Глава 12 Примеры решения задач

1. На шелковых нитях длиной l = 50 см подвешены в одной точке в воздухе два одинаково заряженных шарика массами m = 0,8 г каждый. Сколько избыточных электронов надо сообщить каждому шарику, чтобы нити подвеса шариков разошлись на угол a = 60⁰? Элементарный заряд е = 1,6×10^-19 Кл. Ускорение силы тяжести g = 9,8 м/с². Диэлектрическая проницаемость воздуха e = 1. Электрическая постоянная e₀ = 8,85×10^-12 Ф/м.

Дано: l = 0,5 м; m = 0,8×10^-3 кг; е = 1,6×10^-19 Кл;

g = 9,8 м/с²; e = 1; e₀ = 8,85×10^-12 Ф/м; a = 60⁰.

N-?

Решение. На каждый шарик действуют силы: - сила тяжести, - сила натяжения нити, - сила электрического (кулоновского) отталкивания шариков (см. рисунок). Так как шарики находятся в равновесии, то условие равновесия любого из шариков записывается в виде:

+ + = 0,

т.е. векторная сумма сил, действующих на шарик, равна нулю. Распишем это векторное уравнение в проекциях по осям координат 0х, 0y:

F_э - Т = 0; T - mg = 0,

Или

Т = F_э; T = mg.

Поделив почленно уравнения в последней системе, друг на друга, имеем:

, или F_э = mg .

В последнее уравнение подставим выражение для F_э, следующее из закона Кулона:

F_э = , где r = 2l ,

т.е.

F_э = .

Итак,

F_э = = mg .

Заряд каждого шарика q складывается из зарядов избыточных электронов, так как создается их совокупностью, т.е. q = Ne, где N – число избыточных электронов. Подстановка выражения для q в предыдущее уравнение дает:

= mg ,

откуда находим

N = =

= = 2,21×10¹².

Ответ: N = 2,21×10¹².

2. Четыре конденсатора С₁ = 3 пФ, С₂ = 7 пФ, С₃ = 6 пФ и С₄ = 4 пФ соединены по схеме, приведенной на рисунке, и подключены к источнику напряжения с ЭДС Е = 1 000 В. Определите показания вольтметра, подключенного между точками А и В схемы.

Дано: С₁ = 3 пФ; С₂ = 7 пФ; С₃ = 6 пФ; С₄ = 4 пФ; Е = 1 000 В.

U_V -?

Решение. Напряжение U, поданное на схему (между точками 1 и 2), равно ЭДС источника, т.е.

U = U₁₂ = E = 1000 В.

Рассмотрим участок цепи, состоящий из последовательно соединенных конденсаторов С₁ и С₂, к которой приложено напряжение U₁₂ =U. При последовательном соединении конденсаторов заряды их одинаковы и равны заряду системы из С₁ и С₂:

q₁ = q₂ = q₁₂.

Электроемкость С₁₂ цепи из двух последовательно соединенных конденсаторов С₁ и С₂ найдем из известного соотношения для емкости батареи конденсаторов при последовательном соединении:

, Þ С₁₂ = .

Теперь найдем заряд, ушедший из источника в систему из конденсаторов С₁ и С₂:

q₁₂ = C₁₂U₁₂ = C₁₂U = U.

Определим напряжение U₁ на конденсаторе С₁:

U₁ = = = U = U.

Повторяя приведенные выше рассуждения для цепи, состоящей из последовательно соединенных конденсаторов С₃ и С₄, можно найти напряжение на конденсаторе С₃:

U₃ = U.

Напряжение U₃ есть разность потенциалов j₁ - j_В (см. рисунок):

U₃ = j₁ - j_В,

и, соответственно,

U₁ = j₁ - j_А.

Вычитая почленно два последних уравнения, имеем:

U₃ - U₁ = j_А - j_В.

Но (j_А - j_В) – есть разность потенциалов (напряжение) между точками А и В и будет равно показанию вольтметра, подключенного между этими точками:

U_V = U_AB = j_А - j_В = U₃ - U₁ = U - U =

=U = 1 000 = - 300 В.

Знак ²-² указывает на то, что j_А - j_В < 0, т.е. j_А < j_В.

Ответ: U_V = - 300 В.

Теперь исследуем случай, когда показание вольтметра будет нулевое, т.е. когда

U_V = j_А - j_В = U = 0.

Поскольку U ¹ 0, то должно быть:

- = 0,

откуда находим

= , или .

Последнее равенство выполняется при выполнении условия:

.

Эту пропорцию можно привести к виду

.

Таким образом, при выполнении соотношений между емкостями приведенной схемы:

, или ,

будет j_А - j_В = 0, т.е. j_А = j_В.

В этом случае:

- показания вольтметра, подключенного между точками А и В будут нулевыми, т.е. U_V = j_А - j_В = 0;

- подключение между точками А и В приведенной схемы конденсатора любой емкости (также любого резистора) или наличие между этими точками разрыва или перемычки (шунта) никак не повлияет на распределение зарядов и напряжений на конденсаторах С₁, С₂, С₃ и С₄;

- полученные результаты можно использовать при расчете подобных схем.

3. Аккумулятор с внутренним сопротивлением r = 0,08 Ом при силе тока I₁ = 4 А отдает во внешнюю цепь мощность Р₁ = 8 Вт. Какую мощность Р₂ он отдает во внешнюю цепь при силе тока I₂ = 6 А?

Дано: r = 0,08 Ом; I₁ = 4 А; Р₁ = 8 Вт; I₂ = 6 А.

Р₂ -?

Решение: Обозначим через Е – ЭДС источника тока (аккумулятора); R₁ и R₂ – сопротивление нагрузки в первом и во втором случаях, соответственно; I₁ и I₂ - сила тока в цепи в первом и во втором случаях, соответственно.

В первом случае мощность, отдаваемая аккумулятором во внешнюю цепь, равна

Р₁ = I₁² R₁, где I₁ = .

Во втором случае сила тока изменилась из-за того, что сопротивление нагрузки изменилось и стало равным, например, R₂. Тогда мощность, отдаваемая во внешнюю цепь во втором случае, равна:

Р₂ = I₂² R₂, где I₂ = .

Решая систему из написанных четырех последних уравнений, находим:

Р₂ = = 11,04 Вт.

Ответ: Р₂ = 11,04 Вт.

4. Два гальванических элемента с ЭДС Е₁ = 2 В и Е₂ = 1,5 В и внутренними сопротивлениями r₁ = 0,6 Ом и r₂ = 0,4 Ом, соответственно, соединены параллельно (см. рисунок). Определите силу тока I в контуре и разность потенциалов j₁ - j₂ между точками 1 и 2.

Дано: Е₁ = 2 В; Е₂ = 1,5 В; r₁ = 0,6 Ом; r₂ = 0,4 Ом.

j₁ - j₂ -?

Решение: Согласно второму правилу Кирхгофа

Е₁ - Е₂ = I(r₁ + r₂),

Откуда находим

I = = 0,5 A.

Согласно закону Ома для неоднородного участка цепи

j₁ - j₂ = Е₁ - Ir₁ = 2 - 0,5×0,6 = 1,7 В,

или

j₁ - j₂ = Е₂ + Ir₂ = 1,5 + 0,5×0,4 = 1,7 В.

Ответ: j₁ - j₂ = 1,7 В.

5. Из однородной проволоки, обладающей заметным сопротивлением, сделан прямоугольный контур размером а×в. Перпендикулярно плоскости контура создается магнитное поле, индукция которого растет со временем по закону В = at. На расстоянии с от одной из сторон а подключен вольтметрV, сопротивление которого очень велико (см. рисунок). Какое напряжение U покажет вольтметр?

Дано: а, в, с; В = at.

U -?

Решение: По основному закону электромагнитной индукции из-за изменения магнитного потока через весь контур возникает ЭДС индукции:

|Е| = Е = Ф¢ = (ВS)¢ = (at×а×в)¢ = aав.

По закону Ома определяем силу тока в контуре:

I = = aав = aав ,

где R – сопротивление контура, r - удельное сопротивление проволоки, S – площадь ее поперечного сечения.

В контуре, образованном вольтметром и участком провода длиной с и имеющим сопротивление

R₁ = r ,

создается ЭДС

Е₁ = aас.

Согласно закону Ома

Е₁ = U +IR₁,

откуда находим

U = Е₁ - IR₁ = aас - aав r = .

Ответ: U = .

6. Провод из материала плотностью r и сечением S согнут в виде трех сторон квадрата и прикреплен своими концами к горизонтальной оси, вокруг которой он может вращаться в однородном вертикальном магнитном поле с индукцией В (см. рисунок). На какой угол a от вертикали отклонится плоскость этого контура при прохождении по проводу тока I? Ускорение свободного падения равно g.

Дано: r; S; g; B; I.

a -?

Решение: Обозначим силы, действующие на согнутый проводник:

- одинаковые силы тяжести , приложенные к участкам ОА, АС, СО₁ одинаковой длины, т.е. ОА=АС=СО₁=l;

- силу Ампера , действующую на горизонтальный участок АС;

- силы Ампера и , действующие на участки ОА и СО₁.

Направления сил , и определяем по правилу правого винта (правилу левой руки).

Так как контур находится в равновесии, то сумма моментов всех приложенных к нему сил относительно оси вращения ОО₁ равна нулю. Силы и параллельны оси ОО₁ и их моменты относительно ОО₁ равны нулю. Моменты сил реакции шарниров (на рисунке эти силы не показаны) относительно оси ОО₁ также равны нулю. Для остальных сил уравнение моментов сил относительно оси ОО₁ запишется так:

mglsina + 2mg sina - F_Alcosa = 0.

Подставляя в это уравнение

m = r×S×l и F_A = I×l×B,

получаем

2r×S×l×g×l×sina = I×l×B×l×cosa,

откуда находим

.

Ответ: a = .

7. В колебательном контуре к конденсатору параллельно присоединили другой конденсатор вдвое большей емкости, после чего частота колебаний в контуре уменьшилась на Dn = 300 Гц. Определите первоначальную частоту колебаний в контуре.

Дано: Dn = 300 Гц; С = 2С₁.

n₁ -?

Решение: напишем выражения для частот n колебаний в контуре в двух случаях:

n₁ = , n₂ = ,

где емкость С₂ контура во втором случае равна

С₂ = С + С₁ = 2С₁ + С₁ = 3С₁,

так как во втором случае к конденсатору емкости С₁ присоединяют параллельно конденсатор вдвое большей емкости, т.е. емкости 2С₁.

Согласно условию задачи

Dn = n₁ - n₂ = - = - =

= = n₁ ,

откуда находим

n₁ = Dn = 300 = 710 Гц.

Ответ: n₁ = 710 Гц.

8. Лампочку для карманного фонаря, рассчитанную на напряжение U₀ = 3,5 В и силу тока I₀ = 0,28 А, соединили последовательно с конденсатором и включили в сеть с эффективным напряжением U_Э = 220 В и частотой n = 50 Гц. Какой должна быть емкость С конденсатора, чтобы лампочка горела нормальным накалом?

Дано: U₀ = 3,5 В; I₀ = 0,28 А; U_Э = 220 В; n = 50 Гц.

С -?

Решение: Электрическое сопротивление R лампочки находим из закона Ома для участка цепи:

R = .

Амплитудное значение напряжения U_A в сети равно

U_A = U .

Нормальный накал лампочки будет в случае, когда сила тока через нее будет равна I₀. Тогда согласно закону Ома для цепи переменного тока

I₀ = = ,

откуда находим

С = = =

= 2,86×10^-6 Ф = 2,86 мкФ.

Ответ: С = 2,86 мкФ.

9. Катушка длиной l = 0,5 м и площадью поперечного сечения S = 10^-3 м² включена в цепь переменного тока частотой n = 50 Гц. Число витков катушки N = 3 000. Найдите сопротивление R катушки, если сдвиг фаз между напряжением и током j = 60⁰. Магнитная постоянная m₀ = 4p×10^-7 Гн/м.

Дано: l = 0,5 м; S = 10^-3 м²; n = 50 Гц; N = 3 000; j = 60⁰; m₀ = 4p×10^-7 Гн/м.

R -?

Решение: Сдвиг фаз j между напряжением и током в данной задаче определяется из выражения:

,

где

,

- индуктивность катушки индуктивности.

Подстановка соотношения для L в выражение для tgj дает:

,

откуда находим

R = = = 4,1 Ом.

Ответ: R = 4,1 Ом.

Литература, рекомендуемая для изучения физики

1 Трофимова, Т.И. Курс физики / Т.И. Трофимова.-М.: Высшая школа, 2004.-544 с.

2 Савельев, И.В. Курс общей физики / И.В. Савельев.-М.: Наука, 1988.

Т.2: Электричество и магнетизм. Волны. Оптика.-496 с.

3 Детлаф, А.А. Курс физики / А.А. Детлаф, Б.М. Яворский.-М.: Высшая школа, 2000.-718 с.

4 Савельев, И.В. Курс общей физики: учебное пособие для вузов в 5 кн. / И.В. Савельев.-М.: Астрель, АСТ, 2003.

Кн.2: Электричество и магнетизм.-336 с.

5 Яворский, Б.М. Справочное руководство по физике / Б.М. Яворский, Ю.А. Селезнев.-М.: Наука, 1989.-576 с.

6 Савельев, И.В. Сборник вопросов и задач по общей физике / И.В. Савельев.-М.: Наука, 1988.-288 с.

7 Трофимова, Т.И. Сборник задач по курсу физики с решениями / Т.И. Трофимова, З.Г. Павлова.-М.: Высшая школа,2003.-591 с.