Условия на границе раздела двух диэлектриков
Рассмотрим границу раздела двух изотропных диэлектриков с диэлектрическими проницаемостями e1 и e2 (e1 < e2).
Пусть на границе раздела свободные заряды отсутствуют.
Оба диэлектрика находятся в однородном электрическом поле напряжённостью Е. Напряжённость электрического поля в одном из диэлектриков будет равна Е1, во втором – Е2.
 |
Выберем некоторый контур, охватывающий границу раздела двух сред.
Поскольку электрическое поле консервативно, работа куло-новских сил на замкнутом конту-ре Al равна нулю
Al = A12 + A23+ A34+ A41=0.
На участках 12 и 34 рассматриваемого контура работа
.
_____________________________
* В случае использования вектора напряженности теорема Гаусса имеет вид
В этих выражениях Е1t и Е2t – проекции векторов Е1 и Е2 на ось, параллельную границе раздела двух диэлектриков.
Пусть l23 = l41 ® 0. Тогда работа кулоновских сил на этих участках будет равна нулю.
Тогда работа кулоновских сил на всей длине контура
Al = A12 +A34 = 0
и
A12 = -A34.
Последнее соотношение можно переписать в виде
.
Сократив одинаковые множители, получаем
.
Таким образом, компонента вектора напряжённости, парал-лельная границе раздела двух сред (тангенциальная компонента), с обеих сторон от границы одинакова.
Вектор электрического смещения D = eoeE. Следовательно,
D1t = eoe1E1t,
D2t = eoe2E2t,
А это, в свою очередь, означает, что
или
.
Другими словами – тангенциальная компонента вектора (Dt) на границе раздела скачкообразно изменяется в соответствии с последним соотношением.
Теперь рассмотрим поведение компонент векторов D и E, перпендикулярных границе раз-дела двух диэлектриков. Для этого воспользуемся теоремой Гаусса. В качестве поверхности интегрирования выберем цилиндр бесконечно малой высоты, основания которого параллельны границе раздела двух диэлектриков.
В соответствии с теоремой Гаусса, считая электрическое поле однородным, мы вправе записать*:
и
.
Отсюда следует, что
.
Таким образом, на границе раздела скачком изменяется нормальная составляющая вектора напряжённости и не изменя-ется нормальная составляющая вектора электрического смещения.
Вследствие этого силовые линии на границе раздела двух диэлектриков изменяют направление**. Действительно,
Е1t = Е2t,
e1Е1n = e2Е2n.
Из рисунка видно, что 
. Выражая тангенс угла наклона силовых линий в каждом из диэлектриков, получим:
, 
,
.
Таким образом, в среде с бóль-шей диэлектрической проницаемостью (e2 >e1) силовые линии увеличивают наклон (см. рисунок)
_______________________
* Мы не будем здесь подробно описывать математические преобразования: они просты и практически одинаковы с рассмотренными перед этим.
** Если силовые линии перпендикулярны границе раздела, то их направление не изменяется.