Численные методы решения уравнений режима

Общие положения

Все методы решения уравнений и их систем можно разделить на аналитические и численные.

При аналитических (прямых) методах искомые значения переменных определяются как явные функции известных параметров уравнений. Например, если уравнения режима электрической сети (2.13) линейны (известны значения узловых токов), то их аналитическим решением является выражение (2.15).

Численными (итерационными) методами решения уравнений называются различные методы последовательных приближений. При этом расчет производится на основе рекуррентных соотношений вида

(2.30)

или

, (2.31)

где p – номер итерации (приближения); n – общее число неизвестных (и уравнений); F_i – некоторые функции, вид которых зависит от решаемых уравнений и/или используемого численного метода.

Решение систем линейных алгебраических уравнений может производиться как аналитическими, так и численными методами. Нелинейные уравнения и их системы решаются, как правило, численными методами; аналитическое решение существует лишь в частных случаях (например, для квадратных уравнений).

Одним из численных методов расчета режима электрической сети является метод обратной матрицы в случае нелинейных уравнений режима. При этом рекуррентное соотношение в матричной комплексной форме имеет вид

, (2.32)

где – вектор [p+1]-го приближения напряжений; – вектор p-го приближения узловых токов, каждый компонент которого вычисляется по формуле (2.2) через сопряженный комплекс p-го приближения соответствующего напряжения.

Кроме метода обратной матрицы, для расчета режима электрических сетей используются следующие численные методы:

– метод Зейделя;

– метод Ньютона и его модификации.

Метод Зейделя

Данный метод основан на использовании выражения (2.31). Рекуррентные соотношения получаются путем простого преобразования исходных уравнений. Оно производится таким образом, чтобы в левой части каждого уравнения осталась только неизвестная, соответствующая номеру уравнения в системе.

Для решения по методу Зейделя уравнения режима электрических сетей обычно записываются в действительной форме баланса токов в декартовой системе координат, однако может использоваться и комплексная форма записи. Рекуррентные соотношения (в комплексной форме) легко получаются из уравнений (2.3) и имеют следующий вид:

. (2.33)

Нумерация узлов соответствует введенной в п. 2.1, но узлы, балансирующие по реактивной мощности, отсутствуют.

Алгоритм решения уравнений режима методом Зейделя.

1. Задаются нулевые приближения действительных U′ и мнимых U″ составляющих искомых напряжений. Обычно принимают , .

2. Последовательно (в порядке нумерации уравнений) вычисляются [p+1]-е приближения напряжений по формуле (2.33).

3. Для всех искомых напряжений проверяются условия

, (2.34)

, (2.35)

где ε – заданная точность расчета (в знаменателе последнего выражения стоит действительная составляющая напряжения вместо мнимой, что позволяет избежать деления на число, близкое к нулю, а также применить в (2.34) и (2.35) одно и то же значение ε).

Если условия (2.34) и (2.35) выполнились для всех узлов, то расчет заканчивается, и решением является последнее приближение напряжений.

Если хотя бы для одного узла не выполнилось хотя бы одно из этих условий, то производится возврат к пункту 2.

В рассмотренном виде метод Зейделя применительно к расчету режимов электрических сетей обладает медленной сходимостью (то есть решение уравнений происходит с большим числом итераций).

Для частичного устранения этого недостатка применяется ускоренный метод Зейделя. Он отличается от рассмотренного рекуррентной формулой, в которую вводится ускоряющий коэффициент t:

, (2.36)

где

. (2.37)

Значение t находится в пределах от 0 до 2.

Ускоренный метод Зейделя обладает приемлемой сходимостью и поэтому применяется на практике. Основным его достоинством является простота алгоритма. Однако при расчете режимов неоднородных сетей, а также режимов, близких к пределу по статической устойчивости, сходимость метода ухудшается, а в определенных случаях он может расходиться (то есть решение не будет найдено).

Метод Ньютона

Итерационный метод Ньютона предназначен для решения систем нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений. Он основан на линеаризации уравнений путем их разложения в ряд Тейлора, ограничиваясь первыми производными.

Любую систему алгебраических или трансцендентных уравнений с неизвестными x₁, x₂, …, x_n можно записать следующим образом:

(2.38)

где W₁, W₂, …, W_n – некоторые функции переменных x₁, x₂, …, x_n, определяющие вид уравнений.

Линеаризуем каждое уравнение системы путем разложения в ряд Тейлора в окрестностях p-го приближения переменных , , …, :

(2.39)

и окончательно в матричной форме

. (2.40)

Здесь W – вектор-столбец значений W_i, вычисленных при p-м приближении переменных; ΔX – вектор-столбец невязок переменных , компоненты которого являются неизвестными в системе (2.40); 0 – вектор-столбец, элементы которого равны нулю; – матрица производных , которая называется матрицей Якоби. Эти производные также вычисляются при p-м приближении переменных.

Матрица Якоби имеет следующую структуру:

.

В результате решения системы (2.40) на каждом шаге итерационного процесса определяются значения невязок переменных. Рекуррентная формула метода Ньютона имеет вид

. (2.41)

При расчете режимов электрических сетей методом Ньютона уравнения записываются в форме баланса мощностей или баланса токов в полярной системе координат.

Алгоритм решения уравнений баланса токов методом Ньютона.

1. Задается начальное приближение модулей и фаз напряжений. Рекомендуется принимать , .

2. Вычисляются значения функций W_i при данном приближении пере-менных:

(2.42)

Здесь нумерация узлов соответствует принятой в п. 2.1; W_а,i, W_р,i – действительная (активная) и мнимая (реактивная) составляющие уравнений баланса токов, вычисляемые при p-м приближении переменных:

,

i = 1…n, (2.43)

,

i = 1…n, (2.44)

,

i = (n + 1)…m. (2.45)

В формулах (2.43) и (2.44) учтено, что активная и реактивная мощности нагрузки могут зависеть от напряжения, и поэтому они также вычисляются заново на каждой итерации. Выражение (2.45) соответствует узлам, балансирующим по реактивной мощности. Значение P_i для этих узлов постоянно (и отрицательно, если мощность генерируется).

3. Проверяются условия

, (2.46)

где e – заданная точность решения.

Если эти условия выполнились для всех узлов, то расчет заканчивается,
и решением является последнее приближение переменных. Если условие
(2.46) не выполнилось хотя бы для одного узла, то осуществляется переход к пункту 4.

4. Вычисляются компоненты матрицы Якоби a_i,j при данном приближении переменных:

Например, производная функции W_а,i по напряжению U_i равна

, (2.47)

где производная активной мощности вычисляется при .

5. Составляется и решается линейная система (2.40), которая имеет порядок (n + m). Обычно для ее решения используется метод Гаусса.

6. Определяется (p+1)-е приближение переменных:

7. Осуществляется возврат к пункту 2.

Метод Ньютона имеет в среднем лучшую сходимость, чем метод Зейделя. Однако алгоритм расчета по методу Ньютона более сложный, и каждая итерация включает в себя большее количество вычислений.

В целом метод Ньютона и метод Зейделя конкурентоспособны. Но возможности расчета режимов электрических сетей методом Ньютона шире, чем методом Зейделя. Поэтому метод Ньютона является более распространенным.