Взаимная ёмкость. Конденсаторы

Взаимная ёмкость двух проводников численно равна заряду, который нужно перенести с одного проводника на другой для изменения разности потенциалов между ними на единицу.

C = q / (j₁ - j₂).

Ёмкость плоского конденсатора

С = ,

где S - площадь обкладок; d - расстояние между обкладками; e - относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика между обкладками.

Ёмкость сферического конденсатора

С = 4pee ₀R₁R₂ / (R₂ - R₁),

где R₁ и R₂ - внутренний и внешний радиусы конденсатора.

Ёмкость цилиндрического конденсатора

С = 2pee _оh / ln (R₂ / R₁).

где R₁ и R₂ – радиусы внутренней и внешней обкладок, h – длина конденсатора.

Ёмкость батареи параллельно соединённых конденсаторов

С _пар = å C _i.

Ёмкость батареи последовательно соединённых конденсаторов

С _посл = 1 / å (1/С _i).

Потенциальная энергия системы точечных зарядов. Энергия заряженного проводника и электрического поля

Электрические заряды вследствие электрического взаимодействия обладают взаимной потенциальной энергией. Для двух точечных зарядов энергия

W _р = (q₁q₂) / 4pee _or₁₂.

Для системы точечных электрических зарядов потенциальная энергия

W _р = ,

где j _i - потенциал электрического поля, создаваемый всеми зарядами системы за исключением i-го, в точке, где находится i-й заряд.

Собственная энергия заряженного уединённого проводника

W_э = .

Собственная энергия заряженного конденсатора

W_э = .

Распределение энергии поля в пространстве характеризуется объёмной плотностью энергии электростатического поля:

.

Энергия электростатического поля, заключенная в объеме V:

W_э = .

Примеры решения задач

Пример 1. Раскаленный катод радиолампы в виде тонкой нити диаметром d = 1 мм испускает электроны. Анод имеет вид цилиндра диаметром D = 10 мм, коаксиального с катодом (рис.2.1). Между катодом и анодом приложена разность потенциалов U = 100 В. Найти ускорение и скорость электронов в точке, отстоящей от поверхности катода на расстояние l = 2,5 мм. (Начальная скорость электронов мала).

Решение

Ускорение электрона можно найти из второго закона Ньютона, но для этого надо знать силу, действующую на электрон. Сила, действующая на заряд, находящийся в электрическом поле, как известно, равна F = |q|E, значит, необходимо найти напряженность электрического поля между катодом и анодом. Так как катод представляет собой тонкую нить, воспользуемся формулой для напряженности поля, созданного тонкой заряженной нитью с линейной плотностью заряда τ.

, где r – расстояние от оси нити. Для нахождения τ воспользуемся связью между напряженностью и разностью потенциалов электростатического поля. В данном случае

.

Рис.2.1

Тогда и модуль

напряженности поля равен .

Теперь по второму закону Ньютона .

Рассчитаем ускорение электрона, учитывая, что

Рис.2.1

.

Для нахождения скорости электрона воспользуемся связью работы и кинетической энергии. По теореме о кинетической энергии приращение кинетической энергии тела равно суммарной работе всех сил, действующих на тело: ΔW_к = A_{всех сил}. В этом случае на электрон действует только сила электрического поля, а начальная скорость электрона по условию мала, поэтому

,

где Δφ – разность потенциалов между катодом и точкой, в которой находится электрон. Отсюда .

Разность потенциалов найдем, используя связь напряженности поля и разности потенциалов:

И, наконец, рассчитаем скорость электрона

Ответ: а = 2,55·10¹⁵ м/с², v = 5,23·10⁶ м/с.

Пример 2. Электрон влетает в поле плоского конденсатора со скоростью v₀ = 1 Мм/с под углом α = 30^о к его пластинам. Длина пластин l = 5 см. Найти напряженность поля, при которой скорость электрона при вылете из конденсатора будет направлена параллельно его пластинам.

Дано: α = 30о l = 5 см |q| = 1,6·10-19 Кл m = 9,1·10-31 кг v0 = 1 Мм/с   E - ?

Решение

	Рис.2.2

Поле плоского конденсатора является однородным, поэтому на электрон в этом поле будет действовать постоянная сила, а значит движение электрона будет равноускоренным. Для описания этого движения выберем начало координат в точке влета электрона, направим ось х вдоль пластин, а ось у – перпендикулярно им (рис.2.2). Тогда закон движения электрона примет вид . Скорость электрона при этом равна . Запишем эти уравнения в проекциях на выбранные оси координат:

Так как в точке вылета x = l, то , а так как электрон вылетает параллельно пластинам, то в точке вылета v_y = 0, тогда . Отсюда

.

По второму закону Ньютона , отсюда .

Тогда окончательно получаем

.

Вычислим напряженность поля:

Ответ: Е = 49,3 В/м.

Пример 3. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено диэлектриком. Расстояние между пластинами d = 2 мм. На пластины подана разность потенциалов U₁ = 600 В. Если, отключив источник напряжения, вынуть диэлектрик из конденсатора, то разность потенциалов на пластинах возрастет до U₂ = 1800 В. Найти поверхностную плотность связанных зарядов на диэлектрике σ_св и диэлектрическую восприимчивость κ диэлектрика.

Решение

Так как конденсатор после зарядки отключили от источника напряжения, то величина заряда на его обкладках остается постоянной. Заряд конденсатора связан с его емкостью и разностью потенциалов соотношением q = CU, поэтому можно записать, что

С₁U₁ = C₂U₂ .

Здесь - емкость конденсатора с диэлектриком,

- емкость конденсатора без диэлектрика.

Тогда получается, что диэлектрическая проницаемость диэлектрика ε равна

Но диэлектрическая восприимчивость связана с диэлектрической проницаемостью соотношением κ = ε – 1, то есть κ = 2.

Известно, что поверхностная плотность связанных зарядов на диэлектрике равна проекции вектора поляризации на внешнюю нормаль к поверхности диэлектрика. В плоском конденсаторе вектор поляризации перпендикулярен поверхности диэлектрика, поэтому σ_св = Р.

В однородных изотропных диэлектриках вектор поляризации пропорционален напряженности поля P = κ ε₀ E.

Напряженность электрического поля в диэлектрике легко найти, так как поле плоского конденсатора является однородным: . Тогда выражение для поверхностной плотности связанных зарядов диэлектрика примет вид

.

Вычислим

Ответ: κ = 2, σ_св = 5,3·10^-6 Кл/м².

Пример 4. Определить электроемкость сферического конденсатора с радиусами обкладок R₁ = 1 см и R₂ = 5 см, который заполнен изотропным диэлектриком с диэлектрической проницаемостью, изменяющейся по закону , где а = 5 м³ – постоянная, r – расстояние от центра конденсатора.

Решение

Мысленно зарядим конденсатор. На его внутренней обкладке появится свободный заряд q, а на внешней – такой же по модулю отрицательный заряд -q (рис.2.3). По методу Гаусса рассчитаем напряженность электрического поля внутри диэлектрика. При этом теорему Гаусса следует применить для электрического смещения , чтобы не учитывать свойства диэлектрика. Проведем между обкладками гауссову поверхность в виде сферы радиуса r. Поток вектора электрического смещения через эту поверхность равен . Свободный заряд, попавший внутрь данной сферы, – это заряд внутренней обкладки q. Используем теорему Гаусса:

D·4 π r² = q и выразим отсюда D:

.

Когда изотропный диэлектрик, полностью заполняет пространство между эквипотенциальными поверхностями (как в данном случае), то электрическое смещение связано с напряженностью поля простым соотношением: D = εε₀E. Тогда напряженность поля внутри конденсатора равна

Рис.2.3

.

Найдем теперь разность потенциалов между обкладками конденсатора:

.

Теперь, по определению, емкость конденсатора равна

.

Вычислим значение емкости:

Ответ: С = 4,67·10^-7 Ф.

Пример 5. На два последовательно соединенных конденсатора с емкостями С₁ = 100 пФ и С₂ = 200 пФ подано постоянное напряжение U = 300 В. Определить энергию, запасенную в каждом конденсаторе.

Решение

Так как конденсаторы соединены последовательно, то заряды всех обкладок по модулю одинаковы. Поскольку заряд связан с емкостью конденсатора и напряжением на нем соотношением q = CU, то можно записать:

C₁U₁ = C₂U₂ .

C другой стороны, при последовательном соединении конденсаторов

U = U₁ + U₂ .

Решая эти уравнения совместно, найдем напряжение на первом и втором конденсаторе:

Подставляя эти значения в формулу для энергии конденсатора, получим

Наконец, подставляя в полученные формулы числовые значения величин, получим

Ответ: W₁ = 2·10^-6 Дж, W₂ = 1·10^-6 Дж.

Пример 6. Электрический заряд распределен в вакууме по объему шара радиусом R = 10 см. Объемная плотность заряда внутри шара изменяется по закону ρ = ρ₀·r, где ρ₀ = 1 мКл/м³. Найти энергию электрического поля, заключенную в шаре.

Решение

Чтобы найти энергию электрического поля в некотором объеме, надо знать объемную плотность энергии, а для этого, в свою очередь, надо знать напряженность электрического поля. Так как по условию заряд распределен в пространстве сферически симметрично, то для нахождения напряженности поля надо применить теорему Гаусса. Выберем гауссову поверхность в виде сферы радиуса r < R (рис.2.4). Силовые линии электрического поля в любой точке сферы будут перпендикулярны к ней, а модуль напряженности во всех точках сферы будет одинаков. Тогда поток вектора напряженности через поверхность сферы равен

.

Рис.2.4

Заряд, попавший внутрь этой сферы, надо искать интегрированием: , при этом, так как ρ зависит только от r, элемент объема dV – это объем сферического слоя радиусом r и толщиной dr, то есть dV = 4 π r²dr. Тогда заряд q равен .

Используем теорему Гаусса, приравнивая поток вектора напряженности через поверхность S суммарному заряду внутри этой поверхности, деленному на электрическую постоянную ε₀:

.

Выразим отсюда напряженность электрического поля Е: .

Теперь найдем объемную плотность энергии электрического поля внутри шара:

И, наконец, найдем энергию электрического поля, заключенную в шаре:

Вычислим значение энергии:

Ответ: W = 6,34·10^-4 Дж.