Рассчитываются искомые величины в установившемся режиме

Расчет производится для послекоммутационной цепи после размыкания ключа Кл1 по окончании переходного процесса. Схема послекоммутационной цепи приведена на рис.3.

Рис.3

Снова, принимая во внимание, что при расчете цепи постоянного токаиндуктивность можно заменить перемычкой, а емкость - разрывом, получим

i_2y=Е/(R₂+R₃) = 100/(50+50)=1 А.

3. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНОГО РЕЖИМА.

Расчет производится для послекоммутационной схемы (рис. 3) с учетом независимых начальных условий.

3.1. Записываем искомую величину в переходном режиме в виде суммы установившейся и свободной составляющих, которые соответственно являются частным решением неоднородного дифференциального уравнения и общего решения однородного дифференциального уравнения для искомой величины; i₂=i_2у+i_св=1+i_2св

3.2. Определяем вид свободной составляющей

Вид свободной

cоставляющей определяется корнями характеристического уравнения, описывающего искомую величину.

Составим и решим
характеристическое
уравнение, для чего наиболее
удобно использовать метод
Z_вх(р)=0, где Z_вх(р) -
операторное входное

сопротивление, определенное для схемы свободных токов.

Построив схему свободных токов (рис. 4) иразомкнув какую либо ветвь (например, ветвь 1), найдем входное сопротивление Z_вх{р) относительно полюсов разрыва и приравняем его нулю. Удобнее размыкать ветвь, содержащую емкость. На схеме рис 4 емкости соответствует операторноесопротивление 1/рС, а индуктивности - операторное сопротивление pL.

Характеристическое уравнение получим, приравняв нулю числитель выражения для Z_вх(р):

.

Подставив в это уравнение числовые значения (R в Омах, С в Фарадах, L в Генри), получаем:

33,28-10^-6р² + 1333∙10^-3 р + 100=0.

Корни характеристического уравнения:

p₁= -1000 с^-1, р₂=-3000с^-1.

Заметим, что значения корней всегда должны быть отрицательными. Так как получены действительные и различные корни, то

i₁=1+A₁e^p1t + A₂e^p2t , (1)

где А₁ и А₂ - постоянные интегрирования, которые необходимо найти, используя независимые начальные условия u_с(0-) и i_з(0-).

3.3. Определение постоянных интегрирования.

Для определения постоянных интегрирования необходимо иметь столько уравнений, сколько корней у характеристического уравнения.Так как в рассматриваемом примере корней два. то необходимо иметь систему двух уравнений, где неизвестными являются постоянные интегрирования А₁ и А₂. Недостающие уравнения получают последовательным дифференцированием по времени уравнения, полученного для искомой величины:

i₂′=p₁A₁e^p1t+p₂A₂e^p2t . (2)

Подставив в уравнения (1) и (2) t=0, получим

(3)

Подставив в систему уравнений (3) значения р₁=-1000 с^-1 и

р₂ = -3000 c^-1 получим

(4)

Чтобы найти значения искомой величины и ее производных при t=0, необходимо составить систему уравнений Кирхгофа, для послекоммутационной цепи, затем последовательно ее продифференцировать по времени столько раз, сколько постоянных интегрирования минус 1 и подставить в полученные системы уравнений t=0.

В рассмотренном примере систему уравнений Кирхгофа необходимо дифференцировать один раз, так как постоянных интегрирования две. Выбрав направление обхода контуров цепи рис. 3, получим:

(5)

Подставляем в (5) момент времени t=0

(6)

Подставляем в (6) числовые значения сопротивлений, ЭДС и величины u_c(0)= u_c(0-)=25В, i₃(0)=i_з(0-)=0,5А, полученные с использованием законов коммутации :

(7)

Решив систему (8), находим:

i₁(0) = 0,333 А, i₂ (0) = 0,833A, и_L(0) = 33,35. (8)

С учетом известных соотношений и можно

определить u^’_с и i^’₃ при t=0, которые будут использованы в дальнейших расчетах :

, (0)/C=0.333/8.6∙10^-6=38720 В/с;

/L; i₃^’(0)=u_L(0)/L=33.35/25.8∙10^-3=1292 А/с.

Далее подставляем в (6) момент времени t=0:

(9)

Подставляем в (9) числовые значения сопротивлений и величины

u_с'(0) = 38720 В/с, i₃(0)= 1292 А/с:

(10)

(10.1)

Решив систему (10), находим требуемую величину i'₂(0)=603А/с. Подставляем найденные i₂(0)=0,833 А и i'₂(0)=603 А/с в систему уравнений (4) и находим постоянные интегрирования А₁ и А₂ :

А₁ =0,051; А₂ = -0,218.

Следовательно, решение задачи будет иметь вид:

(11)

Следует заметить, что процесс решения задачи сокращается, если необходимо определить переходные ток в индуктивности или напряжение на конденсаторе. В этом случае систему уравнений Кирхгофа не придется дифференцировать. Напряжение на сопротивлении следует искать как произведение R∙i, определив для этого ток i, который по нему протекает.

ПРИМЕР 2

В задаче примера 1 найти напряжение u_L если R₁ = 0.

1.РАСЧЕТ ДОКОММУТАЦИОННОГО РЕЖИМА.

Так как в этом режиме ток i₁(0-)=0, величина сопротивления R₁ не влияет на u_с(0-) и i₃(0-) и они будут иметь те же значения, что и в примере 1, то есть u_с(0-)^:=25 В; i₃(0-)=0,5 А.

2.РАСЧЕТ УСТАНОВИВШЕГОСЯ РЕЖИМА.

Так как в цепи действует источник постоянной ЭДС, то u_Ly= 0.

3.РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНОГО РЕЖИМА.

u_L=u_Ly+u_Lсв=0+ u_Lсв = u_Lсв.

Подставив значение R₁ = 0 в характеристическое уравнение,

составленное в примере 1, получим

LCR₂р²+(СR₂R₃+L)р+R₂+Rз = 0.

Подставив в это уравнение числовые значения, получаем

25.8∙10^-3∙8.6∙10^-6∙50p²+(8.6∙10^-6∙50∙50+25.8∙10^-3)p+50+50=0,

11.094∙10^-6p²+47.3∙10^-3p+100=0.

Корни этого характеристического уравнения равны

При комплексно сопряженных корнях решение и его производная имеют вид:

(12)

(13)

В уравнении (12) А и являются постоянными интегрирования. Подставив в уравнение (12)и(13) 1=0 , получим

(14)

Для определения u_L(0) и u_L’(0) аналогично примеру 1 составим систему уравнений Кирхгофа, а затем продифференцируем ее по времени:

(15)

(16)

Подставляем в (15) момент времени t=0:

(17)

Подставляем в (17) числовые значения сопротивлений, ЭДС и величины u_с(0)=25В, i₃(0)=0,5, полученные с использованием законов коммутации:

(18)

Решив систему (18), находим: i₂(0)=1,5 А, i₁(0)=1 А, u_L(0)=0.

С учетом соотношений u'_с (0) = и i'₃ (0) = находим:

ar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></wx:sect></w:body></w:wordDocument>"> ,

=0/25.8∙10^-3=0 A/c.

Далее подставляем в (16) момент времени t=0:

(19)

Решив систему (19), находим требуемую величину u_L'(0)=116279 В/с. Подставив найденные u_L′(0)=0 и u_L′(0)=116279в систему уравнений (14), находим постоянные интегрирования А и α

(20)

α=0; А=55.

Решение задачи имеет вид:

(21)

Полученное решение для напряжения u_L представляет собой затухающую синусоиду.

ПРИМЕР 3

В задаче примера 1 найти ток i₁, если e=141∙sin(1000t+30°) В, размыкание ключа Кл1 происходит в момент времени t=0.

1. РАСЧЁТ ДОКОММУТАЦИОННОГО РЕЖИМА

Расчёт цепи рис. 2 произведём с применением комплексного метода. Применим метод двух узлов:

X_L=ωL=1000∙25.5∙0.001=25,8 Ом,

Xc=1/ωC=1/(100∙8.6∙10^-6)=116 Ом.

Рассчитаем комплексные сопротивления и проводимости всех ветвей цепи

рис.2.

Ом

Ом.

См;

В

Мгновенные значения u_c(0-) и i₃(0-) равны:

u_c(0-)=25∙√2∙sin(1000t-8˚) B,

i₃(0-)=0,59∙√2∙sin(1000t+6˚)A.

Получаем независимые начальные условия:

U_c(0)=25∙√2∙sin(-8˚)= -5 B,

I₃(0)=0,59∙√2∙sin6˚=0,09 A.

2. РАСЧЕТ УСТАНОВИВШЕГОСЯ РЕЖИМА.

Расчет цепи рис.3 произведем с помощью комплексного метода по аналогии с расчетом докоммутационного режима.

i_1y=0,327∙√2∙sin(1000t+83˚)=0,46∙sin(1000t+83˚)A.

3. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНОГО РЕЖИМА.

i₁ =i_1y+i_1cв =0,46∙sin(1000t+83˚) +i_1cв

Характеристическое уравнение и его корни получаются такими же, как и в примере №1, так как в схему для свободных токов источник ЭДС не входит: p₁=-1000c^-1, р₂=-3000c^-1.

Подставив в эту систему уравнений t=0, получим:

(22)

Определяем постоянные интегрирования А₁ и А₂. Составляем систему уравнений по законам Кирхгофа для цепи рис.3

(23)

Подставляем в (23) момент времени t=0:

(24)

e(0)=141∙sin30˚=70,5B, u_c(0)=-5B, i₃(0)=0,09 A:

(25)

Решив систему (25), находим: i₁(0)=0,47A,

i₂(0)=0,56А; u_L(0)=42,5B.

Продифференцируем по времени систему уравнений (23):

(26)

Подставляем в систему уравнений (26) момент времени t=0, числовые значения сопротивлений,

(27)

Решив систему (27), находим .

Подставляем полученные значения в систему уравнений (22):

(28’)

(28)

Решив систему уравнений (28), находим:

А₁= -0,0585; А₂=0,0715.

Решение задачи имеет вид:

Следует заметить, что при действии в цепи источника синусоидальной ЭДС переходный процесс существенно зависит от момента коммутации.

ПРИМЕР 4.

Альтернативой классическому методу расчёта переходных процессов является операторный метод. Рассмотрим порядок расчёта этим методом для электрической цепи и исходных данных, приведенных ранее в примере 1.

1.Составим операторную схему замещения (рис.5), включающую в себя внутренние ЭДС, которые учитывают независимые начальные условия и , определенные при расчёте докомутационного режима в примере 1.

Рис.5

С помощью этой схемы запишем уравнения цепи, воспользовавшись любым известным методом. Например, уравнения контурных токов I_A(p) и I_B(р) для схемы рис.5, в которые в явном виде входит ток I₂(p), имеют следующий вид:

Здесь

2. Решаем уравнения для I₂(p). Предварительно их можно упростить. Вычтем уравнение (30) из (29) и умножим уравнения на pС или p.

Получим:

Применим способ определителей:

3. Применим теорему разложения в форме:

Корни многочлена F₂(p) были найдены ранее в примере 1:

P₁=-1000 c^-1; p₂=-3000 c^-1

Подставим в выражение (37) значение p, равные корням p₁ и p₂:

;

Подставим значения p₁ и p₂ в выражение (36), вычислим:

;

Подставим в выражение (34) p=0, получим

Из выражения (33) видно, что F₂ (0) = R₂ + R₃ =100 Ом.

Подстановка вычисленных величин в выражение (36) приводит к следующему результату:

Выражение (12) и (38) для тока i₂ полностью совпадают, что является подтверждением правильности полученных результатов

Сравнение трудоёмкости применения классического и операторного методов расчёта переходных процессов позволяет сделать выбор в пользу того или иного метода.

Ниже приводится несколько примеров, позволяющих закрепить полученную информацию.

Библиографический список:

1. Основы теории цепей. Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов.- М.: Энергия, 1985.- 752 с.

2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи, Iч.-М.: Высш. Школа,1984.-558с.