Лекция 3. Решение дифференциальных уравнений Лапласа

Наиболее общим методом расчета электрических полей является непосредственное интегрирование уравнений Лапласа или Пуассона, рассмотренных в предыдущем разделе, при заданных граничных условиях. При таком решении предполагается, что переменные в этих уравнениях можно разделить. В зависимости от симметрии задачи (формы электродов) используются различные системы координат, из которых наиболее часто употребляются три: декартова, цилиндрическая и сферическая системы координат. Обозначения систем координат приведены на рис.1.1. Рассмотрим ряд важных решений, называемых фундаментальными решениями уравнений Лапласа.

1. Рассмотрим бесконечную заряженную плоскость с поверхностной плотностью заряда s. Пусть эта плоскость совпадает с плоскостью yz прямоугольной декартовой системы координат. Заряд распределен по плоскости равномерно, поэтому любой участок плоскости неотличим от другого участка, т.е. пропадает зависимость от координат y и z. Используя вид оператора Лапласа в декартовых координатах (1.30) и учитывая независимость от координат y и z (производные ¶j/¶y=0 и ¶j/¶z=0), получаем уравнение Лапласа и его решение в виде:

, Е = -С₁×i и j = С₁×х+С₂, (2.1)

где С₁ и С₂ – постоянные. Из решений уравнения Лапласа для бесконечной заряженной плоскости (или плоского конденсатора вдали от его краев) (2.1) следует, что напряженность поля (между обкладками) не зависит от расстояния до плоскости (обкладки). Потенциал линейно изменяется по мере удаления от плоскости. Решения уравнения (2.1) называются фундаментальными решениями уравнения Лапласа в однородном поле.

2. Для нахождения параметров электростатического поля для бесконечной тонкой заряженной нити удобно использовать цилиндрическую систему координат. Величина потенциала не изменяется вдоль заряженной нити, т.е. вдоль осевой координаты Z в цилиндрической системе координат. В силу цилиндрической симметрии поля величина потенциала не изменяется и вдоль координаты q. Тогда уравнение Лапласа примет вид:

, , (2.2)

Выражения (2.2) называются фундаментальными решениями уравнения Лапласа в плоскопараллельном поле. Сравнивая эти решения с выражениями для однородного поля, можно заметить, что напряженность убывает линейно по мере удаления от нити, а не остается постоянной. Потенциал возрастает не линейно, как в случае однородного поля, а пропорционально логарифму расстояния. Примерами таких полей являются поля цилиндрического конденсатора, коаксиального кабеля, высоковольтных вводов и т.п.

3. Поле одиночного точечного заряда. Поместим начало координат в точку расположения заряда. Потенциал такого заряда в силу сферической симметрии зависит от расстояния до заряда и не зависит от координат q и j в сферической системе координат, в которой получается наиболее простое решение для этого случая. Уравнение Лапласа и его решение имеют вид:

(2.3)

Выражения (2.3) называются фундаментальными решениями уравнения Лапласа в пространстве.

§2.2. Поле одиночного точечного заряда, проводящего шара.

Сферический конденсатор

Поле точечного заряда

В предыдущем параграфе были получены выражения для потенциала и напряженности поля одиночного точечного заряда. В данном разделе та же задача будет решена с использованием теоремы Остроградского-Гаусса и определены постоянные С₅ и С₆ в выражении (2.3). Расположим начало координат в точке расположения заряда. Опишем сферу радиуса r вокруг заряда и определим поток вектора электрического смещения D через эту поверхность. В силу сферической симметрии задачи вектор D будет иметь только радиальную составляющую, одинаковую во всех точках на поверхности сферы, и при положительном заряде будет направлен наружу вдоль нормали к поверхности сферы. Полный поток Ф будет равен произведению D на площадь поверхности сферы: Ф=D×4pr². По теореме Остроградского-Гаусса полный поток будет равен заряду внутри сферы, т.е. q. Тогда Ф=q= D×4pr²=e₀e Е×4pr², или Е=q/(4pe₀er²), Е=Е×1_r. (2.4).

Линии поля всюду направлены радиально. Сравнивая выражения 2.3 и 2.4 находим, что постоянная С₅= -q/(4pe₀e), а потенциал примет вид:

(2.5)

Постоянная С₆ зависит от выбора граничных условий. Например, если считать потенциал равным нулю в бесконечности (r=¥), то С₆=0. Однако часто оказывается полезным считать равным нулю потенциал не в бесконечности, а на сфере какого-либо радиуса r = r₀. Тогда С₆= -q/(4pe₀er₀), а потенциал

(2.6)

Из уравнения (2.6) следует, что при r=const потенциал будет постоянным. Эквипотенциальными поверхностями являются сферы (рис2.1). Этот же результат получается из соображений симметрии. При построении графической картины электрического поля придерживаются следующего правила – эквипотенциальные поверхности должны отличаться на одну и ту же величину потенциала. Из этого правила следует, что при изображении поля точечного заряда радиусы эквипотенциальных поверхностей должны удовлетворять следующему условию:

const

Пусть, например, мы хотим изобразить картину поля с шагом между эквипотенциалями в 20%, т.е. d=0.2, а радиус r₀=1, тогда r_n=r₀/(1-n×d×r₀); r₂=1.25, r₄=1.67, r₆=2.5 и т.д. Изображение поля точечного заряда, выполненное по этому правилу, приведено на рис.2.1. Из такой картины поля можно заключить, что при приближении к центру рисунка напряженность поля возрастает, поскольку расстояние между эквипотенциалями уменьшается, а напряженность равна -grad(j)=Dj/Dr, т.е. чем меньше расстояние между эквипотенциальными поверхностями, тем меньше знаменатель и, соответственно, больше напряженность. С другой стороны, чем меньше радиус сферы, тем меньше ее площадь, т.е. число силовых линий, приходящихся на единицу поверхности, становится больше. При графическом изображении картины электрического поля придерживаются также второго правила: число силовых линий, проходящих через единицу поверхности рисунка (плотность линий поля), должно быть пропорционально напряженности поля в данной области поля, а коэффициент пропорциональности не должен меняться в пределах одного чертежа.

Поле заряженного проводящего шара

В §1.11 было показано, что поле внутри проводника равно нулю, как в самой проводящей среде, так и в любой возможной диэлектрической полости внутри проводника. Поле вне шара создается зарядами, расположенными на поверхности шара. В § 1.9 была доказана теорема о единственности, исходя из которой можно массивный металлический шар заменить на тонкий сферический лист металла того же радиуса, а его, в свою очередь, на эквипотенциальную поверхность каких либо зарядов внутри шара. Для получения сферической эквипотенциальной поверхности достаточно в центре массивного металлического шара расположить точечный заряд. Тогда картина поля, создаваемого уединенным металлическим шаром, ничем не будет отличаться от поля, создаваемого точечным зарядом (рис.2.1). Согласно теореме о единственности для получения параметров поля заряженного проводящего шара можно использовать формулы точечного заряда (2.4 – 2.6) и считать, что весь заряд шара сосредоточен в его центре. Такой подход может быть использован для одиночного уединенного шара, когда вблизи него нет никаких других зарядов или металлических тел.

Сферический конденсатор

Если заменить поверхности равного потенциала рис.2.1. тонкими металлическими поверхностями, например, с радиусом r₀ и r₆, то мы получим электродную систему называемую сферическим конденсатором. На каждой из обкладок такого конденсатора расположен заряд, равный по величине заряду в центре шара, а знак заряда на его наружной обкладке противоположен центральному. Разность потенциалов между обкладками такого конденсатора определяется по формуле (2.5):

,

где r_внутр и r_нар – соответственно радиусы внутренней и наружной обкладки конденсатора. Емкость сферического конденсатора равна:

(2.7)

Размерность емкости кулон/вольт. Эта единица называется фарадой. Пусть наружный радиус бесконечно большой (r_нар=¥). Тогда из (2.7) следует формула для емкости одиночного шара:

(2.8)

По формуле (2.8) можно определить емкость земного шара, для которого r=6.4×10⁶ м: С»0.67×10^-3 ф = 670 мкф.