Расчёт простой электрической цепи

Необходимо определить ток в цепи источника Е₁, когда все остальные

источники закорочены:

Для этого воспользуемся формулами последовательного и параллельного соединения элементов и вычислим эквивалентное комплексное сопротивление Z_э. Значение тока определим в цепи по формуле: İ=Ė/Z₀=I·e ^jφ и выразим во временной форме, т.е.

i(t)=I_m·cos(ω·t+φ)

Получили следующие значения:

Ż_c = -4.759j*10³ [Ом]

Ż₁=R+Z_c=660-4762j=4808*е ^j*(-82,1) [Ом]

Ż₂= (Z₁·Z_c)/(Z₁+Z_c)=164,211-2392*j=2398*e ^j*(-86,07) [Ом]

Ż э=(Z₂·Z_c)/(Z₂+Z_c)=72,72-1594*j=1596*e ^j*(-87,38) [Ом]

Ż₀=Z_э+R=732,72-1594*j=1754*e ^j*(-65,31) [Ом]

İ= Ė₁ / Ż₀=2,528·10^-3+0,011*j=0,011*e ^j*92,91[А]

I_m=| İ |· =0.015 [А]

i(t)= 0.015·cos(276320·t+77,49) [А]

U_R=I·R=1,668+7,26*j=7,26*e ^j*92,91[В]

U_zэ=I·Z_э=1,116+17,52*j=17,556*e ^j*5,53[В]

Построим векторную диаграмму:

4. Составление системы уравнений для расчёта токов и напряжений.

Для этого составим систему уравнений по методу контурных токов:

Составим граф электрической схемы, чтобы выбрать независимые контуры и зададим контурные токи:

I₁ I₂ I₃

Для данных контуров составим систему уравнений по второму закону Кирхгофа с учётом совместного влияния одного контура на другой. Направления обхода во всех контурах выбираются одинаковыми.

Расчёт токов и напряжений в сложной электрической цепи методом Крамера

Для расчёта электрической схемы составим систему уравнений по методу контурных токов:

По системе уравнений составим матрицу сопротивлений Z, т. е. впишем соответствующие коэффициенты при токах I₁, I₂, I₃:

Токи в контурах определим по формуле Крамера: İ_n= (n=1,2,3….), где D – главный определитель матрицы сопротивлений Z, а D_n – определитель, полученный из D при замене элементов его k-го столбца соответствующими правыми частями уравнений. Правая часть уравнений – матрица-столбец, составленная из свободных членов:

E=

Главный определитель матрицы равен:

D= =

Найдем определители D₁, D₂, D₃:

D₁= = 3,946*10⁸-j*2,46*10⁸

D₂= =3,215*10⁷+j*8,74*10⁷

D₃= =6,627*10⁷+j*1,421*10⁸

Контурные токи будут равны:

İ₁= =-3,427*10^-3-j*1,829*10^-3=3.885*10^-3*e ^j*(-28,1) [А]

İ₂= =4,983*10^-4-j*5,974*10^-4=7,779*10^-4*e ^j*(-50,1) [A]

İ₃= =0,7518*10^-3-j*1,073*10^-3=1,31*10^-3*e ^j*(-54,9) [A]

Рассчитаем токи, проходящие через элементы цепи:

-3,427*10^-3-j*1,829*10^-3=3.885*10^-3*e ^j*(-28,1) [А]

I_R2=I₂=4,983*10^-4-j*5,974*10^-4=7,779*10^-4*e ^j*(-50,1) [A]

0,7518*10^-3-j*1,073*10^-3=1,31*10^-3*e ^j*(-54,9) [A]

-4,593*10^-3-j*0,802*10^-3=4,662*10^-3*e ^j*9,92 [A]

0,8692*10^-3-j*1,178*10^-3=1,464*10^-3*e ^j*(-53,57) [A]

Падения напряжений на элементах будут следующими:

-2,53-0,419*j=2.564*e ^j*(-28,1) [B]

0.506+0,085*j=0.513*e ^j*(50,1) [B]

-3,817+21,858*j=22,189*e ^j*(-80,09) [B]

-5,606-4,137*j=6,967*e ^j*36,42 [B]

-5,106-3,578*j=6,235*e ^j*35,03 [B]

Расчёт токов и напряжений в сложной электрической цепи методом обращения матрицы.

Для расчёта токов методом контурных токов, необходимо составить систему уравнений. Воспользуемся системой уравнений, составленной в предыдущем пункте:

Для нахождения токов I₁, I₂, I₃ решим систему уравнений методом обращения матрицы.

, где Z_n^-1 -- обратная матрица сопротивлений схемы:

-4.175*10^-12-7.238j*10^-12

Ē_n=

Отсюда матрица токов будет равна:

I =

Токи, проходящие через элементы, будут следующими:

2,045*10^-3-j*2,08*10^-3=2,917*10^-3*e ^j*(-45,49) [A]

5,101*10^-3-j*2,961*10^-3=5,898*10^-3*e ^j*(30,136) [A]

5.715*10^-3-j*2,092*10^-3=6,086*10^-3*e ^j*(-20,107) [A]

-3,056*10^-3+j*8,806*10^-4=3,181*10^-3*e ^j*163,927 [A]

-6,143*10^-4-j*8,688*10^-4=1,064*10^-3*e ^j*(-125,266) [A]

Падения напряжений на элементах будут следующими:

1,104-j*1,123=1,575*e ^j*(-45,499) [B]

2.754-j*1,599=3,185*e ^j(-30,136) [B]

3.086-j*1,13=3,286*e ^j*(-20,107) [B]

3,91+j*13,572=14,124*e ^j*73,927 [B]

-3,858+j*2,728=4,725*e ^j*144,734 [B]

Определение достоверности значения токов на основе закона Кирхгофа.

Выберем узел (1) и составим для него уравнение на основе 1 закона Кирхгофа (алгебраическая сумма токов в узле схемы равна 0)