Цепь при последовательном соединении активного и индуктивного сопротивлений

Расчеты цепей переменного тока проводят не для мгновенных, а для действующих значений токов и напря­жений, которые в дальнейшем будем называть ток и на­пряжение.

Для цепи переменного тока справедливо положение (3). При этом создаваемые током падения напряже­ний U_R = IR и U_l = IXl совместно противодействуют напряжению источника.

Если бы U_R и U_L совпадали по фазе, то U=U_R+Ul = 140 В. Докажем, что они не совпадают по фазе, при помощи векторной диаграммы (рис. 4.21). Построение диаграммы начинаем с вектора тока, так как он одинаков для обоих участков.

К нему пристраиваем век­тор U_R , совпадающий по фазе с током на активном сопро­тивлении (см. рис. 4.10), и вектор U_L, опережающий ток по фазе на 90° на индуктивном сопротивлении (см. рис.4.18). Получаем, что векторы U_R и U_L сдвинуты между
собой по фазе на 90°. Складывая их, находим резуль­
тирующее напряжение цепи:

U=√U²_R+ U² _L (4.9)

В цепи, имеющей, кроме индуктивного, активное сопро­тивление, напряжение опережает ток на угол, значение которого меньше, чем 90°(1).

Из уравнения (4.9) U=√I² R² + √I² X² _L = I√R² + √X² _L = IZ,

где Z – полное сопротивление цепи:

Z = √R ² + X² _L; (4.10)

I=U/Z. (4.11)

Формула (4.11) отражает закон Ома, а (4.10) позво­ляет вычислять полное сопротивление цепи. Разделив стороны треугольника напряжений (выраженные в едини­цах напряжения) (рис. 4.21) на ток, получаем треуголь­ник сопротивлений (рис. 4.22), из которого

R= Z cos φ; X_L = Z sin φ. (4.12)

Активная мощность рассматриваемой цепи P = I²R, реактивная

Ql = I²X_l. Полная мощность цепи S = I²Z.

Умножив стороны треугольника напряжений (выра­женные в единицах напряжения) на ток, получаем тре­угольник мощностей (рис. 4.23), из которого

S = UI, S =√P² + Q²_L ; (4.13)

P = S cosφ = UI cosφ; (4.14)

Q = S sin φ == UI sin φ. (4.15)

За единицу активной мощности принят ватт (Вт), реактивной — вольт-ампер реактивный (вар), полной — вольт-ампер (В • А).

Из формул (4.12), (4.15) можно определить cosφ или sinφ , азатем угол φ, который является углом сдвига фаз между током и напряжением. Этот угол можно также найти из рис.4.21, 4.22, 4.23. Во всех треугольниках он одинаковый, так как треугольники подобные.

ЦЕПЬ ПРИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОМ СОЕДИНЕНИИ

АКТИВНОГО, ИНДУКТИВНОГО И ЕМКОСТНОГО

СОПРОТИВЛЕНИЙ

В цепи (рис. 4.24) создаваемые током падения напря­жений U_R = IR, U_L = IX_L , Uс = 1Х_С противодействуют на­пряжению источника U. Совместное противодействие U_L и Uс называют реактивным напряжением U_p.

Из векторной диаграммы (рис. 4.25), на которой U_L опережает ток, a Uc отстает от тока по фазе на 90°, наглядно видно, что при последовательном соединении индуктивности и емкости напряжения на них находятся в противофазе (1).

Умножив стороны треугольника напряжений (выра­женные в единицах напряжения) на ток, получаем тре­угольник мощностей

(рис. 4.26).из которого Q = Q_L — Q_C и

S= √ P ² + √(Q_L - Q _C ) ² (4.16)

Реактивная мощность цепи равна разности индуктивной и емкостной мощностей (2).

Разделив стороны треугольника напряжений (выра­женные в единицах напряжения) на ток, получаем тре­угольник сопротивлений (рис. 4.27), из которого Х = X_L – X_C

Реактивное сопротивление цепи равно разности индук­тивного и емкостного сопротивлений (3).

Почему же берется не сумма, а разность между реак­тивными сопротивлениями X_L и Xс и мощностями Ql и Qc? Это можно объяснить тем, что между катушкой и кон­денсатором происходит обмен энергиями, при котором мгновенные значения ЭДС самоиндукции e_L катушки (обусловливающей X_L и Ql) и напряжения конденсатора и_C (обусловливающего Х_с и Q_c) в любой момент времени направлены навстречу друг другу (рис. 4.28). Так, в мо­мент, когда конденсатор заряжается (рис. 4.28,а), возрастающее напряжение конденсатора и_С

направлено противоположно току (мешая зарядке), и ток уменьшается (при полной зарядке конденсатора он станет равным нулю). Уменьшение тока вызывает ЭДС самоиндукции е_L в катушке, которая стремится, по закону Ленца, увеличить ток. В результате и_С и е_L направлены навстречу другу и энергия магнитного поля катушки посред­ством ЭДС e_L преобразуется в энергию конденсатора. При разрядке конденсатора все происходит наоборот (рис. 4.28, б): уменьшающееся напряжение конденсатора и_с совпадает по направлению с током, увеличивая его, а возрастающий ток наводит e_Ly направленную, по пра­вилу Ленца, противоположно току. В результате ис и e_L направлены навстречу друг другу и энергия конден­сатора идет на создание магнитного поля катушки.

Если бы в схеме не было емкости, напряжение на катушке было бы равно напряжению источника при

токе I=U/√R² + X²_L.

За счет емкости можно уменьшить реактивное сопро­тивление цепи

X = X_L — Х_с, что увеличит ток, а значит, и падение напряжения

U_L =IX_L. Напряжение на катушке можно увеличить, подключив последовательно с ней кон­денсатор (4). Самое большое напряжение на катушке при X_L=X_C.

В зависимости от соотношения X_L и Х_с возможны три режима работы цепи (рис. 4.29): а) напряжение цепи опережает ток по фазе на

угол φ (который считают положительным) и цепь в целом имеет

имеет активно-индуктивный характер; б) напряжение цепи отстает по фазе от тока на угол φ (который считают отрицательным) и цепь в целом имеет активно-емкостный характер; в) напряжение и ток цепи совпадают по фазе, характер цепи в целом чисто активный. Последний режим цепи называется резонансом напряжений, при котором U_L = U_C, X_L = Хс. Настроить цепь в резонанс напряжений можно путем изменения Х_с или X_L , т. е. изменяя С, L или f.

Реактивное сопротивление цепи при резонансе напряжений

X = X_L — Хс = 0, поэтому ток I_рез =U/ √R² + √(X_L — Х_с)² = U/R максимальный (рис. 4.30).

Так как при резонансе напряжений X_L = Хс, т. е. 2πfL = 1/(2πf С), то частота, при которой наступает резонанс.

Явление резонанса в электрических цепях нашло ши­рокое применение в электротехнике, радиотехнике и элект­ронике. Так, в радиотехнике резонанс — почти единственный путь, позволяющий отделить сигналы

радиостанции от всех остальных сигналов (при помощи резонансного усилителя). Кроме того, используются: резо­нансное реле — в схемах автоматического управления, ре­зонансный мост — при измерениях R, L и С, резонансный трансформатор — в рентгеновских аппаратах и т. д.

Однако при определенных условиях резонансные явления в электрических цепях могут оказаться вред­ными, способными разрушить электроустановку. Так, появление в цепи не предусмотренного расчетами резонанса напряжений приводит, в соответствии с положением (4) данного параграфа, к перенапряжениям в элементах цепи, а отсюда может возникнуть пробой электроизо­ляции установки.