Расчёт сложной электрической цепи гармонического тока с использованием законов Кирхгофа

Существует большое разнообразие цепей преобразующих ту или иную энергонесущую материю. Какова бы ни была энергонесущая материя (например, электрический ток), и в каком бы режиме ни функционировала преобразующая энергию цепь, существует ограниченный набор универсальных методов для их анализа и расчета. Цель расчета цепей состоит в уточнении величин токов и падений напряжения на элементах во всех режимах работы. Познакомимся с наиболее универсальными методами.

Закон Ома

Каждое конкретное электрическое или электронное устройство описывается конкретной системой дифференциально-алгебраических уравнений. Сравнительный анализ большого количества математических описаний позволил выявить лишь три модели, которые признаны фундаментальными. Им соответствуют реально существующие, пассивные, преобразующие энергию элементы:

· R — активное сопротивление (резистор)

· L — реактивное сопротивление индуктивного характера (катушка)

· C — реактивное сопротивление емкостного характера (конденсатор)

Преобразование электрической энергии R, L и C элементами описывается законом Ома. Форма записи закона Ома индивидуальна для каждого элемента:

Закон Ома наглядно демонстрирует, как физические величины первого и второго рода (ток и напряжение) связаны свойством преобразующего энергию элемента, т.е. активным индуктивным или емкостным сопротивлением.

Насколько бы сложной ни была энергопреобразующая электрическая цепь, и каким бы методом мы не пользовались для ее расчета — системы уравнений всегда составляются на основе этих формул. Существует большое количество чисто математических приемов, которые позволяют рассчитывать цепи (в том числе с L иC элементами) не прибегая к дифференциальному исчислению.

Законы Кирхгофа

Законы Кирхгофа являются вариантом формулировки постулатов о сохранении материи и энергетического потенциала для электрических энергопреобразующих цепей. Введем определения.

Узел электрической цепи

Место соединения трёх и более ветвей. В схемах электрических принципиальных обозначается точкой.

Ветвь электрической цепи

Участок электрической цепи, содержащий только последовательно включённые элементы.

Контур электрической цепи

Замкнутый путь, проходящий через несколько узлов и ветвей электрической цепи.

I закон Кирхгофа — является следствием закона сохранения заряда, согласно которому в любом узле заряд не может ни накапливатся, ни убывать. Закон формулируется как для цепей постоянного, так и для цепей переменного тока.

Для цепей постоянного тока алгебраическая сумма токов в узлах равна нулю.

Для цепей переменного тока геометрическая сумма токов в узлах равна нулю.

II закон Кирхгофа — является следствием закона сохранения энергии, в силу которого изменение потенциала в замкнутом контуре равно нулю. Закон формулируется как для цепей постоянного, так и для цепей переменного тока.

Для цепей постоянного тока алгебраическая сумма падений напряжения в контуре равна нулю.

Для цепей переменного тока геометрическая сумма падений напряжения в контуре равна нулю.

Опираясь на законы Ома и Кирхгофа можно рассчитать абсолютно любую электрическую цепь. Другие методы расчета цепей разработаны исключительно для уменьшения объема требуемых вычислений.

Последовательность действий:

1. Произвольно назначают направления токов в ветвях.

2. Произвольно назначают направления обхода контуров.

3. Записывают У - 1 уравнение по I закону Кирхгофа. (У — число узлов в цепи).

4. Записывают В - У + 1 уравнение по II закону Кирхгофа. (В — число ветвей в цепи).

5. Решают систему уравнений относительно токов и уточняют величины падений напряжения на элементах.

Примечания:

· При составлении уравнений слагаемые берут со знаком "+" в случае, если направление обхода контура совпадает с направлением падения напряжения, тока или ЭДС. В противном случае со знаком "-".

· Если при решении системы уравнений будут получены отрицательные токи, то выбранное направление не совпадает с реальным.

· Следует выбирать те контуры, в которых меньше всего элементов.

Правильность расчетов можно проверить, составив баланс мощностей. В электрической цепи сумма мощностей источников питания равна сумме мощностей потребителей:

Следует помнить, что тот или иной источник схемы может не генерировать энергию, а потреблять ее (процесс зарядки аккумуляторов). В таком случае направление тока, протекающего по участку с этим источником, встречное направлению ЭДС. Источники в таком режиме должны войти в баланс мощностей со знаком "-".