Примеры расчёта напряжённости полей
С помощью теоремы Гаусса
Рассмотрим несколько примеров расчёта электростатических полей с помощью теоремы Гаусса.
Поле бесконечной равномерно заряженной
Прямолинейной нити
Рассмотрим равномерно заряженную бесконечно длинную нить. Линейная плотность заряда равна t.
Заряд, равномерно распределённый по нити, обладает симметрией – он симметричен относительно оси.
Нить имеет бесконечную длину, поэтому любому эле-ментарному заряду dq1 можно сопоставить другой элементарный заряд dq2, расположенный симметрично относительно некоторой точки в электростатическом поле.
Поскольку расстояние от эле-ментарных зарядов до этой точки одинаково, модули напряжён-ностей Е1 и Е2 одинаковы. Поэтому результирующая напряжённость
Е = Е1+Е2 направлена перпен-дикулярно нити (см. рисунок).
Очевидно, что и в других точ-ках, расположенных на таком же расстоянии от нити, напря-жённость будет иметь такую же величину и направление.
Элементарные заряды и точка в поле были выбраны случайно, поэтому вывод справедлив как для всех остальных элементарных зарядов, так и для всех точек поля.
Это означает, что электрическое поле, созданное заряженной нитью, симметрично относительно оси нити. Другими словами – симметрия поля тождественна симметрии заряда, создающего поле.
Таким образом, векторы напряжённости во всех точках окружающего пространства перпендикулярны нити и модули напряжённости на одинаковых расстояниях от нити одинаковы.
![]() |
Расчёт напряжённости поля с помощью теоремы Гаусса следует начинать с получения выражения для потока вектора Е.
В свою очередь, выражение для потока следует начинать с выбора формы замкнутой поверхности и её положения относительно источника поля.
Расчёт потока будет максимально прост, если выбрать такую поверхность, симметрия которой идентична симметрии создаю-щего поле заряда.
В данном случае удобно пользоваться замкнутой поверхностью с осевой симметрией.
Такой поверхностью является цилиндр, ось которого совпадает с нитью. Пусть высота цилиндра равна l, а радиус основания – r.
Поток вектора напряжённости поля, созданного нитью, складывается из потока через торцевые поверхности цилиндра и потока через боковую поверхность.
Поток через торцевые поверхности равен нулю, так как векторы напряжённости перпендикулярны нити и, соответ-ственно угол между векторами Е и n равен 900,
.
Поток через боковую поверхность
.
Поскольку все точки боковой поверхности расположены на одинаковых расстояниях от нити, модули напряжённости во всех точках боковой поверхности цилиндра одинаковы, т. е.
.
Таков вид выражения для потока вектора рассчитываемой напряжённости.
Следующий этап вычисления напряжённости электро-статического поля – расчёт суммарного заряда, охваченного замкнутой поверхностью.
Заряд, охваченный поверхностью s, можно найти так:
.
Тогда, по теореме Гаусса,
или
.
Отсюда
.
Таким образом, напряжённость электрического поля, создан-ного равномерно заряженной нитью, прямо пропорциональна линейной плотности заряда нити и обратно пропорциональна расстоянию от нити до интересующей нас точки.
Обратите внимание – напряжённость обратно пропорцио-нальна первой степени расстояния от нити (напряжённость поля точечного заряда обратно пропорциональна квадрату расстояния от заряда).