Исторические этапы развития логики.

Логика как самостоятельная наука начала формироваться в Индии, Китае, Греции задолго до нашей эры. На начальных этапах ее развития в Древней Индии большое внимание уделялось теории умозаключения, которое отождествлялось с доказательством. В Древнем же Китае большинство логических теорий содержалось в многочисленных трактатах, которые посвящались вопросам философии, этики, политики и ес­тествознания. В них акцентировалось внимание на таких логических пробле­мах, как теория имен, теория высказываний, теория рассуждения, законы мы­шления.

Наиболее обстоятельно теоретические проблемы логики были разработа­ны и систематизированы в Древней Греции. Одним из ее видных представи­телей был известный философ Демокрит (460-370 гг. до н. э.). Он - создатель системы логики, которая была отражена в специальном трактате «О логике, или Каноны», состоявшем из трех книг. Название «Каноны» означает «правила», «критерии». Свою логику Демокрит строил на эмпирической основе, поэтому он признается одним из основателей индуктивной логики.

Проблемами логики занимались также и древнегреческие философы - Сократ (около 470-399 гг. до н. э.), Платон (427-347 гг. до н. э.). Сократ, например, считал, что любой предмет может быть познан лишь в том случае, если его можно свести к общему понятию. И судить о нем необходимо на основе этого понятия. Платон, являясь учеником Сократа, значительное место отводил в своих взглядах вопросам теории познания и логики. Он стремился образовать понятия и затем осуществить деление понятия на его виды. Излюбленным логическим приемом Платона была дихотомия, т.е. деление понятия А на В и не-В (например, преступления делятся на умышленные и неумышленные).

Одним из великих философов и ученых Древней Греции был Аристотель (384-322 гг. до н. э.). Он дал систематическое изложение логики как науки. Аристотель обнаружил, что знания, каков бы ни был их источник, выража­ются в языке. Чтобы их исследовать, нужно рассмотреть формальную, то есть логическую структуру предложений и основных типов понятий, которые выражают и формулируют знания. Оказалось, что при всем многообра­зии знаний можно выделить некоторое конечное число выражающих их формально-логических структур. Аристотель впервые стал рассматривать научные знания как последовательность высказываний, связанных между собой логическими отношениями и выводимых друг из друга по правилам логики. Его основными трудами в этой области явились «Первая аналитика» и «Вторая аналитика», в которых дана теория силлогизма, определение и деление понятий, теория доказательства. Впоследствии все шесть его логических трактатов были объединены под общим наименованием «Орга­нон» (орудие познания действительности). Заслуга Аристотеля заключается также в том, что он открыл и сформулировал такие законы правильного мы­шления, как закон тождества, закон непротиворечия, закон исключенного третьего.

Важно иметь в виду, что Аристотель впервые в истории античной фило­софии занялся специальным изучением внутренней структуры человеческо­го мышления и стремился вывести логические формы из реального содержа­ния мысли. Законы и правила логики, на его взгляд, не произвольны, а берут объективные истоки в отношениях предметного мира.

В средние века (VI-XV вв.) логика в значительной мере была подчинена интересам богословия. В этот период теоретический поиск в логике развернул­ся вокруг проблемы объяснения природы общих понятий. Так, представители реализма того периода, поддерживая взгляды Платона, утверждали, что общие понятия существуют реально вне единичных предметов, составляя некую сверхъестественную сущность последних. Подобной точки зрения придержива­лись, например, А. Кентерберийский (1033-1109), Ф. Аквинский (1225-1274).

Представители же номинализма, напротив, полагали, что реально суще­ствуют только единичные предметы, а общие понятия - лишь имена, назва­ния для них. Такой позиции придерживались И. Росцелин (1050-1120), У. Оккам (1285-1349) и др. Однако в итоге этих споров как одна, так и дру­гая сторона принижали роль логического знания.

Основателем арабоязычной логики считается сирийский математик Аль-Фараби (870-950), прокомментировавший весь аристотелевский «Органон». Его логика направлена на анализ научного мышления. Аль-Фараби выделя­ет в логике две ступени: одна охватывает представления и понятия; другая - теорию суждений, выводов и доказательств.

Развивает логику в этот период известный таджикский мыслитель Ибн Сина (980-1037). В работе «Логика» он стремится обобщить аристотелев­скую силлогистику, установить зависимость между категорическими и ус­ловными суждениями.

В эпоху Возрождения (XV-XVI вв.) происходит активизация эмпириче­ских тенденций в логике и методологии научного знания. В этот период происходит бурное развитие науки, она сближается с практикой. Ведущее место среди других наук начинает занимать математика.

В развитии логики большую роль сыграл английский философ Ф. Бекон (1561-1626). Он разработал основы индуктивной логики в своем труде «Но­вый Органон», который, по мысли автора, должен заменить старый аристо­телевский «Органон». Если прежние философы рассматривали логику толь­ко как средство проверки и обоснования истины, то Ф. Бэкон предложил использовать логику в качестве эффективного орудия для осуществления научных открытий. Задача логики, согласно взглядам Ф. Бэкона, состоит в обосновании индуктивных выводов, в которых рассуждения человека идут от частного знания к знанию общему. Он также разработал индуктивные методы определения причинной связи между явлениями: метод сходства, метод различия, соединенный метод сходства и различия, метод сопутству­ющих изменений, метод остатков.

Успехи опытного естествознания XVI-XVII веков характеризовались, прежде всего, развитием математики и механики, теории земных и небесных тел. Ограниченность научного познания того времени привела к установле­нию метафизического взгляда на природу как на застывшую и неизменную систему. Метафизический способ мышления впоследствии сказался на по­нимании предмета формальной логики. Ее законам придали абсолютный ха­рактер, то есть распространили их сферу действия не только на мышление, но и на окружающий человека природный мир. Весомый вклад в развитие логики этого периода внесли французские исследователи, прежде всего Р. Декарт (1596-1650). Он сформулировал четыре основных правила любо­го научного исследования: 1) истинно лишь то, что познано, проверено и до­казано; 2) расчленять сложное на простое; 3) восходить от простого к сложному, от более очевидного к менее очевидному; 4) исследовать предмет во всех деталях.

Его последователи Арно и Николь в 1662 г. написали книгу «Логика, или Искусство мыслить», где обосновали задачу освобождения логики Аристоте­ля от внесенных в нее последующими представителями логической науки схоластических ошибок.

Немалая заслуга в развитии логики принадлежит представителям немец­кой классической философии, особенно И. Канту (1724-1804) и Г. Гегелю (1770-1831). Так, И. Кант выступил, в частности, против абсолютизации за­конов логики. По взглядам И. Канта, логика представляет собой науку о не­обходимых законах, правилах рассудка вообще. Вот почему логика, по его мнению, должна изучать форму мышления в отрыве от его содержания, т.е. независимо от объекта мышления. Он утверждал, что логика отвлекается от всякого содержания, а следовательно, и от самих вещей. И. Кант разработал новый тип логики, которую назвал трансцендентальной (от лат. transcendere - переступать). В ней логические формы рассматриваются как априор­ные (доопытные) свойства рассудка, обусловливающие возможность всеоб­щего и необходимого знания явлений опыта. Позитивным вкладом в логику является то, что немецкий ученый отличал логическое основание и логиче­ское следствие от реальной причины и реального следствия. И. Кант призна­вал также существование «чисто формальной» логики, которая имеет дело с «чистыми» формами мышления.

Обстоятельную критику взглядам И. Канта на сущность формальной ло­гики дал Г. Гегель. В то же время он критически относился вообще к фор­мальной логике. Свое отношение к этой науке, как «метафизической», он строил исходя из объективно-идеалистической идеи о тождестве законов мышления и бытия. Критику законов формальной логики Г. Гегель дал во второй книге своей работы «Наука логики», в разделе «Учение о сущности». По мнению Г. Гегеля, законы логики носят всеобщий характер, распростра­няются на все сферы действительности. Однако такой универсальной логи­кой должна стать не формальная логика, а диалектика саморазвития, «ино­бытием» которого является внешний мир.

Крупными русскими исследователями в области логики были М.И. Каринский (1840-1917) и Л.В. Рутковский (1859-1920). Так, М.И. Каринский внес значительный вклад в разработку классификации умозаключений. Ос­новной замысел его логической теории характеризуется стремлением построить аксиоматико-дедуктивную систему логики, исходя из основного отно­шения равенства (т.е. «тождества»); описать в ней дедуктивные и индуктив­ные умозаключения.

Л.В. Рутковский - автор труда «Основные типы умозаключений» (1888). Если М.И. Каринский строил теорию выводов, используя лишь отношения тождества, то Л.В. Рутковский считал возможным признать равноправными с отношениями тождества и такие, как отношения сходства, сосуществова­ния и другие.

С началаXX столетия формальная логика получает дальнейшее развитие. Возникла математическая логика, широко применившая метод математической формализации и специальный аппарат символов к определенному кругу логи­ческих операций. Представляют математическую логику Г. Фреге (1848-1925), Б. Рассел (1872-1970), Б. Аккерман (1896-1962) и другие мыслители.

Формализация и предельное абстрагирование от конкретного содержа­ния высказываний позволили решить ряд трудных логических задач в обла­сти математики и нашли применение в работе электронно-вычислительных машин, теории программирования и т. д. Значительный вклад в разработку современной математической логики внесли наши отечественные ученые-математики А.П. Колмогоров, А.А. Марков, П.С. Новиков, М.В. Келдыш и другие. Однако математическая логика не охватывает всех проблем естест­венной логики мышления. За формальной традиционной логикой остается ее познавательная функция и методологическая роль как науки о законах и формах правильной мысли, ведущей к утверждению истины.

Развитие логики в России

По-видимому, первым оригинальным российским сочинением по логике стали «Письма к немецкой принцессе» (Lettres à une princesse d'Allemagne) Л.Эйлера, сначала вышедшие в трех частях в Санкт-Петербурге (1767–72) на французском языке, затем в Лейпциге (1770) и позднее переведенные на русский под названием «Письма о разных физических и философических материях» (СПб., 1796). Затем полвека о логике в России книг не писали (за исключением компилятивной «Логики» И.С.Рижского, 1790), ограничиваясь немецкими и французскими источниками. Только учреждение новых университетов (Тартуского, 1802; Казанского, 1804; Харьковского, 1805), расширившее возможности для философского образования (до этого времени лекции по философии читались только в Московском университете), благоприятно сказалось и на отношении к логике. Появляются местные сочинения: «Начертания логики» А.С.Лубкина (СПб., 1807), «Логика, риторика и поэзия» Ф.Мочульского (Харьков, 1811), «Логические наставления» Д.П.Лодия (СПб., 1815), «Логика» И.Любочинского (Харьков, 1817), «Опыт логики» П.Любовского (Харьков, 1818), «Начальные основания логики» И.И.Давыдова (М., 1820), «Краткое руководство по логике» Н.Рождественского (СПб., 1826).

В интеллектуальную жизнь российских университетов логика входила не самостоятельным предметом, а как приложение к тем или иным философским системам, которые в разное время преобладали. К примеру, весь 18 в. и нач. 19-го прошли под знаком вольфовской и кантовской философии. С 30-х гг. усиливается влияние диалектики Фихте, Шеллинга и Гегеля. Как и философия, логика плохо совмещалась с установками системы образования, принятой в России, поскольку обе они, всегда направленные на «изощрение умов», могли порождать скептицизм, не всегда обращаемый «на пользу православия и народности».

В этой ситуации стремление отделить логику от философии, представить ее как самостоятельную науку, лежащую вне идеологических интересов, казалось естественным. И первая заявка в этом направлении была сделана, по-видимому, К.Зеленецким в статье «О логике как систематически целом и как о науке, объясняющей факты Мышления и Знания» (1836), где он ратует за независимость формальной логики от философии.

Но потребовалось время, чтобы российская логика конституировалась в самостоятельную науку. Этому способствовали, во-первых, аналогичные процессы в Англии, Германии и во Франции, и, во-вторых, основательное знакомство русских логиков с достижениями логиков в странах Западной Европы. При этом было учтено все – и метафизическое направление германской логики (Р.Лотце, В. Шуппе, В.Вундт и др.), и психологическое направление этой логики (X.Зигварт, Т.Липпс), и индуктивное направление сторонников английского эмпиризма (Д.С.Милль, А.Бэн), и математическое направление тех же англичан (Дж.Буль, А.де Морган, Ст.Джевонс, Дж.Венн). Именно к кон. 19 в. (под влиянием работы К.Прантля) появляются российские исследования (обзоры) по истории логики М.И.Владиславлева (1872), М.М.Троицкого (1882), П.Лейкфельда (1890), дополняемые оригинальными суждениями этих авторов.

Вторая половина 19 в. – это время реформы логики, выхода за рамки аристотелевской силлогистики. В России эта реформа шла по двум направлениям. Во-первых, в философской логике М.Каринский (1880) предложил новую классификацию выводов (отличную от классификаций Аристотеля, Милля и Вундта), основанную на сравнительном анализе отношений тождества между субъектами и предикатами суждений, участвующих в выводе, а Л.Рутковский(1899) дополнил эту классификацию и развил критику миллевских индуктивных методов именно как методов логического доказательства. С.И.Поварнин (1917) обратил внимание на особенность несиллогистических умозаключений и пришел к выводу, что их теория возможна только на почве логики отношений, включающей и принципы логистики. Во-вторых, главная реформа шла в том направлении логики, которое позднее получило название математической (или символической) логики. Здесь следует указать на работы В.Бобынина (Опыты математического изложения логики. М., 1886); М.С.Волкова (Логическое исчисление. 1894), исследования И.В.Слешинского (Логическая машина Джевонса. 1893) и Е.Л.Буницкого (1896–1897), и, наконец, на классические работы П.С.Порецкого, в известной мере завершившие эпоху булевско-шрёдеровского развития алгебры логики как алгебры классов.

Между тем, не сталкиваясь с интересами сторонников математического направления в логике, продолжалось и развитие философской логики. Важный его период связан с творчеством Н.А.Васильева. Он выступил автором «воображаемой логики» (1910, 1912). Основная идея заключалась в том, что законы логические (см. Закон логический) подразделяются на два уровня: законы собственно логики, которая является эмпирической, и поэтому они вариативны, и законы металогики, которые неизменны. В мире эмпирических законов ни закон противоречия, ни закон исключенного третьего не являются универсальными. Васильев по праву считается вместе с польским логиком Я.Лукасевичем предшественником паранепротиворечивой логики. Он также стоит у истоков многозначной (точнее, трехзначной) логики. Воззрения Васильева опирались на общие философские идеи русской университетской логики, в которой, с одной стороны, в мире «вещей-в-себе» допускалась противоречивость, и выдвигалась проблема объемной неопределенности «качественных» понятий (А.И.Введенский, И.И.Лапшин), по сути дела ставившая под вопрос общезначимость исключенного третьего закона, а, с другой стороны, отвергалось аристотелевское (т.н. корреспондентское) определение истины, которому противопоставлялась непосредственная («интуитивная») данность субъекту познаваемого объекта «в подлиннике» (Н.О.Лосский). Настойчивыми логическими поисками отмечено и богословское творчество П.Флоренского, настаивавшего на неизбежной противоречивости (антиномичности) познания. Высылка из России в нач. 20-х гг. выдающихся представителей русской гуманитарной мысли и трагическая судьба многих из тех, кто остался в России, в корне изменили саму постановку проблемы о соотношении философии и логики.

Кризис оснований, захвативший математику в нач. 20-го столетия, затронул и логику. В работе «О недостоверности логических принципов» (1907) Л.Э.Я.Брауэр поставил вопрос о новой – интуиционистской логике. В России брауэровский скептицизм в отношении закона исключенного третьего разделял и одесский математик С.О.Шатуновский (1917). Когда к кон. 20-х гг. начались поиски формализации интуиционистски приемлемых способов рассуждений, интуиционизм нашел признание у логиков России. И это не случайно, поскольку многие из них входили тогда в Московскую математическую школу, возглавляемую Н.Н.Лузиным – выдающимся представителем «полуинтуиционистской» концепции в основаниях математики, известной под именем эффективизма. Результатом работы в этом направлении российских математиков А.Н.Колмогорова (1925, 1932) и В.И.Гливенко (1928–29) стали первые аксиоматические системы интуиционистской логики и первые теоремы о взаимоотношении между классической логикой и интуиционистской.

Логическим отражением поисков, родственных интуиционистским, явилась работа И.Е.Орлова «Исчисление совместности предложений» (1928), которая оказалась исторически первой в мире работой по релевантной логике. Философская мотивировка этой работы была дана им еще в 1925 в статье «Логические исчисления и традиционная логика». Она сводилась к идее необходимости выражения в логическом формализме «связей по смыслу» между основанием и следствием условного суждения (а следовательно, и содержательного отношения между элементами умозаключения) и была для него выражением своеобразно понятой диалектической логики.

Выдающимся достижением этого периода является также серия статей И.И.Жегалкина (1927–29) по арифметизации символической логики высказываний и предикатов и решение им (в рамках этой арифметизации) проблемы разрешимости для логики одноместных предикатов (для аристотелевской логики). Интерпретируя логику высказываний как «арифметику четного и нечетного», Жегалкин сводит значительный корпус доказательства теорем знаменитой «Рrinсіріа mathematica» (Уайтхеда и Б.Рассела) к простым арифметическим упражнениям.

Новое направление было открыто в эти же годы московским логиком М.И.Шейнфинкелем. В статье «О кирпичах математической логики» («Mathematische Annalen», 1924) он заложил основы комбинаторной логики.

Тогда же русский физико-химик А.Р.Щукарев предпринял попытку применить понятия дифференциального исчисления к логике, основываясь на философии Р.Авенариуса. Щукарев публично демонстрировал сконструированную им «логическую машину» (аналог машины Джевонса).

Однако к кон. 20-х гг. и математическая логика оказалась под огнем партийной критики. Формальной логике в целом в «директивном» порядке была противопоставлена диалектическая логика. Преподавание формальной логики в школах и высших учебных заведениях прекращается. Даже математики (во избежание обвинений в буржуазном идеализме) отходят от идеалов своей молодости. Активными борцами против «идеализма в математике» в эти годы становятся Э.Кольман и С.А.Яновская. Позднее к этому дуэту присоединится В.Н.Молодший.

С этого времени и до кон. 40-х гг. логическая мысль в СССР развивается исключительно в рамках математики. В математических журналах появляются работы Д.А.Бочвара, А.И.Мальцева, П.С.Новикова, В.И.Шестакова и др., несущие на себе высокую степень математической кодификации языка и этим предохраняющие их авторов от идеологических нападок.

В 1946 постановлением ЦК ВКП(б) логика в ее традиционной форме вводится как предмет преподавания в школах и вузах. В этом же году переиздается дореволюционный учебник по логике Г.И.Челпанова (с купюрами, сделанными по «идеологическим соображениям»), появляются оригинальные учебники В.Ф.Асмуса (1947), К.С.Бакрадзе (1951) и др. Логика восстанавливается как особое направление гуманитарного образования в вузах, на ряде факультетов университетов и педагогических институтов открываются кафедры логики. В 1947 созданы кафедры логики на философском факультете МГУ (возглавил ее П.С.Попов) и ЛГУ (первым преподавателем логики уже в 1944 был С.И.Поварнин); в том же году образован сектор логики в Институте философии Академии наук СССР (ныне РАН).

Начало 50-х гг. отмечено рождением российского конструктивизма (см. Конструктивное направление). Работы А.А.Маркова и сотрудников его школы в немалой степени способствовали утверждению в общественном сознании научной значимости формальной логики. В эти годы С.А.Яновская инициирует издание на русском языке ведущих трудов по современной логике: Д.Гильберта и И.Аккермана «Основы теоретической логики» (1947) и А.Тарского «Введение в логику и методологию дедуктивных наук» (1948). Созданная ею школа логики оказала (благодаря обилию ее учеников) большое влияние на развитие философской мысли, на взаимодействие между логиками-философами и логиками-математиками. Семинар С.А.Яновской (кон. 50-х – нач. 60-х гг.) воспитал не одно поколение логиков. Большая роль принадлежит в этом также и А.А.Маркову, возглавившему образованную в 1958 кафедру математической логики МГУ. На логических семинарах Яновской, Маркова и их учеников (механико-математический и философский факультеты МГУ), Н.А.Шанина (в ЛГУ), на секторе логики Института философии формируется отечественная школа логиков-философов.

Определенным итогом описанного развития (и, конечно, относительно либеральной атмосферы 60-х гг.) явилось издание первой в России «Философской энциклопедии» (1960–70), в которой логика, несмотря на сопротивление некоторых членов редакционной коллегии энциклопедии и даже ее главного редактора, впервые в истории отечественной философской мысли была представлена в ее современном (на момент издания) и по возможности полном виде.

Б.В.Бирюков, M.M.Новосёлов

Уникальная история России 20 в. предопределила и уникальное развитие логики в ней, во многом непонятное для западного историка науки. В тоталитарной социальной системе логика стала объектом чисто идеологических манипуляций. Даже после того, как в 1947 формальная логика была возвращена в систему среднего и высшего образования, ее положение в этой системе не было независимым. В результате острой дискуссии в 1950–51 гг. на страницах главного философского официоза «Вопросы философии» и дискуссии по проблемам логики в МГУ и Институте философии АН СССР (ныне РАН) было зафиксировано, что высшей ступенью мышления является диалектическая логика, а низшей – формальная. Сторонников последней такое соотношение явно не устраивало и на этом фоне все 50-е и даже 60-е гг. прошли в обоюдной полемике. С одной стороны, в целях примирения сторон некоторыми участниками дискуссии предпринимаются попытки придать диалектической логике разумный смысл (С.А.Яновская, А.А.Зиновьев, Д.П.Горский, И.С.Нарский и др.). С другой стороны, в целях преодоления известного несоответствия уровней тогдашнего логико-философского образования и мировой логической культуры устанавливается практика переводов важнейших трудов по философской логике, таких, как «Логико-философский трактат» Л.Витгенштейна (1958, общая редакция и предисловие В.Ф.Асмуса) и «Значение и необходимость» Р.Карнапа (1959, общая редакция Д.АБочвара, предисловие С.А.Яновской); а также фундаментальных трудов по современной математической логике (под редакцией В.А.Успенского), таких, как С.К.Клини «Введение в метаматематику» (с добавлениями А.С.Есенина-Вольпина, 1957) и А.Чёрча «Введение в математическую логику» (1960), это оказало существенную помощь логикам-философам. Обе последние книги (как минимум начальные их главы) берутся за основу при преподавании логики на философском ф-те МГУ и изучаются различными группами логиков, одну из которых организует А.А.Зиновьев. Т.о. налаживается контакт между логиками-философами и логиками-математиками. В противостоянии с «диалектиками» первые обратились за помощью ко вторым и получили ее. Семинары А.А.Маркова и С.А.Яновской на механико-математическом факультете МГУ стали «первыми университетами» для многих философов, ставших на стезю логической науки.

Тем не менее развитие формальной логики все еще не было ее «внутренним делом». Ученые, в особенности работавшие на стыке логики, философии (а единственно верной философией была тогда марксистско-ленинская) и методологии наук (а всеобщим методом была только материалистическая диалектика) сталкивались с большими трудностями в своей деятельности. К примеру, до нач. 60-х гг. доступ к иностранной литературе был сильно ограничен, а для публикации на иностранном языке вплоть до сер. 80-х гг. требовалось унизительное специальное разрешение. В работах, в особенности диссертационных, если уж они не были совершенно формальными или математическими, требовались ссылки на классиков марксизма. Поэтому приходилось пользоваться «эзоповским языком», переходившим порой в имманентную ложь. И все же в то время формальная логика была отдушиной для многих мыслящих философов. А ответом на усиление идеологического и политического террора после «Пражской весны» 1968 явился возросший интерес к формальной логике со стороны молодых философов, тяготевших к символической и технической стороне дела.

По существу только в 70-е гг. в СССР философская логика как самостоятельная дисциплина выходит на всесоюзный и международный уровень. В 1974 в Институте философии проводится Всесоюзное совещание по теории логического вывода (с привлечением зарубежных ученых). В 1978 там же проводится Всесоюзное совещание по модальным и интенсиональным логикам, а в следующем году проходит 2-й Советско-финский коллоквиум по логике (первый проходил в Финляндии в 1976).

Главным событием для логиков всего мира является проведение Международных конгрессов по логике, методологии и философии науки, первый из которых прошел в Стэнфорде в 1960. И если на третьем в Амстердаме (1967) было всего несколько профессиональных логиков из России (А.А.Марков был приглашенным докладчиком), то начиная с 1971 (Бухарест) делегация становится весьма представительной. А в 1987 очередной конгресс (восьмой) проводится в Москве, что, помимо прочего, говорит и об авторитете отечественной логики, которая к тому времени имела уже немалый «послужной список» выдающихся результатов. Начиная с работ новосибирского математика А.И.Мальцева (30-е гг.), складывается школа по моделей теории, получившая международное признание (Ю.Л.Ершов, Ю.Ш.Гуревич, С.Р.Когаловский, И.А.Лавров, А.Д.Тайманов, М.А.Тайцлин, С.С.Гончаров и др.), а в кон. 40-х гг. А.А.Марковым создается школа русского конструктивизма (см. Конструктивное направление). Им же в 1947 (одновременно и независимо от американского логика Э.Л.Поста) был указан первый пример «внутриматематической» алгоритмически неразрешимой массовой проблемы, а именно проблемы А.Туэ (проблема равенства для полугрупп). В 1970 Ю.В.Матиясевичем получен другой результат мирового значения – доказана алгоритмическая неразрешимость 10-й проблемы Гильберта. На современном этапе развития логики порой трудно отделить, что принадлежит к математической (символической логике), а что к философской логике.

МНОГОЗНАЧНЫЕ ЛОГИКИ. В России сложилась одна из лучших в мире школ по многозначной логике. Первая оригинальная работа принадлежит Д.А.Бочвару (1938), который (независимо от Я.Лукасевича и Э.Поста) создает аппарат трехзначной логики В3, изначально пригодный для прикладных целей: логика Бочвара предназначалась для анализа парадокса Рассела (см. Парадокс логический). Идея разрешения парадоксов, предложенная Бочваром, оказала определенное влияние и на мировую логику. Система В3, ставшая первой в мире трехзначной «логикой бессмысленности», была впоследствии обобщена В.К.Финном методом, позволяющим аксиоматизировать любую конечнозначимую логику (О.М.Аншаков и С.В.Рычков, 1982). Ряд работ по трехзначным логикам принадлежит В.И.Шестакову, который впервые дал сравнительный анализ их взаимоотношения (1964). Р.Ш.Григолия и В.К.Финн предложили алгебраическую семантику (квази-решетки) для логик типа В3 и доказали теорему представления (1979, 1993). Впервые было обнаружено, что существует логика, в данном случае В3, алгебраической структурой которой является квази-решетка (В.К.Финн, 1974).

В 50-е гг. А.В.Кузнецов, развивая идеи американского логика Э.Поста, закладывает аппарат для изучения функциональных свойств многозначных логик. Им также формулируется критерий функциональной полноты для них. В этом же направлении работает и С.В.Яблонский, который в 1958 публикует фундаментальную работу о функциональных построениях в многозначной логике. Важный результат здесь принадлежит А.А.Мучнику и Ю.И.Янову (1959), которые показали, что переход от счетного множества различных замкнутых классов функций двузначной логики к континууму этих классов происходит за счет добавления всего лишь одного нового истинностного значения. Кроме всего прочего этим устанавливается уникальность классической логики. Стоит также отметить работы В.Б.Кудрявцева, Г.П.Гаврилова, Н.Р.Емельянова, Р.Ш.Григолия и др.

В 1970 В.К.Финн обнаруживает связь между функциональными свойствами конечнозначных логик Лукасевича Ln и простыми числами: Ln функционально предполна тогда и только тогда, когда n-1 есть простое число. Т.о., дано новое определение (в данном случае логическое) простого числа. Начиная с 1982 различные следствия из этого результата были получены А.С.Карпенко: структурализация простых чисел в виде корневых деревьев, построение такой n-значной логики, которая имеет класс тавтологий только и только тогда, когда n-1 есть простое число (еще одно определение простого числа), разработка различных алгоритмов для порождения классов простых чисел. Причем доказано, что порождаются все простые числа. Для построения соответствующих деревьев и порождения классов простых чисел В.И.Шалаком написаны компьютерные программы.

В 1960 вышла первая книга по многозначной логике, посвященная ее философским проблемам (А.А.Зиновьев), а в 1997 в монографии А С.Карпенко подводится определенный итог развития многозначной логики в России и за рубежом.

ИНТУИЦИОНИСТСКАЯ, КОНСТРУКТИВНАЯ И СУПЕРИНТУИЦИОНИСТСКИЕ ЛОГИКИ. Первая работа по интуиционистской логике появилась в России в 1925. Это была статья А.Н.Колмогорова «О принципе tertium non datur». В ней впервые формально представлена аксиоматика минимальной логики высказываний и предикатов. Позднее (1932) Колмогоров возвращается уже собственно к интуиционистскому исчислению, предложив интерпретацию интуиционистской логики предикатов как «исчисления задач». Эта интерпретация предвосхитила «семантику реализуемости» Клини – Нельсона. В свою очередь в работе В.И.Гливенко (1929; рус. пер. 1998) впервые приведен пример перевода одной логики в другую, а именно классической логики в интуиционистскую. Так было положено начало целому направлению: переводам и погружению одних логических систем в другие.

Возникновение и развитие конструктивного направления (на базе конструктивной логики) связано в первую очередь с работами А.А.Маркова, Н.А.Шанина, Н.М.Нагорного, А.Г.Драгалина, Н.Н.Непейводы и др. Самостоятельно та же тема представлена в работах П.С.Новикова. Новым результатом явилось построение Марковым ступенчатой системы логических языков с одновременным определением их семантики «снизу вверх» (серия публикаций в 1974 г.). Конструктивный подход Маркова был развит до уровня машинной эвристики (автоматизированного поиска логического вывода) в школе Н.А.Шанина и его учеников (особенно С.Ю.Маслова). В рамках классического подхода к логике теорию рекурсивных функций разрабатывает В.А.Успенский. А.Г.Драгалин показал, что нестандартное расширение арифметики позволяет существенно сократить выводы многих формул. С кон. 60-х гг. А.С.Есенин-Вольпин начинает развивать ультраинтуиционистскую программу оснований математики и естественно-научных теорий; свои исследования в этом направлении он продолжил в США, куда был вынужден иммигрировать в 1972 по политическим мотивам. После предложения Ю.П.Медведевым (1962) рассматривать логику финитных задач начинают изучать суперинтуиционистские логики, получающиеся расширением интуиционистской логики некоторыми аксиомами. Важный результат был получен В.А.Янковым (1968): множество всех суперинтуиционистских логик континуально. Почти сразу же А.В.Кузнецов (1971) доказывает теорему о континуальности всякого интервала между интуиционистской логикой и ее собственным расширением. М.В.Захарьящевым (1996) установлено, что количество импликативньгх логик, расширяющих импликативный фрагмент интуиционистской логики, тоже континуально. Л.Л.Максимова (1997) доказала, что существует континуум предикатных суперинтуиционистских логик с равенством имеющих интерполяционное свойство и, следовательно, свойство Бета. Ученики Л.Л.Максимовой С.И. Мардаев (1994, 1997) и П.А.Шрайнер (1988) получают целый ряд результатов о континуальных классах логик.

Хотя континуум невозможно классифицировать (континуальность – это тайна человеческого разума), А.В.Кузнецов (1974) начинает классифицировать наиболее «интересные» классы суперинтуиционистских логик, а еще ранее (1971) он доказал, что всякая предтабличная суперинтуиционистская логика финитно аппроксимируема. Л.Л.Максимова, используя этот результат, показала, что их ровно три, а затем «выловила» из континуума (см. ниже результат Л.Л.Эсакиа и В.Ю.Месхи) семь пропозициональных суперинтуиционистских логик, для которых верна интерполяционная теорема (1977). Других суперинтуиционистских логик с такими свойствами не существует. Отметим также, что интуиционистская логика с дополнительной связкой отрицания детально исследуется в книге И.Д.Заславского (1978). В 1999 Н.Н.Непейвода установил, что любая арифметика с конечнозначной суперинтуиционистской логикой и правилом Карнапа является классической, т.е. в ней выводим исключенного третьего закон.

Отметим еще несколько оригинальных результатов: в 1971 ученик А.В.Кузнецова М.Ф. Раца формулирует критерий функциональной полноты для интуиционистской логики. В связи с этим обратим внимание на результат, стóящий высочайшего признания: А.В.Кузнецов и М.Ф.Раца доказывают теорему о функциональной полноте классической логики предикатов. В.А.Смирнов (1972) впервые строит натуральное интуиционистское исчисление с ε-термами и только прямыми правилами вывода для кванторов. О.М.Аншаков осуществляет конструктивизацию многозначных логик (1980, 1983). Д.П.Скворцовым и В.Б.Шехтманом (1993) предложено максимальное (в некотором точном смысле) обобщение семантики Крипке для суперинтуиционистских и модальных логик – так называемая семантика меташкал Крипке. Наконец, алгебраическим исследованиям интуиционистской логики посвящена монография Л.Л.Эсакиа (1985).

МОДАЛЬНАЯ ЛОГИКА. Развитие модальных логик в рассматриваемый период в первую очередь инициировалось разносторонним изучением центрального семантического понятия «истина». Может быть, в этом кроется какой-то подсознательный глубинный смысл, учитывая тот идеологический фон, на котором происходило развитие науки в целом. Для специалистов в области модальной логики большим событием было издание перевода книги Р.Фейса «Модальная логика» (1974) под редакцией и с существенными дополнениями Г.Е.Минца. Затем стали появляться отечественные монографии: Я.А.Слинин (1976), В.Н.Костюк (1978), О.А.Солодухин (1989), Ю.В.Ивлев (1985, 1991), который предложил квази-функциональную интерпретацию модальных логик. В.И.Маркиным (1984) проведен логический анализ модальностей de re. О.Φ.Серебрянникову удается доказать теорему об устранимости сечения для кванторных расширений хорошо известных модальных систем S5 и брауэровой, а П.И.Быстрое распространяет этот результат на нормальные расширения S4. А.В.Чагровым обнаружено, что существуют антитабличные (т.е. не имеющие коне