Методические указания к выполнению работы

1. Топологический анализ схемы электрической цепи. Прежде чем приступать к расчетам, необходимо определить количество узлов в схеме, число ветвей и показать условно-положительные направления токов в ветвях расчетной схемы, а также указать условно-положительные направления напряжений на всех элементах электрической цепи.

Положительные направления токов в ветвях изображают стрелками произвольного направления, однако предпочтительнее выбирать направления токов в соответствии с направлением ЭДС, действующими в данных ветвях. Тогда при составлении уравнения энергетического баланса формально можно считать, что все источники ЭДС работают в генераторном режиме.

Рассмотрим на примере схемы рис. 1.2.

Решение. Схема имеет четыре узла (они пронумерованы синим цветом на рис. 1.2), шесть ветвей. Произвольно выберем положительное направление токов во всех ветвях схемы, как показано на схеме рис. 1.2 красными стрелками. В пяти ветвях токи неизвестны (в=5), а ток шестой ветви (с источником тока J) известен и равен току источника .

2. Анализ схемы электрической цепи методом законов Кирхгофа. Общее число уравнений, записанных на основании законов Кирхгофа равно числу неизвестных токов, т.е. числу ветвей с неизвестными токами.

Решение. Для схемы рис. 1.2 для определения пяти неизвестных токов составляем по законам Кирхгофа систему из пяти уравнений, необходимую для определения токов в ветвях схемы.

Первый закон Кирхгофа вытекает из принципа непрерывности электрического тока, согласно которому ни в одной точке электрической цепи заряды не исчезают и не возникают: сколько зарядов к этой точке прибывает, сколько от нее и уходит. Второй закон Кирхгофа применяется к контурам электрической цепи.

Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма токов в узле равна нулю:

.

При записи все токи, подходящие к узлу, можно считать отрицательными, а уходящие от узла - положительными.

Второй закон Кирхгофа: в любом замкнутом контуре алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме напряжений на пассивных элементах, входящих в этот контур:

В этом уравнении положительные знаки принимаются для токов и ЭДС, положительные направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода рассматриваемого контура.

Решение. Для схемы рис. 1.2 по первому закону Кирхгофа составляем три уравнения, то есть на одно уравнение меньше, чем количество узлов в схеме:

для узла 1:

для узла 2:

для узла 3:

Недостающие два уравнения составляем по второму закону Кирхгофа. Выбираем два независимых контура: на схеме рис. 1.2 первый контур показан синим цветом, второй - зеленым. Ветвь с источником тока ни в один из контуров включать не надо, токи источников тока учитываются только при записи первого закона Кирхгофа:

для контура I: ;

для контура II:

Система уравнений имеет вид:

Запишем систему уравнений в матричной форме:

Решив составленную систему уравнений, найходим значения токов в ветвях схемы.

3. Определение токов в ветвях электрической цепи методом контурных токов. Схема представлена на рис. 1.3.

Исходные данные: Е₁=30 В, Е₂=50 В, Е₃=20 В, J=0,2 А, R₁=120 Ом, R₂=150 Ом, R₄=100 Ом, R₅=200 Ом, R₆=100 Ом.

Решение. Одна из ветвей схемы содержит идеальный источник тока J. Выберем контурные токи таким образом, чтобы по ветви с источником тока протекал только один контурный ток, который в этом случае будет равен току источника (он показан фиолетовым цветом на схеме рис. 1.3). Неизвестные токи первого и второго контуров схемы рис. 1.3 изображены соответственно синим и зеленым цветами.

Система уравнений для определения двух неизвестных контурных токов будет иметь вид:

или с учетом того, что

где собственные сопротивления контуров:

сопротивления смежных ветвей между контурами:

;

контурные ЭДС:

Примечание: при записи результатов вычислений токов необходимо оставлять три знака после запятой, для проводимостей – шесть знаков после запятой, для остальных величин – достаточно оставить два знака после запятой.

Записываем систему уравнений в матричной форме

.

Подставим числовые значения:

.

Вычисляем главный и дополнительные определители системы уравнений:

Контурные токи будут равны:

Значения токов ветвей находим, как алгебраическую сумму контурных токов.

Контурные токи, направление которых совпадает по направлению с искомым током, берем со знаком «плюс», а которых не совпадает – со знаком «минус» (рис. 1.3):

;

;

;

.

Если значение тока получилось отрицательным, это означает, что на исходной схеме условно-положительное направление тока выбрано неверно.

4. Определение токов ветвей схемы методом узловых потенциалов. В методе узловых потенциалов в качестве неизвестных выступают потенциалы узлов. Их величины определяют относительно опорного узла, потенциал которого принимают равным нулю.

Решение. В рассматриваемой схеме (рис. 1.4) ветвь, включенная между первым и четвертым узлами, содержит только идеальный источник ЭДС. Разность потенциалов на зажимах этой ветви равна Е₃. Рассмотрим в качестве опорного узла первый узел и примем его потенциал равным нулю (φ₁=0). Тогда потенциал четвертого узла φ₄=Е₃ и в качестве неизвестных остаются потенциалы φ₂ и φ₃.

Записываем в общем виде систему уравнений для вычисления потенциалов второго и третьего узлов:

Учитывая, что φ₄=Е₃ система уравнений примет вид:

где сумма проводимостей ветвей, сходящихся во втором и третьем узлах:

;

;

сумма проводимостей ветвей, непосредственно соединяющих два соседних узла:

; ; .

Узловые токи:

Записываем систему уравнений в матричной форме:

Подставляем числовые значения в полученную систему уравнений:

.

Вычисляем главный и дополнительные определители системы уравнений:

Потенциалы узлов будут равны:

По закону Ома рассчитаем токи ветвей (рис. 1.4):

Ток третьей ветви определим, составив уравнение по первому закону Кирхгофа для первого узла:

5. Сравним результаты расчетов методами контурных токов и узловых потенциалов, для этого значения токов, рассчитанных двумя методами сведем в табл.1.2.

Таблица 1.2

Метод расчета	, А	, А	, А	, А	, А
Метод контурных токов	0,089	-0,111	0,230	-0,141	-0,03
Метод узловых потенциалов	0,09	-0,111	0,230	-0,140	-0,03

Как видно из табл. 1.2, значения токов с допустимой погрешностью получились одинаковыми.

6. Расчет мощности источников и приемников электрической энергии в схеме. Проверка выполнения баланса мощностей.

Уравнение энергетического баланса: суммарные мощности источников и приемников равны.

Примечание: при записи баланса необходимо учитывать режимы работы источников энергии.

Допускаемая погрешность энергетического баланса δ≤3%

.

Если погрешность превышает 3%, то в расчетах допущена ошибка, которую необходимо отыскать и устранить, повторив расчет.

Уравнение баланса мощностей имеет вид

,

где мощность источника ЭДС: ;

мощность источника тока: ;

мощность, рассеиваемая в резисторе: .

Решение. Для рассматриваемой схемы цепи (рис. 1.2) определяем суммарную мощность источников:

где мощность источника ЭДС Е₂ берем со знаком «-», так как выбранное направление тока ветви I₂ и направление эдс Е₂ не совпадают, то есть источник работает в режиме приемника;

напряжение источника тока определяем как:

Сумма мощностей приемников:

Баланс мощностей выполняется с большой степенью точности

; 8,97 Вт ≈ 8,95 Вт.

7. Определение тока в одной из ветвей схемы цепи методом эквивалентного генератора.

Решение. Для расчета тока в первой ветви схемы цепи рис. 1.2 приводим рассматриваемую схему к виду рис. 1.5.

Определяем параметры активного двухполюсника.

а) ЭДС эквивалентного двухполюсника определяем, как напряжение холостого хода на разомкнутых зажимах первого резистора U_abхх (стрелка зеленого цвета на рис. 1.5).

Для этого рассчитываем токи холостого хода в ветвях полученной схемы методом контурных токов. Контурный ток I_22х равен току источника J (стрелка фиолетового цвета на рис. 1.5). Поэтому для расчета контурного тока I_11х (стрелка зеленого цвета на рис. 1.5) составляем одно уравнение по МКТ, которое имеет вид

или при условии I_22х= J уравнение примет вид

, где

R₁₁=R₄+R₅=100+200=300, Ом;

R₁₂= - R₅= - 200, Ом;

Е₁₁=Е₃= 20, В.

Подставив числовые значения, находим ток первого контура:

.

Напряжение между зажимами ab рассчитываем, составив уравнение по второму закону Кирхгофа

,

тогда .

Подставляем числовые значения

.

ЭДС эквивалентного генератора

.

б) Внутреннее сопротивление эквивалентного генератора определяем, как входное сопротивление пассивной части схемы относительно разомкнутых зажимов ab (рис. 1.6).

Пассивный двухполюсник получаем, исключив из рассматриваемой схемы цепи (рис. 1.5) все источники электрической энергии, но оставив их внутренние сопротивления. При этом необходимо помнить, что внутреннее сопротивление идеального источника ЭДС равно нулю (короткозамкнутый участок синего цвета на рис. 1.6), а идеального источника тока – бесконечности (разомкнутый участок на рис. 1.6). Полученная схема пассивного двухполюсника представлена на рис. 1.6.

Входное сопротивление

Ом.

Ом

Искомый ток первой ветви

.

Как видно из табл. 1.2, значения тока I₁ с допустимой погрешностью получились одинаковыми.