Поле двух проводящих шаров

Электродная система, состоящая из двух шаров одинаковых размеров, широко применяется в технике высоких напряжений для измерения высокого напряжения, коммутации цепей и т.п. Задача о параметрах поля такой системы может быть решена различными способами. В этом параграфе продемонстрируем решение методом изображений в сочетании с методом суперпозиции. Пусть радиусы шаров одинаковы и равны R. Система имеет ось симметрии С_¥ и задача сводится к нахождению параметров поля в плоскости, содержащей ось симметрии. Обозначим расстояние между центрами шаров символом L, а отношение L/R символом K (K=L/R). Пусть один из шаров, например шар А, имеет потенциал j > 0, а другой (шар В) заземлен (j = 0).

1. Поместим в центр шара А (точка А₁) заряд q₁. Благодаря этому на поверхности шаров А и В установятся потенциалы j_А и j_В соответственно:

,

2. Поместим внутрь шара В (точка В₂) заряд q₂ = -q₁/K, являющийся изображением заряда q₁ в поверхности шара В. Расстояние от точки В₂ до центра шара В (точка В₀)определяется по формуле (2.52): х₀₂ = R²/L=R/K. Потенциал j_В при этом становится равным нулю, а потенциал j_А равен:

3. Поместим внутрь шара А (точка А₃) заряд q₃ = -q₂R/(L-x₀₂)=q₁/(K²-1), являющийся изображением заряда q₁ в поверхности шара В. Расстояние от точки А₃ до центра шара А равно: х₁₃ = R²/(L-х₀₂)=R×К/(K²-1)=L/(K²-1). Потенциал j_А приобретает при этом своё первоначальное значение, а потенциал j_B становится равным:

,

При измерениях напряжений шаровыми разрядниками величина К изменяется в пределах от 2,1 до 3,5 Если обозначить расстояние между ближайшими точками шаров А и В символом S (S=L-2R), то это изменение К соответствует изменению отношения S/2R = 0,05¸0,75. Шаг 3 повторяет в некоторой степени шаг 1. Однако, заряд q₃ меньше заряда q₁ в К²-1 раз (в 5.76¸11.25 раза).

4. Чтобы сделать потенциал шара В равным нулю в него следует поместить заряд–изображение q₄= -q₃×R/(L-x₁₃)= -q₁/(K(K²-2)). Расстояние

Потенциал j_А приобретает при этом значение:

5. Для компенсации возросшего потенциала j_А внутрь шара А помещают заряд q₅, являющийся изображением заряда q₄, и т.д. Получающийся ряд достаточно быстро сходится.

Потенциал и напряженность в произвольной точке поля находится методом суперпозиции полученных зарядов q_i. Наибольшая напряженность поля получается в точке Р, которая является ближайшей точкой заряженного

шара к шару не заряженному. Напряженность поля в этой точке может быть определена по следующей приближенной формуле (по Пику) [1]:

(2.66)

Подробные расчеты электростатического поля двух заряженных проводящих шаров приводятся в [7,8]. Более точные результаты могут быть получены по нижеприведенным формулам. Частичные ёмкости (см. §2.9):

(2.67)

, (2.68)

где (2.69)

Коэффициенты для расчета максимальной напряженности:

(2.70)

(2.71)

Используя формулы (2.67) – (2.71) можно определить С - ёмкость системы двух шаров и Е_мах - максимальную напряженность.

1. Один из шаров заземлен (j_А=U; j_B=0)

; (2.72)

2. Потенциалы равны по величине и противоположны по знаку (j_А = U/2; j_B = -U/2)

; (2.73)