Анализ динамических свойств нелинейной системы методом гармонического баланса

Задание: провести методом гармонического баланса анализ динамических свойств системы при наличии в исполнительном устройстве нелинейности типа зоны насыщения. Определить условия возникновения и параметры возможных периодических решений, проверить выполнение гипотезы фильтра и определить устойчивость периодических решений.

Структурная схема нелинейной системы:

Рис.7.1 – Структурная схема нелинейной системы.

Характеристика нелинейности типа зоны насыщения имеет вид:

Рис.7.2 – График нелинейности типа зоны насыщения.

Значения α=30̊ и b=4 заданы (табл.1).

Пусть дано какое-нибудь нелинейное выражение вида:

(7.1)

и задано

(7.2)

Тогда

(7.3)

Разложив функцию в правой части выражения (7.1) в ряд Фурье, получу

(7.4)

Положим

(7.5)

что означает отсутствие постоянной составляющей в данном разложении.

Если принять во внимание, что из (7.2) и (7.3)

и ,

то формулу (7.4) при условии (7.5) можно записать в виде

(7.6)

где и - коэффициенты гармонической линеаризации, определяемые формулами [2]:

	(7.6)

Итак, нелинейное выражение (7.1) при x = Asinωt заменяется выражением (7.6), которое с точностью до высших гармоник аналогично линейному. Эта операция и называется гармонической линеаризацией.

Если кривая F(x) не имеет гистерезисной петли, то . В данной работе рассматривается именно такой случай.

Тогда формула (7.6) примет вид:

Для частного случая – звено с насыщением без зоны нечувствительности (рис.7.2), формула для определения коэффициента гармонической линеаризации q будет иметь вид:

, при A > b.	(7.7)
,	(7.8)

где k = tgα.

При амплитудах колебания входной величины, захватывающих зону насыщения, данное звено заменяется как бы линейным звеном с тем меньшим коэффициентом передачи q(A), чем больше амплитуда.

Приближенная передаточная функция нелинейного элемента W_NE(A) будет иметь вид:

Для существования в системе колебаний с амплитудой A на входе нелинейного звена необходимо, чтобы линеаризованная система, частотная передаточная функция которой в разомкнутом состоянии равна W_лч(iω)q(A), находилась на границе устойчивости. В этом случае, согласно критерию Найквиста, амплитудно-частотная характеристика должна проходить через точку с координатами (-1,i0). Соответствующие значения амплитуды и частоты в этом случае определяют параметры периодических решений.

Следовательно, чтобы их найти, требуется решить графически уравнение вида:

.

Или по-другому:

.

(7.9)

Запишу передаточную функцию линейной части разомкнутой системы:

Перепишу (7.7) и (7.8), подставив туда известные мне значения b=4 и k=tg30̊=0.577 (табл.1):

, при A > 4,
.

Далее, воспользовавшись ЦВМ, получу графики W_лч(iω) и :

Рис.7.3 – Годограф линейной и нелинейной частей системы.

Причем график на комплексной плоскости – это прямая, которая начинается в точке и продолжается до .

	Таблица 7.1

Численные значения функции Wлч(iω)
0.162	-419-733i	1.819	0-19i
0.186	-371-587i	1.949	2-17i
0.214	-322-466i	2.398	3.7-14.8i
0.245	-274-366i	61.659	2.6-6.2i
0.281	-228-287i		-1.17-2.6i
0.302	-207-254i		-1.03-1.07i
0.346	-168-198i		-0.04-i2.45·10-3
0.398	-134-156i		-7.45·e-4-i1.05·10-6
0.457	-105-123i	1.75·104	-3.4·e-4-i4.5·10-6
0.562	-70-88i	2.8·104	-1.1·e-4-i7.5·10-7
0.691	-45-64i	3.9·104	-6.62·e-5-i3.7·10-7
1.122	-10-34i	4.4·104	-4.8·e-5-i2.1·10-7

Увеличив масштаб (рис.7.3), получу:

Рис.7.4 - Годограф линейной и нелинейной частей системы.

Таблица 7.2

Численные значения функции Wлч(iω)
11.749	-0.568-1.42i	70.794	-0.161-0.053i
13.489	-0.511-1.22i	75.857	-0.146-0.037i
16.596	-0.44-0.966i	81.283	-0.131-0.024i
17.782	-0.42-0.891i	87.096	-0.117-0.014i
20.417	-0.398-0.752i	93.325	-0.103-i5.35·10-3
23.442	-0.372-0.63i		-0.09+i1.466·10-3
26.915	-0.348-0.521i	114.815	-0.067+0.01i
30.902	-0.325-0.424i	123.027	-0.057+0.0127i
35.481	-0.282-0.297i	131.826	-0.-48-0.014i
43.651	-0.263-0.261i	141.254	-0.04+0.015i
57.543	-0.207-0.113i	245.471	-7.27·10-3+7.55·10-3i
66.069	-0.177-0.07i	371.535	-1.63·10-3+2.85·10-3i

Из (рис.7.4) видно, что графики W_лч(iω) и не пересекаются. Решения уравнения (7.9) не существует, и автоколебания в данной нелинейной системе невозможны.

Задачи по курсу

Задание к пункту №1.

Записать передаточную функцию для системы, структурная схема которой имеет вид:

Рис.8.1

Решение.

Путем поэтапных преобразований получу одноконтурную структурную схему.

Рис.8.2

Где

Рис.8.3

Где

Рис.8.4

Где

Мы получили одноконтурную структурную схему, передаточная функция которой равна:

Задание к пункту №2.

На вход системы подается управляющий сигнал g(t)=0.5sin(0.8t). Найти значение установившейся ошибки ε, если известна передаточная функция замкнутой системы по ошибке:

Решение.

Ошибка определяется по формуле:

В заданной передаточной функции по ошибке выполним замену s=iω:

Подставим в полученное выражение ω=0.8, получим:

Тогда

Задание к пункту №3.

Используя критерий Гурвица, определить устойчивость замкнутой системы, передаточная функция которой:

Решение.

Составим характеристическое уравнение для данной системы:

Составим квадратную матрицу коэффициентов:

.

Запишем определители Гурвица:

Все определители Гурвица больше нуля, следовательно, система является устойчивой.

Задание к пункту №4.

Определить запасы устойчивости по фазе и амплитуде, если задана логарифмическая амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы:

Рис.8.5

Решение.

Рис.8.6

Запас устойчивости по амплитуде А = 12.52 дБ, запас устойчивости по фазе G = 44.21 градусов.

Задание к пункту №5.

По заданной асимптотической логарифмической амплитудной характеристике восстановить передаточную функцию системы.

Рис.8.7

Решение.

Задание к пункту №6.

По заданному графику переходного процесса определить значение перерегулирования.

Рис.8.8

Решение.

Задание к пункту №7.

Проверить выполнение гипотезы фильтра, если в системе существуют автоколебания с амплитудой А=0.5 с частотой ω=0.9. Передаточная функция линейной части:

Решение.

В формуле передаточной функции линейной части произведем замену s=iω, получим:

Проверим выполнение гипотезы фильтра. Должно выполняться условие:

, где n – номер гармоники.

Проверим первую и третью гармонику. При частоте ω=0.9 получим:

,

.

Следовательно, гипотеза фильтра выполняется.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Боголюбов А.А. Лекции по курсу «Теория автоматического управления», 2013 год.

2. Бесекерский В.А., Попов Е.П. «Теория систем автоматического управления». Издательство «Профессия», 2003.

3. Заведеев А.И. Лекции по курсу «Теория автоматического управления», 2012 год.

4. http://ndo.sibsutis.ru/bakalavr/sem3/course110/lec7.htm

5. Зайцев А.П. Основы теории автоматического управления: Учебное пособие. Томск: Изд. ТПУ, 2000.