Условия для электростатического поля на границе раздела изотропных диэлектрических сред

1. Составляющая вектора напряженности, параллельная границе раздела диэлектриков (тангенциальная составляющая), не изменяется при переходе через границу раздела диэлектриков:

E_2t = E_1t и D _2t / D _1t = e ₂ / e ₁.

2. Разность нормальных составляющих вектора электрического смещения на границе раздела диэлектриков равна поверхностной плотности свободных электрических зарядов на границе раздела:

D_1n - D_2n= s _своб и e₁ Е_1n - e₂ E_2n= s _своб /e _о .

Р _1n - P _2n = s _связ .

Если s _своб = 0, то e₂ E _2n = e₁Е _1n и D _n2 = D _1n .

Примеры решения задач

Пример 1. Диагонали ромба имеют длину d₁ = 2 см, d₂ = 3 см. На концах короткой диагонали расположены заряды q₁ = 2 нКл, q₂ = 6 нКл; на концах длинной - заряды q₃ = 3 нКл, q₄ = 12 нКл. Определить модуль вектора напряженности электрического поля в центре ромба и угол между вектором напряженности и короткой диагональю.

Решение

Рис.1.5

Так как электрическое поле создано несколькими зарядами, то для нахождения его напряженности надо применить принцип суперпозиции. Напряженность результирующего поля равна векторной сумме напряженностей полей, созданных каждым зарядом в отдельности:

.

Направления векторов показаны на рис.1.5. Модули составляющих векторов можно найти по формуле напряженности поля точечного заряда:

Чтобы сложить вектора, выберем координатные оси х и у , как показано на рисунке, и найдем проекции результирующего вектора E_x и E_y как суммы проекций всех составляющих векторов на эти оси координат:

Здесь Е_1х = - Е₁, Е_2х = Е₂, Е_3х = 0, Е_4х = 0,

Е_1у = 0, Е_2у = 0, Е_3у = - Е₃, Е_4у = Е₄ .

Тогда

Вычислим проекции вектора :

Модуль результирующего вектора Е найдем через его проекции на оси координат:

Найдем теперь угол, который вектор образует с короткой диагональю ромба. Из рисунка видно, что значит a = 45^о.

Ответ: Е = 5,09×10⁵ В/м, a = 45^о.

Пример 2. Тонкий стержень длиной l = 10 см заряжен с линейной плотностью t = 400 нКл/м. Найти напряженность электрического поля в точке, расположенной на перпендикуляре к стержню, проведенном через один из его концов, на расстоянии r₀ = 8 см от его конца.

Рис.1.6

Решение

Применим принцип суперпозиции для поля непрерывно распределенных зарядов:

.

Выделим на стержне бесконечно малый участок длиной dl (рис.1.6) Находящийся на нем заряд можно считать точечным, и напряженность поля, созданного им, рассчитывать как

.

Из приведенного рисунка видно, что

Следует иметь в виду, что вектор, поэтому прежде чем интегрировать, выберем оси координат х и y и найдем проекции вектора на эти оси:

,

или, учитывая сделанные подстановки,

Интегрируя эти выражения в пределах от 0 до b (рис. 1.6. ), получим:

где Е_х и Е_у – проекции результирующего вектора на оси х и у.

Подставим числовые значения заданных величин в системе СИ и произведем вычисления:

Вектор напряженности определится через проекции Е_х и Е_у :

где – орты координатных осей х и у.

Модуль вектора напряженности найдем через его проекции на оси координат:

.

Вычислим:

Ответ: Е = 39,3×10³ В/м.

Пример 3. Тонкие стержни образуют квадрат со стороной l. Стержни заряжены с линейной плотностью t = 1,33 нКл/м. Найти потенциал j в центре квадрата.

Решение

По принципу суперпозиции потенциал поля, созданного в точке О (рис.1.7) всеми сторонами квадрата, равен алгебраической сумме потенциалов полей, созданных каждой из этих сторон:

.

Поскольку все стороны квадрата расположены симметрично относительно точки О, то можно считать, что

Следовательно, для нахождения j достаточно найти потенциал j₁ поля, созданного в точке О одной из сторон квадрата. Разобьем эту сторону на элементарные отрезки dl . Заряд, находящийся на каждом из них, dq = t dl можно рассматривать как точечный, тогда потенциал поля, созданного им, равен

Из рис.1.7 следует, что

Рис.1.7

Интегрируя полученное выражение в пределах от a₁ до a₂ , получим потенциал j₁:

Рис.1.9

Поскольку точка О расположена симметрично относительно углов квадрата, то a₁ = a₂ = p/4, поэтому

Потенциал результирующего поля j = 4 j₁, то есть

Вычислим j, подставляя числа в расчетную формулу:

Ответ: j = 84,4 В.

Пример 4. Лист стекла (e = 7) толщиной d = 2 см равномерно заряжен с объемной плотностью r = 1 мкКл/м³. Определить напряженность электрического поля в точках А,В,С (см. рис.1.8 ). Построить график зависимости Е (х).

Решение

Рис.1.10

Для решения задачи применим метод Гаусса. Из условия следует, что заряд, сообщенный листу стекла извне (его принято называть свободным зарядом) распределен в пространстве симметрично относительно плоскости, проходящей через точку А перпендикулярно оси х (см. рис.1.8). Поэтому есть основание утверждать, что электрическое поле симметрично относительно этой плоскости. Кроме того, так как мы рассматриваем диэлектрик, находящийся в электрическом поле, то чтобы исключить рассмотрение влияния поляризационных зарядов диэлектрика, теорему Гаусса следует применять для вектора электрического смещения . Полагая, что точки А,В,С достаточно удалены от краев листа стекла, можно считать, что линии вектора в любой точке расположены параллельно оси х. Исходя из этого, будем выбирать гауссову поверхность в виде цилиндра, образующие которого параллельны оси х, а основания перпендикулярны к ней и расположены от плоскости симметрии на равном расстоянии.

Начало координат оси х расположим в точке А.

Разобьем пространство на две области:

1. . Поток вектора электрического смещения через выбранную поверхность

равен

Первый интеграл равен нулю, так как линии вектора не пересекают боковую поверхность цилиндра. Второй и третий интегралы равны по признаку симметрии.

Свободный заряд, попавший внутрь выбранной поверхности, равен

.

По теореме Гаусса

Рис.1.8

.

Отсюда внутри листа стекла.

Известно, что в том случае, когда диэлектрик полностью заполняет пространство между двумя эквипотенциальными поверхностями, связь между электрическим смещением и напряженностью поля выражается весьма просто:

.

Это же справедливо и для модулей векторов. Тогда напряженность электрического поля внутри стекла равна .

2. . Поток вектора электрического смещения через поверхность цилиндра, как и в предыдущем случае выражается формулой .

Свободный заряд, попавший внутрь гауссовой поверхности, в этом случае равен

.

По теореме Гаусса .

Тогда , а напряженность, соответственно , так как вне стекла e = 1. Таким образом, вне листа стекла поле является однородным, его напряженность не зависит от координат.

Рис.1.9

Рис.1.11

Теперь построим график зависимости

модуля вектора напряженности от координаты х (рис.1.9).

Отметим, что при переходе из стекла в воздух модуль напряженности скачком увеличивается в e раз.

Найдем теперь численные значения напряженности Е в точках А,В,С (рис.1.9).

1. Точка А: х = 0; Е_А = 0.

2. Точка В: х = d/4; .

3. Точка С: х = d/2; Е_С имеет два значения:

а) внутри стекла ;

б) вне стекла .

Ответ: Е_А = 0; Е_В = 80,7 В/м; Е_С1 = 161,4 В/м, Е_С2 = 1130 В/м.

Пример 5. Эбонитовый сплошной шар ( e = 3) радиуса R = 5 см несет заряд, равномерно распределенный с объемной плотностью r = 10 нКл/м³. Определить напряженность электрического поля в точках: 1) на расстоянии r₁ = 3 см от центра шара; 2) на поверхности шара; 3) на расстоянии r₃ = 10 см от центра шара. Построить график зависимости Е(r).

Решение

Применим метод Гаусса. Как и в предыдущей задаче, теорему Гаусса надо применять для вектора электрического смещения , так как в этом случае достаточно учесть только дополнительные (свободные) заряды, сообщенные диэлектрику извне и не надо рассматривать связанные поляризационные заряды диэлектрика. Ввиду сферически симметричного распределения свободного заряда есть основание утверждать, что линии вектора в любой точке направлены вдоль радиусов, проведенных из точки О, и модуль D имеет одинаковое значение на равных расстояниях от центра шара О. Следовательно, в качестве гауссовых поверхностей следует выбирать сферы радиуса r с центром в точке О (рис.1.10).

Рассмотрим две области пространства:

Рис.1.10

1. . Поток вектора электрического смещения через гауссову сферу равен

.

Свободный заряд, попавший внутрь этой сферы, равен .

По теореме Гаусса , отсюда .

Так как и в этом примере диэлектрик заполняет пространство между двумя эквипотенциальными поверхностями, то связь между и имеет вид

.

Тогда модуль напряженности электрического поля равен .

2. . Поток вектора электрического смещения через сферу радиуса r , как и в предыдущем случае, равен .

Свободный заряд, попавший внутрь этой сферы с r > R – это весь заряд шара:

.

По теореме Гаусса , отсюда

, а напряженность поля в этой области , так как e = 1.

Получим .

Теперь можно построить график зависимости E(r) (рис.1.11).

Отметим, что на границе перехода поля из эбонита в воздух происходит скачок напряженности в e раз.

Вычислим значения напряженности в нужных точках:

1) r₁ = 3 см. .

Рис.1.11

2) r₂ = R . Напряженность имеет два значения:

а) внутри шара ;

б) вне шара .

3) r₃ = 10 см. .

Ответ: Е₁ = 3,37 В/м; Е(R)₁ = 6,28 В/м, Е(R)₂ = 18,8 В/м; Е₃ = 4,7 В/м .

Пример 6. Сплошной парафиновый шар (e = 2) радиусом R =10 см равномерно заряжен с объемной плотностью r = 1 мкКл/м³. Определить потенциал электрического поля в центре шара и на его поверхности. Построить график зависимости j (r).

Решение

Воспользуемся связью между напряженностью и потенциалом электростатического поля .

Для поля со сферической симметрией, каким является поле шара, это соотношение можно записать в виде , где E_r – проекция вектора напряженности на радиус – вектор , проведенный из центра шара. В нашем случае E_r = E, то есть модулю вектора напряженности.

Тогда разность потенциалов двух точек поля может быть найдена интегрированием

.

Для нахождения численного значения потенциала необходимо задать нулевой уровень потенциала. В данном случае нулевой уровень удобнее всего задать в бесконечности.

Тогда , где j_R – потенциал на поверхности шара.

Учтем, что , а выражение для напряженности поля в пространстве, окружающем шар, возьмем из предыдущей задачи .

Тогда .

Разность потенциалов между центром шара и его поверхностью найдем таким же способом , где j₀ – потенциал в центре шара.

Тогда , а напряженность поля внутри шара опять возьмем из предыдущей задачи: . Найдем j₀:

.

Нарисуем график зависимости j (r) (рис.1.12).

Рис.1.12

Найдем численные значения потенциалов на поверхности шара j_R и в его центре j₀.

Ответ: j_R = 377 В, j₀ = 472 В.