НЕЗАВИСИМОСТЬ (в логике и математике)

— невыводимость предложения некоторой теории из данного множества ее предложений, напр. из системы ее аксиом. Система аксиом называется независимой (неизбыточной), если каждая входящая в нее аксиома невыводима из других аксиом. Если какую-то аксиому можно вывести из остальных, ее можно исключить из списка аксиом, при этом исходная теория не изменится, класс доказуемых в ней предложений останется тем же.

Зависимая система аксиом содержит лишние аксиомы и в этом смысле является менее совершенной, чем независимая.

Требование Н. распространяется и на правилавыводааксиоматической теории. Исходное правило вывода независимо, если оно не может быть получено в качестве производного правила в системе, из которой оно исключено. Можно также сказать, что аксиома или правило вывода независимы, если существует теорема, которая не может быть доказана без этой аксиомы или этого правила вывода.

Н. имеет по преимуществу эстетическую и дидактическую ценность. Исследование Н. способствует, как правило, лучшему пониманию строения изучаемой теории и ее возможностей.

Исторически первым доказательством Н. было доказательство невыводимости пятого постулата Евклида о параллельных из остальных его постулатов.

Требование Н. может быть распространено не только на аксиомы и правила вывода аксиоматических теорий, но и на исходные их термины (понятия). Термин независим, если он неопределим через остальные исходные термины. Теория с неизбыточным исходным словарем не содержит лишних понятий и является в этом отношении более совершенной, чем теория с зависимыми понятиями.

Зависимость некоторой аксиомы от остальных показывается путем вывода ее из них. Н. аксиомы можно доказать, найдя свойство, присущее всем другим аксиомам и не присущее рассматриваемой.

НЕОБХОДИМОСТЬ (логическая)

— одна из модальных характеристик высказывания (наряду с «возможностью», «случайностью» и «независимостью»); необходимым является высказывание, отрицание которого логически невозможно.

Обычно говорят, что высказывание логически необходимо, если его истинность может быть установлена независимо от опыта или на чисто логических основаниях. Н. логическая является, таким образом, более сильным видом истины, чем случайная, или фактическая, истинность. Напр., высказывание «Снег бел» фактически истинно, но для подтверждения его истинности необходимо эмпирическое наблюдение. Высказывания же «Снег есть снег», «Белое — это белое» необходимо истинны: для установления их истинности не нужно обращаться к опыту, достаточно знать значения входящих в них слов.

Нечто необходимо, если оно не может быть иным, чем оно есть. В зависимости от того, на какое основание опирается утверждение о Н., можно выделить три ее вида: логическую Н.,

физическую Н., называемую также онтологической или каузальной, нормативную Н., именуемую также моральной или оценочной. Н. логическая связана с логическим законом: логически необходимо то, что вытекает из законов логики (отрицание чего несовместимо с законами логики). Физически необходимо то, отрицание чего нарушает законы природы. Нормативно необходимым (т. е. обязательным) является то, отрицание чего противоречит законам или нормам, установленным в обществе. Н. логическая уже физической Н.: все логически необходимое является также необходимым физически, но не наоборот. Иначе говоря: законы логики есть и законы природы, но не наоборот. Если, напр., планета вращается, то она вращается, - это следствие закона логики и вместе с тем необходимая истина физики. Но то, что у планет эллиптические орбиты, - закон физики, но не логики: логически возможно, чтобы орбиты планет были круговыми. Физическая Н. не сводится к логической, а нормативная — к физической. Нельзя, скажем, принципы механики свести к законам логики, а принципы этики - к законам биологии.

Н. логическая изучается модальной логикой в связи с понятиями возможности, случайности и др. В число законов, устанавливаемых этой ветвью логики, входят, в частности, утверждения: о из Н. высказывания вытекает его истинность (но не наоборот); о логические следствия необходимого также необходимы; >> высказывание и его отрицание не могут быть вместе необходимыми, и т. п.

Н. логическая может быть определена через возможность логическую: высказывание необходимо, когда его отрицание невозможно. Напр.: «Необходимо, что снег идет или не идет» означает «Невозможно, что снег идет и не идет». В свою очередь возможность определима через Н.: высказывание возможно, когда его отрицание не является необходимым. Скажем, «Возможно, что кадмий металл» означает «Неверно, что необходимо, что кадмий не является металлом». Взаимная определимость Н. и возможности дает право каждое рассуждение о Н. перефразировать в рассуждение о возможности, и наоборот. При построении модальной логики в качестве исходного обычно принимается одно из понятий - «необходимо» или «возможно», второе определяется через него.

Логическая невозможность высказывания определяется как Н. логическая его отрицания. Логическая случайность высказывания означает, что ни оно само, ни его отрицание не являются логически необходимыми.