НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ (в логике и математике)

- условия, устанавливающие зависимость истинности к.-л. утверждения А от наличия условий, фиксируемых в другом утверждении Я Необходимымиусловиями истинности утверждения А называются условия, без соблюдения которых А не может быть истинным. Достаточными называются такие условия, при наличии (выполнении, соблюдении) которых утверждение А является истинным. Условия могут быть необходимыми, но недостаточными, достаточными, но не необходимыми, необходимыми и достаточными.

Так, делимость числа п на 2 есть необходимое, но недостаточное условие его делимости на 6 (т. е. необходимое, но недостаточное условие истинности утверждения: «Число п делится на 6»). Это условие является необходимым потому, что без его наличия число п не будет делиться на 6. Это условие не является достаточным потому, что при его наличии число п не обязательно будет делиться на 6. Наоборот, делимость числа п на 6 будет достаточным, но не необходимым условием его делимости на 2, потому что при его наличии число п всегда будет делиться на 2. Это условие не является необходимым, потому что, если число не делится на 6, оно не обязательно не делится на 2. Условие же делимости числа и на 2 и на 3 есть необходимое и достаточное условие его делимости на 6: если не соблюдено условие, то утверждение «Число n делится на 6» будет ложным (условие является необходимым); если же условие соблюдено, то утверждение «Число п делится на 6» будет истинным (условие является достаточным).

НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ (в традиционной логике)

— умозаключение из одной посылки. К числу Н. у. относятся обращение суждений, превращение суждений, противопоставление предикату, некоторые умозаключения по логическому квадрату, напр. от истинности общих суждений (А и Е) к истинности соответствующих частных суждений (I и О) и др.

Иногда Н. у. ограничиваются умозаключениями из простых атрибутивных суждений, иногда же в их число включаются и умозаключения из суждений с отношениями, и умозаключения из сложных суждений (см.: Суждение). В последнем случае к числу Н.у. относятся и такие умозаключения из одной посылки, как, напр., умозаключения из суждений вида xRy, где R — симметричное отношение. Так, из посылки а = b можно получить заключение b = а; к их числу можно отнести и контрапозицию условного суждения (см.: Контрапозиции законы). Так, из суждения «Если число п делится на 6, то оно делится и на 2» можно сделать заключение «Если число п не делится на 2, то оно не делится на 6».

НЕПРЕДИКАТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ

-определение, с помощью которого некоторые объекты вводятся через множества, включающие эти объекты в качестве своих элементов. Напр.: «Верхней границей множества действительных чисел называется самое большое число этого множества, т. е. число, которое больше любого числа этого множества». В этом определении Dfd («верхняя граница множества действительных чисел»), т. е. определяемое, включается в множество действительных чисел Dfn как самое большое число этого множества — определяющее - и тем самым участвует в формировании этого множества. Такие определения должны рассматриваться как определения с «порочным кругом»: Dfd определяется в них через Dfn, куда включается Dfd. Тем не менее они используются в науке. В целях «оправдания» они особым образом интерпретируются. Одним из таких «оправданий» является предложенная Б. Расселом аксиома сводимости, согласно которой для Н. о. должны существовать иные способы задания множеств, в которые определяемый объект включается в качестве элемента независимо от его определения. Так, согласно Б. Расселу, приведенное выше определение является правильным, поскольку множество действительных чисел независимо от определения может быть экземплифицировано множеством точек на отрезке прямой (О, 1).

Если мы имеем дело с определениями, где множество, через которое определяется Dfd не формируется данным определением, а существует независимо от него, и если задача определения состоит в том, чтобы выделить некоторый элемент из нашего множества и при этом специфицировать его, — никакого порочного круга не возникает. Так, определяя Марс как планету Солнечной системы, четвертую по порядку от Солнца, мы не совершаем порочного круга, поскольку множество планет Солнечной системы существует независимо от нашего определения и мы лишь выделяем из этого множества планету Марс. Такие определения рассматриваются обычно как определения через род и видовое отличие (см.: Определение классическое).

НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ

- свойство предложений некоторой теории (в случае аксиоматической теории — системы ее аксиом), заключающееся в невыводимости из них противоречия. Если отрицание какого-то предложения может быть доказано в теории, то о самом предложении говорится, что оно опровержимо в ней. Непротиворечивость теории означает, что никакое предложение не может быть в ней и доказано, и вместе с тем опровергнуто.

Требование Н. является обязательным требованием к научной и, в частности, логической теории. Противоречивая теория завеломо несовершенна: наряду с истинными положениями она включает также ложные, в ней что-то одновременно и доказывается, и опровергается.

Во многих теориях имеет место закон Дунса Скота. В этих условиях доказуемость противоречия означает, что становится «доказуемым» все что угодно и понятие доказательства теряет смысл. Применительно к таким теориям требование Н. равносильно условию, что в теории имеется хотя бы одно недоказуемое высказывание. Н. одной теории может быть доказана через другую теорию, Н. которой гарантирована. Однако такое доказательство обладает лишь относительной убедительностью. Для простых теорий, таких, как исчисление высказываний, доказательство Н. не представляет труда. В более сложных теориях оно обычно сводится к интерпретации в терминах теории множеств. Для сложных теорий, напр. арифметики и самой теории множеств, отыскание подходящей теории, которая сама была бы непротиворечивой и вместе с тем могла бы использоваться для доказательства их Н., представляется задачей скорее всего безнадежной. Это указывает на нетривиальность проблемы Н., ее трудность и глубину.

В реальных, достаточно сложных научных теориях, в том числе в теориях самой логики, могут встречаться противоречия. В связи с этим в последние десятилетия большое внимание привлекают логические системы, в которых из противоречия невыводимо произвольное высказывание. Обнаружение противоречия в опирающейся на такую систему теории не означает, что в ней становится доказуемым все что угодно (см.: Паранепротиворечивая логика).

НЕПРОТИВОРЕЧИЯ ЗАКОН

—логический закон, согласно которому высказывание и его отрицание не могут быть одновременно истинными. Закон говорит о противоречащих друг другу высказываниях, т. е. высказываниях, одно из которых является отрицанием другого. Отсюда иное название закона — законпротиворечия, подчеркивающее, что закон отрицает противоречие, объявляет его ошибкой и тем самым требует непротиворечивости.

Противоречат друг другу, напр., высказывания: «Фобос — спутник Марса» и «Фобос не является спутником Марса», «Кентавры существуют» и «Кентавры не существуют» и т. п. Большинство неверных толкований Н. з. и большая часть попыток оспорить его приложимость если не во всех, то хотя бы в отдельных областях связаны с неправильным пониманием логического отрицания, а значит, и логического противоречия.

Нет, в частности, противоречия в утверждении «Листва опала и не опала», подразумевающем, что некоторые деревья уже сбросили листву, а другие нет, в утверждении «Человек и ребенок, и старик», выражающем идею, что один и тот же человек в начале своей жизни — ребенок, а в конце ее - старик, и т. п.

Введя понятия истины и лжи, Н. з. можно сформулировать так: никакое высказывание не является одновременно истинным и ложным. Истина и ложь - две несовместимые характеристики высказывания. Истинное высказывание соответствует действительности, ложное не соответствует ей. Закон отрицает, что одно и то же высказывание может соответствовать реальному положению вещей и одновременно не соответствовать ему.

Иногда Н. з. формулируют таким образом: из двух противоречащих друг другу высказываний одно является ложным. Эта формулировка подчеркивает опасность, связанную с противоречием. Тот, кто допускает противоречие, вводит в свои рассуждения или в свою теорию заведомо ложное положение, что, разумеется, недопустимо.

С использованием символики логической (р — некоторое высказывание; & — конъюнкция, «и»; ~ — отрицание, «неверно, что») Н. з. выражается формулой:

~(р&~р), неверно, что р и не-р. Напр.: «Неверно, что глина металл и что она не металл», «Неверно, что птицы летают и что они не летают» и т. п.

Логические противоречия — противоречия непоследовательного, путаного рассуждения - принципиально отличны от противоречий диалектических. Н. з. запрещает первые, но он не распространяется на вторые. О диалектике развития и борьбе противоположных сторон, определяющей развитие, нужно рассуждать последовательно и непротиворечиво, как и обо всем другом.