлении к большему оно всегда превосходит любое множество, для величины же наоборот: в направлении к большему бесконечной величины не бывает" (Аристотель, «Физика» III 7, 207bl слл.). Таким образом, (математическое) число может быть бесконечно увеличиваемо, но не уменьшаемо, тогда как величина, наоборот, может быть беспредельно делима, но не увеличиваема. Пределом же, ограничивающим бесконечное, в одном случае в отношении прибавления-увеличения, в другом — в отношении уменьшения-деления, служит целое, в одном случае — дискретная единица, в другом — сама непрерывная величина. Тем самым задается также и разделение двух типов бесконечности: путем прибавления и путем отнятия, т.е. превосхождением дискретного и делением непрерывного, что Платон называет бесконечным в большом и в малом, связанным с операциями удвоения и половинного деления, соответствующим опять-таки не сводимым друг к другу понятиям тождественного и инакового, единого и многого, дискретного и непрерывного (Анаксимен, А5).
Литература:
Никулин Д.В. Число и величина./История философии. Запад-Россия-Восток. Книга первая. Философия древности и средневековья.- М.:Греко-латинский кабинет, 1995 - с.217-219