Электроемкость. Энергия электростатического поля

Основные формулы

1. Работа электрических сил по переносу заряда q из точки с потенциалом φ₁ в точку с потенциалом φ₂

А = q(φ₁ – φ₂).

2. Работа по переносу точечного заряда q₁ в поле точечного заряда q₂ из точки 1 в точку 2

,

где r₁ и r₂ – расстояния от точек 1 и 2 соответственно до заряда q₁.

3. Работа по переносу заряда q по любой траектории в неоднородном поле

.

4. Электроемкость проводника и конденсатора

5. Электроемкость плоского, сферического и цилиндрического конденсаторов

.

6. Электроемкость последовательно и параллельно соединенных конденсаторов

7. Электроемкость шара

.

8. Собственная энергия заряженного проводника

.

9. Собственная энергия заряженного конденсатора

.

10. Энергия неоднородного электростатического поля

,

объёмная плотность энергии , V – объём, занимаемый полем.

11. Энергия системы неподвижных точечных зарядов

,

где φ_i – потенциал поля, создаваемого всеми зарядами, кроме i–го, в точке, где находится заряд q_i.

Примеры решения задач

Задача 1. Найти работу, которую нужно затратить, чтобы вынуть диэлектрик, расположенный между обкладками плоского конденсатора, для двух случаев:

а) когда конденсатор отключен от источника напряжения; б) не отключен от источника напряжения. Площадь каждой обкладки конденсатора и расстояние между ними равны соответственно S и d. Толщина диэлектрика равна d₁, а его диэлектрическая проницаемостьe (рис. 2.1).

Дано: q, U, S, d, d1, e А - ?

Решение Рис. 2.1

В первом случае заряд q на обкладках является постоянным. Работа внешних сил А по удалению диэлектрика из конденсатора равна взятой с обратным знаком работе электрических сил А_эл. Согласно закону сохранения энергии работу электрических сил А_эл. можно определить как разность между начальной W₁ и конечной W₂ энергиями конденсатора.

,

где U₁ и U₂ - соответственно начальное (без диэлектрика) и конечное (с диэлектриком) значения напряжения на конденсаторе.

Следовательно,

. (1)

Чтобы найти U₁ и U₂, воспользуемся формулой связи напряженности с потенциалом:

, (2)

где E – напряженность электрического поля между обкладками плоского конденсатора.

- в диэлектрике. (3)

Ось х выбираем перпендикулярно плоскости обкладок. Подставляя (3) в (2) и решая интегралы, получим

.

Следовательно, величина работы

.

Во втором случае напряжение U на обкладках поддерживается постоянными. Как и в предыдущем случае, работа А по удалению диэлектрика из конденсатора будет равна взятой с обратным знаком работе электрических сил А_эл. Однако последняя в данном случае будет определяться иначе.

А_эл. = W₁ – W₂ + А_q ,

где W₁ = q₁U/2 - начальная и W₂ = q₂U/2 - конечная энергии конденсатора, А_q = U(q₂ – q₁) – работа по переносу заряда от источника питания, q₁ и q₂ – соответственно начальный и конечный заряды на конденсаторе.

Следовательно,

А = U^.(q₁ – q₂)/2 = W₁ – W_2.

Определяя заряды q₁ и q₂ из выражения для U, которые по аналогии с предыдущим случаем можно записать в виде

,

где σ₁ = q₁/S и σ₂ = q₂/S,

получим ;

и окончательно .

Задача 2. Два далеко расположенных металлических шара, первый с зарядомq₁ = 10 нКл и радиусомR₁ = 3 cм, а второй с потенциалом φ₂ = 9кВ и радиусом R₂ = 2 cм, соединяют проволокой, емкостью которой можно пренебречь. Найти:

а) энергию W₁ и W₂ каждого шара до их соединения; б) энергию ∆W, которая выделяется в процессе установления равновесия после соединения шаров.

Дано: q1 = 10 нКл = 10-8 Кл R1 = 3 cм = 3.10-2 м φ2 = 9 кВ = 9.103 В R2 = 2 cм = 2.10-2 м W1 - ? W2 - ? ∆W - ?

Решение Поскольку шары расположены далеко друг от друга, то их можно считать уединенными. В этом случае их энергию можно определить по формулам   W1 = q12/2C1, W2 = C2φ22/2.

Емкости шаров в вакууме определяются формулами

C₁ = 4π^. ₀R₁, C₂ = 4π^. ₀R_2.

Следовательно, энергии шаров до их соединения равны соответственно

При соединении шаров проволокой они становятся единым проводником, потенциал которого после установления равновесного распределения зарядов во всех точках системы одинаков. При этом общий заряд сохраняется. Будем обозначать величины в конечном состоянии звездочкой. По закону сохранения заряда

q₁ + q₂ = q₁^* + q₂^*,

q₁ + C₂ φ₂ = (C₁ + C₂) φ^*,

отсюда .

Энергия поля в конечном состоянии W_кон. = C₁(φ^*)²/2 + C₂(φ^*)²/2.

Решая систему математически, получим W_кон. = 81^.10^-6 = 81 мкДж.

Энергия, которая выделится к моменту установления равновесного состояния, равна разности начальной и конечной электрической энергии системы:

∆W = (W₁ + W₂) – W_кон. = 15 + 90 – 81 = 24 мкДж.

Задача 3. Два точечных заряда q₁ = 3,33 нКл и q₂ = -3,33 нКл расположены на расстоянии а = 8 см. Определить работу электрических сил по перемещению заряда q = 1нКлиз точки А в точку В и из точки С в точку D, еслиr = 6 см (рис 2.2).

Дано: q = 1нКл = 10-9 Кл r = 6 см = 6.10-2 м а = 8 см = 8.10-2 м q1 = - q2 = 3,33 нКл = 3,33 .10-9 Кл ААВ - ? АCD - ?

Решение Рис. 2.2

Работа сил по перемещению заряда q из точки А в точку В:

А_АВ = q(φ_А – φ_В), (1)

где φ_А и φ_В – потенциалы поля, образованного зарядами q₁ и q₂ в точках А и В. Заметим, что потенциал отрицательного заряда q₂ отрицателен. Согласно принципу суперпозиции полей

,

,

где r₁ = r, r₂ = .

Подставляя φ_А, φ_В, r₁ и r₂ в уравнение (1) и учитывая, что |q₁| = |q₂|, находим А_АВ:

.

Подставим численные значения:

.

Работа по перемещению заряда q из точки С в точку D

А_СD = q(φ_C – φ_D), (2)

где φ_C и φ_D - потенциалы поля, образованного зарядами q₁ и q₂ в точках С и D. ,

,

где r₃ = a/2 ; r₄ = .

Подставляя φ_С, φ_D, r₃ и r₄ в уравнение (2), получим, что

Задача 4. В поле, созданном заряженной сферой радиусом 10 см, движется электрон по радиусу между точками, находящимися на расстояниях 12 и 15 см от центра сферы (рис. 2.3). При этом скорость электрона изменяется от 2^.10⁵ до 2^.10⁶ м/с. Найти поверхностную плотность заряда сферы.

Дано: R = 10 cм = 10.10-2 м r1 = 12 см = 12.10-2 м r2 = 15 см = 15.10-2 V1 = 2.105 м/с V2 = 2.106 м/с q = 1,6.10-19 Kл m = 9,1.10-31 кг σ - ?

Решение Рис. 2.3

При движении электрона электрическое поле совершает работу, равную изменению его кинетической энергии: А = ∆W_k .

A = m( )/2. (1)

С другой стороны, dA = F_эл^. dr^.cosα – элементарная работа cил электрического поля, где F_эл = qE.

Напряженность на расстоянии r от заряда Q

,

причем Q = 4πσR², cosα = 1, ε = 1.

Полная работа по перемещению электрона A = ∫dA.

Отсюда . (2)

Приравнивая правые части выражений (1) и (2):

,

находим, что поверхностная плотность заряда сферы

.

Подставляя численные значения величин, получим:

Задача 5. Управляющие пластины в электронно-лучевой трубке образуют плоский конденсатор. Расстояние между пластинами 10 мм, длина стороны пластины 5 см. В конденсатор посередине влетает параллельно пластинам электрон со скоростью V₀ = 2^.10⁷ м/с (рис. 2.4). Какова будет форма траектории электрона внутри конденсатора? На какое расстояние h от первоначального направления сместится электрон к моменту вылета из конденсатора?

Дано: e = 1,6.10-19 Кл m = 9,1.10-31 кг ℓ = 5 см = 5.10-2 м d = 10 мм = 10-2 U = 50 В d/2 = 5мм = 5. 10-3 V0 = 2.107 м/с h - ?

Решение Рис. 2.4

Напряженность однородного поля внутри плоского конденсатора Е = U/d.

На электрон в вертикальном направлении действует сила F = eE, которая сообщает электрону вертикальное ускорение:

а = F/m = qU/md. (1)

Двумерное движение электрона по параболе можно представить как сумму двух простых движений по осям Х и Y. В направлении оси Х движение электрона равномерное:

V_Х = V₀ , х = ℓ = V₀t. (2)

В направлении оси Y движение равноускоренное с нулевой начальной скоростью (V_0Y = 0):

V_Y = at; у = h = at²/2. (3)

Совместное решение уравнений (1), (2) и (3) позволяет определить, что к моменту вылета из конденсатора электрон сместится от первоначального направления на расстояние

.

Подставим числовые значения:

Задача 6.Фарфоровый шар радиусом 6 см (e = 5) заряжен с объёмной плотностью заряда 10 нКл/м.³ Найти отношение энергий электрического поля, сосредоточенного внутри и вне шара.

Дано: ρ = 10 нКл/м3 = 10-8 Кл/м3 e1 = 5 e2 = 1 R = 6 см = 6.10-2 м W1/W2 - ?

Решение Рис. 2.5

Заряженный фарфоровый шар создает электрическое поле в двух областях: внутри себя (область I) и снаружи (область II) (рис. 2.5а). Зависимость напряженности Е от расстояния r для обеих областей пространства различна:

область I , (1)

область II . (2)

Чтобы найти энергию электрического поля, которое обладает сферической симметрией как внутри шара, так и вне его, разделим пространство на тонкие шаровые слои толщиной dr. Рассмотрим один такой слой радиусом r внутри шара (рис. 2.5 б). Энергию, заключенную в слое, найдем как

dW = ω ^. dV, (3)

где ω – объёмная плотность энергии, которую можно найти по формуле

, (4)

dV – объём шарового слоя, равный площади сферы радиусом r, умноженной на толщину слоя dr:

dV = 4πr^2.dr. (5)

В пределах слоя величины Е и ω постоянны. Для всех слоёв как напряженность, так и объёмная плотность энергии зависят от r.

Полная энергия электрического поля W в объёме V равна сумме всех энергий dW_i.

W = ∫dW = ∫ωdV. (6)

^{V V}

Решим уравнение (6) для области I, подставив в интеграл формулы (5), (4), (1):

. (7)

Решим уравнение (6) для области II, подставив в интеграл формулы (5), (4), (2):

. (8)

Разделим (7) на (8):

Энергия во втором слое в 25 раз больше, чем в первом.