Соединение конденсаторов

При последовательном соединении конденсаторов заряды всех конденсаторов одинаковы, а напряжения складываются.

q₁ = q₂ = q₃; U₁ = U₁ + U₂ + U₃;

При последовательном соединении конденсаторов величина обратная емкости батареи равна сумме обратных емкостей отдельных конденсаторов

.

При параллельном соединении конденсаторов емкость батареи равна сумме емкостей отдельных конденсаторов. Заряды отдельных конденсаторов пропорциональны емкостям, а суммарный заряд равен сумме зарядов отдельных конденсаторов

C = C₁ + C₂ + C₃. q = q₁ + q₂ + q_3.

U = U₁ = U₂ = U₃.

Энергия заряженного проводника и конденсатора

Заряд, находящийся на проводнике можно рассматривать, как систему взаимодействующих между собой точечных зарядов. Такая система обладает потенциальной энергией. Потенциальной энергией, которой обладает заряженный проводник в отсутствии внешнего электрического поля, называется собственной энергией проводника. Энергия уединенного заряженного проводника может быть определена по одной из формул

,

где - заряд проводника, - потенциал проводника, - электроемкость проводника.

Энергия конденсатора, т.е. системы, состоящей из двух проводников, может быть определена по следующим формулам

,

где - величина заряда одной обкладки конденсатора, - разность потенциалов между обкладками конденсатора, - электроемкость конденсатора.

В случае плоского конденсатора энергия модет быть вычислена следующим образом

Энергия электрического поля

Пространственное распределение энергии характеризуется объемной плотностью энергии - это энергия поля, приходящаяся на единицу объема. Если энергия распределена равномерно, то плотность энергии вычисляется по формуле

Зная пространственное распределение плотности энергии, можно решить задачу нахождения энергии поля, заключенной в объеме V:

Порядок решения задач

Задачи этого раздела связаны с изменением емкости конденсаторов за счет внешнего воздействия на них, могут изменяться размеры конденсатора или среда между обкладками конденсатора. Изменения могут производиться как при включенном источнике, так и при отключенном. При этом изменение емкости может сопровождаться перемещением зарядов по системе. При изменении емкости изменяется и энергия поля конденсатора.

Порядок решения задач:

1. Нарисовать систему конденсаторов или один конденсатор в различных ситуациях.

2. Проанализировать соединение конденсаторов, понять, какие изменения происходят с системой и при этом подключен источник или нет.

Поняв это, записать, какие характеристики системы изменяются, а какие остаются постоянными.

3. Используя основные определения и законы, составить систему уравнений, позволяющую найти неизвестные.

4. Решить систему уравнений, найти искомые величины.

Примеры решения задач

Пример 3. Площадь пластин плоского воздушного конденсатора S = 0,01 м², расстояние между ними d = 5 мм. К пластинам приложена разность потенциалов U₁ = 300 B. После отключения конденсаторов от источника напряжения пространство между пластинами заполняется эбонитом. Какова будет разность потенциалов U₂ между пластинами после заполнения? Найти емкости конденсатора С₁ и С₂ и поверхностные плотности заряда s₁ и s₂ на пластинах до и после заполнения. Диэлектрическая проницаемость эбонита e = 2,6.

Дано:

S = 0,01 м²

d = 5 мм = 0,005 м;

U₁ = 300 В;

e = 2,6

___________

C₁ - ? C₂ - ? Анализ: Конденсатор заполняют эбонитом при

s₁ - ? s₂ - ? U₂ - ? отключенном источнике, следовательно, заряд не изменяется q₁ = q₂. Поверхностная плотность зарядов также не изменяется:

Емкость плоского конденсатора зависит прямо пропорционально от диэлектрической проницаемости среды между обкладками конденсатора , поэтому при внесении эбонита в пространство между обкладками, емкость конденсатора увеличивается в раз.

Решение : Определим емкости конденсатора до и после внесения диэлектрика.

Емкость конденсатора можно вычислить по формуле .

В первом случае среда между обкладками - воздух, т.е. e₁ = 1, а во втором - эбонит (e₂ = 2,6).

Подставив численные значения, получаем:

Для определения разности потенциалов после внесения диэлектрика в конденсатор воспользуемся формулами для вычисления напряженности поля плоского конденсатора и формулой, связывающей напряженность поля с разностью потенциалов

До внесения диэлектрика среда между обкладками – воздух, следовательно, e₁ = 1 и поэтому и

После внесения эбонита диэлектрическая проницаемость станет равной e₂ = 2,6.

Учитывая это, можно написать и

Сравнивая эти формулы, получаем

Подставив численные значения, получаем

Осталось определить поверхностную плотность заряда на обкладках конденсатора. Мы уже отмечали, что заряд на конденсаторе не изменяется, т.к. источник питания отключен, поэтому определим величину s₁ из формулы для разности потенциалов в первом случае

или

Вычислим численное значение поверхностной плотности заряда

Ответ: после заполнения конденсатора эбонитом установилось напряжение, равное 115 В, емкости конденсатора до и после заполнения соответственно равны 17,7пФ и 46 пФ, поверхностные плотности заряда будут одинаковы и равны 531 нКл/м.

Пример 3.

Пластины плоского воздушного конденсатора, расположенного горизонтально, заряжены одинаковым по модулю разноимённым зарядом и отсоединены от источника напряжения. Между пластинами находится в равновесии маленькая капелька, имеющая точечный заряд q₀ = 10^-8 Кл. и массу m = 0.010 кг.

1) Определите поверхностную плотность заряда пластин конденсатора σ.

2) Чему равна работа электростатических сил А при раздвижении пластин друг от друга от расстояния d₁=3см до d₂= 5см. Площадь одной пластины S = 200 см².

Дано:
q0=	10-8 Кл
d1=	3см
d2=	5см
m=	10мг=10-5г
S=	200 см2
Найти:
	-? -?
A

Анализ: Заряд находится в равновесии в поле конденсатора, следовательно, сила действия электрического поля равна силе тяжести капельки и противоположно направлена. Отсюда следует, что верхняя пластинка заряжена отрицательно, а нижняя – положительно. Выполним рисунок: на нем показано сечение конденсатора, ход силовых линий, положение заряженной капельки и действующие на нее силы.

Решение: Поскольку заряд находится в равновесии, то можно записать условие равновесия капельки в векторном виде:

.

В проекции на вертикальную ось OУ. направленную вверх,получим:

или

Отсюда можем выразить E:

Напряженность поля плоского конденсатора запишем один раз из условия равновесия, а другой раз из выражения для напряженности поля плоского конденсатора или .

Приравняв правые части этих уравнений получим выражение из которого можно найти поверхностную плотность заряда пластины конденсатора:

, т.к. конденсатор воздушный.

Вычислим искомую величину: Кл.

Поле конденсатора однородное, т.е. вектор одинаков во всех точках пространства. Будем считать, что одна пластина создает поле, и оно действует на заряд другой пластины. Напряженность поля одной пластины находится

следующим образом: , но =1, т.к. конденсатор воздушный, т.е. между пластинами воздух. Сила, с которой электрическое поле одной пластины действует на заряд другой равна:

, где - заряд одной пластины по модулю.

Поскольку поле однородное, тo, = constи работу можно считать следующим образом:

Угол между силой и перемещением равен 180°, т.к. пластины заряжены разноимёнными зарядами.

Ответ: 1) Кл

2) .

Пример 3.11

Площадь пластин плоского воздушного конденсатора S = 0,01 м², расстояние между ними d₁ = 2 см. К пластинам конденсатора приложена разность потенциалов U = 3 кВ. Какова будет напряженность E₂ поля конденсатора, если, не отключая его от источника напряжения, пластины раздвинуть до расстояния d₂ = 5 см? Найти энергии W₁ и W₂ конденсатора до и после раздвижения пластин.

Дано:

S = 0,01 м²;

d₁ = 2 см = 0,02 м;

U = 3 кВ = 3 10³ В;

d₂ = 5 см = 0,05 м Анализ:Изменение параметров конденсатора ________________ производят не отключая от источника, следовательно E₂ - ? U = U₁ = U₂ = э.д.с. Заряд изменяется: q₁ ¹ q₂. поскольку при W₁ - ? W₂ -? увеличении расстояния между пластинами электроемкость конденсатора изменяется. По условию, среда между обкладками – воздух, поэтому .

Решение: Емкость конденсатора при раздвижении пластин уменьшается, т.к. увеличивается расстояние между пластинами.

Чем больше d, тем меньше емкость.

Найдем напряженность поля после раздвижения пластин

Энергия конденсатора до раздвижения пластин

После раздвижения пластин энергия конденсатора

Ответ: напряженность поля в конденсаторе после раздвижения пластин Е₂ = 6×10⁴ В/м; энергии конденсатора до раздвижения и после раздвижения пластин соответственно равны W₁ = 2×10^-5 Дж и W₂ =8×10^-6 Дж.

Пример 3.12

Заряженный шар 1 радиусом R₁ = 2 см приводится в соприкосновение с незаряженным шаром 2, радиус которого R₂ = 3 см. После того как шары разъединили, энергия шара 2 оказалась равной W₂ = 0,4 Дж. Какой заряд q₁ ,был на шаре 1 до соприкосновения с шаром 2?

Дано : R₁ = 2 см = 0,02 м;

R₂ = 3 см = 0,03 м;

q₂ = 0

W₂ = 0,04 Дж;

_______________

q₁ - ?

Анализ:В начальный момент первый шар имел заряд, а второй был незаряженным. При соприкосновении шаров заряд перераспределяется по поверхностям двух шаров так, чтобы потенциалы всех точек обеих поверхностей стали одинаковы. j₁¢ = j₂¢.

Суммарный заряд шаров после разъединения по закону сохранения заряда равен заряду первого шара до соединения, поскольку система является электроизолированной. q₁ = q₁¢+ q₂¢.

Решение :

Потенциал каждого шара после перераспределения заряда можно вычислить следующим образом:

Шары, соединенные проволочкой, представляют собой единую металлическую поверхность, а любая заряженная поверхность является эквипотенциальной поверхностью, поэтому потенциалы шаров равны между собой.

или

Получим формулу для вычисления заряда первого шара после разведения шаров

Заряд второго шарика можно определить, поскольку известна энергия этого шара после разъединения шаров.

где С₂ = 4pe₀R₂ - емкость шара.

Отсюда заряд второго шара после разъединения шаров равен

q₂¢ = 2С₂W₂ = 2×4pe₀R₂ W₂.

Теперь можно найти заряд q₁¢

Система проводников является электроизолированной и полный заряд системы не изменяется, поэтому начальный заряд первого шара равен сумме зарядов двух шаров после разъединения: q_{1 =} q_1¢ + q₂¢

Окончательно имеем:

Подставив численные значения, получим

Ответ: первый шар в начальный момент имел заряд q₁ = 2,7 мкКл.

Пример 3.13

Пластины плоского конденсатора площадью S = 100 см²
каждая притягиваются друг к другу с силой F =4,9×10^-3Н. Пространство
между пластинами заполнено слюдой. Найти: 1) величину заряда, находящегося на каждой пластин q; 2) напряженность поля между пластинами Е; 3) энергию в единице объема поля конденсатора v, диэлектрическая проницаемость слюды e_сл = 6.

Дано:

S = 0,01 м² Анализ: Пластины конденсатора заряжены F = 4,9×10^-3 Н разноименными зарядами и поэтому

e_ел = 6 притягиваются друг к другу. Взаимодействие пластин можно рассматривать следующим образом: заряд одной

_______________ пластины создает поле с напряженностью и это поле действует на заряд другой пластины с силой F = q×E₁.

E - ? q - ? v - ? , где E₁ - напряженность поля одной пластины, а q – заряд другой пластины.

Решение: Для нахождения заряда одной из пластин вспомним формулу для нахождения напряженности поля бесконечно протяженной заряженной пластины

где - поверхностная плотность заряда пластины.

Подставив формулу для напряженности поля одной пластины в формулу для силы взаимодействия пластин равна, получим

Отсюда найдем заряд одной пластины

Подставим численные данные

Зная заряд, определим напряженность поля конденсатора

Получим численный ответ

Объемная плотность энергии равна

Подставим выражение для q в формулу для определения объемной плотности энергии, получим

Вычислим численные значения заряда одной пластины, напряженность поля конденсатора и объемную плотность энергии поля конденсатора:

Ответ: а) на одной пластине находится заряд равный 10^-7 Кл, напряженность поля равна 1,9×10⁵ В/м, объемная плотность энергии равна 1,9×10⁷ Дж/м³ .