Закон обратного отношения между объемами и

Содержаниями понятий

Содержание понятия – это система признаков, на основе которой осуществлено обобщение и выделение предметов в понятии.

Пример. Содержанием понятия «число, которое делится на 2 или на 3» является «делится на 2 или на 3».

Содержание понятия выражается предикатом. Если понятие, приведенное в примере, представить с использованием языка логики предикатов выражением x(R(x, 2)^R (x, 3)), то содержанию этого понятия соответствует формула (R(x, 2)^R(x, 3)). В общем виде: если x₁, …., x_n A (x_1, … x_n) – понятие, то A (x_{1, ….} x _n) – его содержание.

Различают логическое и фактическое содержание понятия.

Логическое содержание – это та информация, которую несет логическая форма понятия. Чтобы выявить логическое содержание понятия xA (x), надо отвлечься от смыслов и значений дескриптивных терминов, входящих в выражение A (x).

Что дает знание логического содержания понятия?

Во-первых, по логическому содержанию можно установить, является ли понятие универсальным, т. е. Выделен ли в нем весь универсум рассуждения (род). Понятие, содержание которого выражено общезначимой формулой является универсальным. Во-вторых, по логическому содержанию можно установить, является ли понятие пустым в том смысле, что в нем не выделяется ни один предмет из универсума. Если содержание понятия выражается противоречивой формулой, то понятие является пустым. В-третьих, логические содержания могут использоваться при установлении отношений между понятиями.

Фактическое содержание понятия делится на основное и полное. Основное фактическое содержание – это система признаков, на основе которой осуществлено обобщение и выделение предметов в понятии, рассматриваемая сама по себе, т.е. без учета всего имеющегося знания об обобщаемых предметах, о связях признаков, входящих в эту систему, с другими признаками и т.д.

Полное фактическое содержание – это содержание понятия с учетом всего имеющегося знания о предметах, обобщаемых в понятии, о признаках, по которым происходит обобщение, и т.д.

Очевидно, что основное и полное содержание одного и того же понятия могут не совпадать.

Пример. Основное содержание понятия «химические вещества, имеющие одинаковый состав атомов в молекулах, но различающиеся структурой» (понятие изомеров), выражается предикатом «иметь одинаковый состав атомов в молекулах, но различаться структурой». Из химии известно, что вещества, имеющие различную структуру молекул, обладают различными (по крайней мере, некоторыми) химическими свойствами. Учитывая это знание, следует включить в полное содержание понятия признак «обладать различными химическими свойствами». В основе содержания рассматриваемого понятия этот признак не включается.

Объем понятия – это множество предметов, обобщаемых и выделяемых в понятии, т.е. множество предметов, которые характеризуются системой признаков, составляющей содержание понятия.

Объем понятия xA(x) может быть обозначен так: WxA(x) – класс x,таких, что x есть A. В общем случае Wx₁, …, x_nA(x₁, …, x_n) – множество n-ок предметов, находящихся в отношении A.

Естественно различать логический и фактический объемы понятия.

Логический объем – это класс предметов, обладающих системой признаков, составляющей логическое содержание понятия.

Фактический объем – это класс предметов, обладающих системой признаков, составляющей фактическое содержание понятия.

Отдельные предметы, относящиеся к классу предметов, представляющему собой объем понятия. Так, элементами объема понятия о человеке являются отдельные люди. Подклассы объема понятия, не совпадающие с ним и не являющиеся пустым множеством, называются частями объема.

А

Объем понятия можно представить графически в виде круга, заполненного точками. Каждая точка этого круга представляеткакой-то элемент объема понятия.

Например, объем понятия о человеке можно представить

в виде круга А.

Связьмежду содержанием и объемом понятиявыражается в логическом законе обратного отношения между ними, который можно сформулировать так: пусть имеются два понятия, содержание одного из которых меньше содержания второго, тогда объем первого больше объема второго.

Пример. Сравнивая содержание понятий «преступление» и «хозяйственное преступление», мы можем утверждать, что содержание первого меньше, чем содержание второго. Объемы же этих понятий находятся в обратном отношении, поскольку хозяйственных преступлений меньше, чем всех преступлений.

В традиционной логике отсутствовали точные критерии сравнения понятий по содержаниям. Считалось, что содержание одного понятия больше содержания другого, если содержание первого включает в себя больше признаков, чем содержание второго. В тех случаях, когда признаки объединены союзом «и», такое понимание может быть приемлемо, но не всегда.

Пример. Содержание понятия «число, которое делится на 2 и на 3» больше содержания понятия «число, которое делится на 2». Если же сравнить понятия «число, которое делится на 2 или на 3» и «число, которое делится на 2», то окажется, что сравнение содержаний по числу признаков не позволяет установить, какое понятие больше по содержанию.

Кроме того, в традиционной логике не различались логические и фактические содержания, а также логический и фактический объемы. Все это ставило под сомнение правильность закона обратного отношения. В качестве примеров приводились случаи отношений между объемами и содержаниями понятий, противоречащих закону.

Пример, известный как пример Больцано Б.: содержание понятия (1) «человек, знающий все живые европейские языки», по его мнению, больше содержания понятия (2) «человек, знающий все европейские языки», но и объем первого понятия больше объема второго.

Наряду с определением содержания понятия как совокупности признаков, возможна характеристика его как некоторого предиката. Поскольку предикат представляет собой высказывательную форму, он выражает некоторую информацию о предметах, мыслимых в понятии. В силу этого представление содержания как предиката позволяет истолковать его как характеристику информативности понятия. Различение понятий по информативности существенно для выяснения многих аспектов при анализе этой формы мышления. Оно приводит, в частности, к устранению многих недоразумений, которые возникали в прошлом, в частности, в связи с известным в логике законом обратного отношения между объемами и содержаниями понятий. В распространенной формулировке он гласит: объем и содержание понятия находятся в обратном отношении: чем шире объем, тем уже содержание понятия, и наоборот. Более точно, имеется в виду отношение между объемами и содержаниями двух понятий xA(x) и xB(x) с одним и тем же родом (область значений x – D). Согласно закону, если объем одного из этих понятий шире объема другого, то содержания их находятся в обратном отношении.

Может быть принята и более общая формулировка:

Если объем одного понятия составляет часть объема другого (с тем же родом), то содержание второго составляет часть содержания первого.

Кроме того, поскольку понятия имеют один и тот же род, отношение «часть – целое» между содержаниями понятий сводится к отношению между видовыми отличиями этих понятий, то есть между предикатами A(x) и B(x).

Таким образом, приходим к формулировке:

Объем одного понятия составляет часть другого (с тем же родом), если и только если содержание второго составляет часть содержания первого.

Закон обратного отношения играет важную роль в известных операциях обобщения и ограничения понятий, в анализе отношений между понятиями.

Виды понятий

Понятия делятся на виды по:

1) количественным характеристикам объемов понятий;

2) типу обобщаемых предметов;

3) характеру признаков, на основе которых обобщаются и выделяются предметы.

Эта классификация преимущественно относится к простым понятиям (понятиям, содержание которых выражается простым предикатом) формы xA(x).

По количеству обобщаемых предметов понятия делятся на понятия с пустым (нулевым) объемом и понятия с непустым (ненулевым) объемом.

Пустым по объему называется понятие, в объеме которого нет ни одного предмета из универсума рассуждения. Содержаниями таких понятий являются системы признаков, не принадлежащие ни одному предмету из универсума.

Примеры. 1⁰. «Вечный двигатель». 2⁰. «Вещество, являющееся металлом и не являющееся электропроводным». 3⁰. «Человек, знающий все европейские языки, но не знающий болгарского языка, являющегося европейским».

Пустота приведенных понятий обусловлена разными обстоятельствами. Понятия 1⁰ и 2⁰ пусты из-за противоречивости их фактических содержаний, т.е. противоречивости содержаний в рамках имеющегося знания. При этом содержание понятия 1⁰ противоречиво в силу закона сохранения энергии, а содержания понятия 2⁰ – в контексте со знанием «все металлы электропроводны».

Возникновение понятий, логическое содержание которых противоречиво, связано с ошибками в познании. Такие ошибки иногда совершаются при образовании сложных понятий, например, в математике.

Понятия, логические содержания которых непротиворечивы, возникают в следующих случаях:

1) в науке образуются понятия не только о тех предметах, существование которых установлено, но и о тех, существование которых лишь предполагается. При образовании понятий последнего типа проявляется активный характер познания. В результате дальнейших исследований может оказаться, что этим понятиям ничто не соответствует в действительности, т.е. их фактическое содержание противоречиво. Такими понятиями являются понятия теплорода, мирового эфира, живых существ, обитающих на Марсе. В момент образования понятий данного типа их фактическое содержание противоречивым не является. Оно становится таковым с развитием знания;

2) в науке образуются понятия, содержание которых с самого момента их образования противоречиво в контексте всего имеющегося знания. Предметы, обобщаемые в этих понятиях, не существуют в действительности. Примеры таких понятий: «идеальный газ», «абсолютно черное тело». Понятие этого вида необходимы при построении теорий. В рамках этих теорий (в рамках универсума рассуждений) их содержания не являются противоречивыми.

Среди понятий с непустым объемом выделяют единичные и общие. В объеме единичного понятия содержится один элемент, а в объеме общего понятия – более одного элемента. Общие понятия делятся на универсальные и неуниверсальные. Объемом универсального понятия является весь универсум, а объемом неуниверсального – не весь.

По типу обобщаемых предметов понятия делятся на собирательные и несобирательные, а также на конкретные и абстрактные.

Элементами объемов собирательных понятий являются совокупности однородных предметов, мыслимые как целое, т.е. как некие агрегаты. Такие собирательные понятия: «народ», «студенческая группа» соответственно обобщают народы и группы. Эти понятия являются общими. Собирательные понятия могут быть единичными, например «российский народ».

Элементами несобирательных понятий являются отдельные предметы, например «планета Солнечной системы», «Московский государственный университет».

Конкретными называются понятия, в которых обобщены сами предметы, существующие в универсуме рассуждения. Абстрактными – те, в которых обобщены отдельные стороны, свойства, отношения предметов, существующих в универсуме рассуждения. Если универсумом рассуждения является множество тел, то «твердость» - пример абстрактного понятия.

По характеру признаков, на основе которых обобщаются и выделяются предметы, понятия делятся на положительные и отрицательные, а также на относительныеи безотносительные.

Содержанием положительного понятия является положительный признак, например «живущий по средствам», «говорящий по-английски», а отрицательного – отрицательный, например «живущий не по средствам», «не говорящий по-английски».

Относительным называется понятие, содержанием которого является наличие или отсутствие отношения выделяемых предметов к некоторым другим предметам, например «мать», «отец».

Понятия, в одном из которых предметы выделены на основе их отношения к другим предметам, а в другом – на основе отношения к первым, называются соотносительными, например: «причина», «следствие».

В безотносительных понятиях предметы выделяются на основе наличия или отсутствия у них характеристик самих предметов, не указывающих на отношения предметов к другим предметам.

Сложное понятие является относительным, если среди конъюнкции признаков, составляющих его содержание, есть простые признаки, представляющие собой наличие или отсутствие отношений, например «человек, имеющий высшее образование и не знающий русского языка».

Важно отметить тот момент, что нельзя принимать данную классификацию видов понятий как некие «карманы», в которые мы можем разложить различные понятия. Каждое понятие можно проанализировать с разных позиций по тем трем основным выделенным выше основаниям.

Примеры: «Значимая часть слова (морфема)» – непустое, общее, несобирательное, положительное, безотносительное, абстрактное.

«Человек, не знающий страха» - непустое, общее, несобирательное, отрицательное, относительное, абстрактное.

Отношения между понятиями

В педагогическом процессе, при изложении или построении какой-либо концепции и во многих других случаях важно не только указать вид вновь вводимого понятия, но и выяснить, в каком отношении находится это понятие к другим понятиям. Высказывания типа: «это понятие близко такому-то понятию»- не позволяют понять суть дела. Точно указать вид отношения данного понятия к другим понятиям помогает логика.

ПОНЯТИЯ

СРАВНИМЫЕ НЕСРАВНИМЫЕ

СОВМЕСТИМЫЕ НЕСОВМЕСТИМЫЕ

Логическое подчинение противоречие

Равнозначность противоположность

Перекрещивание соподчинение

Между понятиями, имеющими общий род, можно устанавливать отношения по содержаниям. Последним соответствуют определенные отношения по объемам, кроме случая, когда понятия находятся в отношении независимости по содержаниям. Отношениям между понятиями по объемам не всегда соответствуют определенные отношения по содержаниям.

Пусть даны два понятия:

(1) xA(x);

(2) xB(x).

Понятие (1) шире понятия (2) по содержанию (содержание (1) больше содержания понятия (2)), если и только если A(x) B(x), и неверно, что B(x) A(x).

Если понятие (1) шире понятия (2) по содержанию, то в силу закона обратного отношения объем понятия (1) меньше объема понятия (2). Это соответствует логическому подчинению. В кругах Леонарда Эйлера это можно показать следующим образом:

(2) (1)

Пример: Министерство высшего образования (1) – Министерство (2).

Понятие (1) и (2) эквивалентны по содержаниям, если и только если A(x) B(x); B(x) A(x). Объемы таких понятий равны. Например, «свободомыслие» и «вольнодумство».

V1=V2

Перекрещивающимися называют такие понятия, в объемах которых имеются общие элементы, однако в составе каждого из них содержатся такие предметы, которые не являются элементами другого. Например, «студент» и «шахматист», «горожанин» и «собаковод» и т.д. В кругах Л.Эйлера это отношение будет выглядеть следующим образом:

Понятия (1) и (2) находятся в отношении противоречия (контрадикторности) по содержаниям, если и только если формулы A(x) и B(x) несовместимы по истинности и несовместимы по ложности. Например, «студент, который сдал все экзамены», «студент, который не сдал некоторых экзаменов». Объемы этих понятий не имеют общих элементов и исчерпывают весь универсум.

Понятия (1) и (2) находятся в отношении контрарности по содержаниям, если и только если формулы A(x) и B(x) не совместимы по истинности, но совместимы по ложности. Например, «студент, который сдал все экзамены на отлично», «студент, который не сдал ни одного экзамена на отлично».

«Молодой» - «Старый»,

(1) (2) «Щедрый» - «Скупой»,

«Мудрый» - «Глупый» и т.д.

В отношении соподчинения к некоторому понятию находятся два несовместимых понятия, каждое из которых является подчиненным по отношению к этому третьему понятию.

Например: (1) «Преступление»,

(1) (2) «Получение взятки»,

(3) «Незаконное изготовление спиртных напитков»

Задание. Изобразить посредством круговых схем отношения между объемами понятий:

А) Число,

Б) Четное число,

В) Нечетное число,

Г) 2, 2

Д) Число, делящееся на 4,

Е) Число, делящееся на 8,

Ж) Простое число