Метод узловых потенциалов в матричной форме
На основании полученного выше соотношения (4), представляющего собой, как было указано, матричную запись закона Ома, запишем матричное выражение:
 , | (14) |
где 
- диагональная матрица проводимостей ветвей, все члены которой, за исключением элементов главной диагонали, равны нулю.
МатрицыZ и Y взаимно обратны.
Умножив обе части равенства (14) на узловую матрицуАи учитывая первый закон Кирхгофа, согласно которому
 , | (15) |
получим:
 . . | (16) |
Выражение (16) перепишем, как:
 . | (17) |
Принимая потенциал узла, для которого отсутствует строка в матрице А, равным нулю, определим напряжения на зажимах ветвей:
 . | (18) |
Тогда получаем матричное уравнение вида:
 . | (19) |
Данное уравнение представляет собой узловые уравнения в матричной форме. Если обозначить
 | (20) |
 , | (21) |
то получим матричную форму записи уравнений, составленных по методу узловых потенциалов:
 | (22) |
где 
- матрица узловых проводимостей; 
- матрица узловых токов.
В развернутом виде соотношение (22) можно записать, как:
 | (23) |
то есть получили известный из метода узловых потенциалов результат.
Рассмотрим составление узловых уравнений на примере схемы по рис. 4.
 |  |
Данная схема имеет 3 узла (m=3) и 5 ветвей (n=5). Граф схемы с выбранной ориентацией ветвей представлен на рис. 5.
Узловая матрица (примем 
)
| А |  |
Диагональная матрица проводимостей ветвей:
| Y |  , |
где 
.
Матрица узловых проводимостей
 |  |
.
Матрицы токов и ЭДС источников
 |  |
 |  |
. .Следовательно, матрица узловых токов будет иметь вид:
 |  |
.Таким образом, окончательно получаем:
,
где 
; 
; 
; 
; 
.
Анализ результатов показывает, что полученные уравнения идентичны тем, которые можно записать непосредственно из рассмотрения схемы по известным правилам составления уравнений по методу узловых потенциалов.
Литература
- Основытеории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
- Бессонов Л.А.Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
Контрольные вопросы и задачи
- В чем заключаются преимуществаиспользования матричныхметодоврасчета цепей?
- Запишите выражения матрицы контурных сопротивлений и матрицы контурных ЭДС.
- Запишите выражения матрицы узловых проводимостей и матрицы узловых токов.
- Составить узловые уравнения для цепи на рис. 2.
Ответ:
.
- Составить контурные уравнения для цепи рис. 4, приняв, что дерево образовано ветвями 3 и 4 (см. рис. 5).
Ответ:
.
Лекция N 7