Теорема Остроградского - Гаусса
Вычисление напряженности электрического поля во многих случаях сильно упрощается применением теоремы, которая была установлена М.В. Остроградским в виде некоторой общей математической теоремы и К. Гауссом - применительно к случаю электрического поля.
Рассмотрим точечный положительный заряд q и в соответствии с формулами (3.6) и (3.7) вычислим поток вектора напряженности сквозь сферическую поверхность S (рисунок 10), окружающую этот заряд и имеющую центр в точке нахождения заряда. За положительное направление нормали выберем направление внешней нормали. В этом случае напряженность поля Е во всех точках сферической поверхности одинакова (см. уравнение (3.3)), а cosa =1. Тогда поток вектора напряженности через сферическую поверхность (с учетом того, что площадь поверхности S сферы радиуса R равен S=4pR2):
Ф= 
= 
= 
= 
= 
= 
, (6.1)
где a - угол между нормалью 
и вектором напряженности 
в данной точке сферической поверхности.
Полученный результат справедлив не только для сферической поверхности, но и для любой замкнутой поверхности и для любого произвольного расположения заряда q внутри поверхности. Если под q подразумевать алгебраическую сумму всех зарядов внутри поверхности, то выражение (6.1) примет вид
= 
. (6.2)
Формула (6.2) выражает суть теоремы Остроградского – Гаусса: поток вектора напряженности электрического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную e0.
При доказательстве этой теоремы мы исходили из закона Кулона, и потому она есть следствие этого закона.
Если заряды, находящиеся внутри замкнутой поверхности, не точечные, а распределены непрерывно с объемной плотностью r (см. (2.7)), зависящей от координат, то можно считать, что каждый элементарный объем dV содержит заряд r×dV. Тогда выражение (6.2) примет вид:
= 
, (6.3)
где интегрирование проводится по объему, заключенному внутри замкнутой поверхности S.
Рассмотрим некоторые примеры использования теоремы Остроградского – Гаусса.
1. О невозможности устойчивого равновесия заряда в электрическом поле.Пусть в вакууме имеется система неподвижных точечных зарядов, находящихся в равновесии. Рассмотрим один из этих зарядов – заряд q. Может ли состояние его равновесия быть устойчивым?
Чтобы ответить на этот вопрос окружим заряд q небольшой замкнутой поверхностью S (рисунок 11). Допустим для определенности, что q > 0. Тогда для того, чтобы равновесие заряда q было устойчивым, необходимо, чтобы во всех точках поверхности S поле , образованное всеми остальными зарядами системы, было направлено к заряду q. Только в этом случае при любом малом смещении заряд q из положения равновесия на него будет действовать возвращающая сила,и положение равновесия действительно будет устойчивым. Но такая конфигурация поля вокруг заряда q противоречит теореме Остроградского – Гаусса: поток вектора сквозь поверхность S отрицателен, согласно же теореме Остроградского – Гаусса он должен быть равным нулю, так как этот поток создается зарядами, расположенными вне поверхности S. А равенство потока вектора нулю означает, что в каких-то точках поверхности S вектор направлен внутрь, а в каких-то обязательно наружу. Отсюда и следует, что устойчивое равновесие заряда в любом электростатическом поле невозможно.
2. Электростатическое поле бесконечной равномерно заряженной плоскости. Пусть поверхностная плотность заряда s на заряженной плоскости постоянна. Ввиду симметрии вектор должен быть перпендикулярен к этой плоскости. Он направлен от плоскости, если она заряжена положительно, и к плоскости, если ее заряд отрицателен. Для определенности предположим, что s > 0 (s = dq/dS - заряд, приходящийся на единицу поверхности). Ввиду симметрии модуль (длина) вектора может зависеть только от расстояния до заряженной плоскости, но не может зависеть от того, по какую сторону от нее находится точка наблюдения. Выделим в качестве замкнутой поверхности цилиндр, ограниченный двумя плоскими основаниями, перпендикулярными к силовым линиям и расположенными по обеим сторонам заряженной плоскости (рисунок 12). Так как образующие цилиндра параллельны линиям напряженности (cosa = 0), то поток вектора напряженности сквозь боковую поверхность цилиндра равен нулю, а полный поток сквозь цилиндр равен сумме потоков сквозь его основания (площади оснований равны, а проекция вектора напряженности на направление нормали Еn к основанию совпадает с Е), т.е. равен 2ES. Заряд, заключенный внутри цилиндрической поверхности, равен sS. Согласно теореме Остроградского – Гаусса (6.1) 2ES =sS/e0, откуда следует выражение для напряженности поля равномерно заряженной плоскости в вакууме:
Е= 
. (6.4)
Из формулы (6.4) вытекает, что напряженность поля бесконечной заряженной плоскости Е не зависит от расстояния от нее. Иными словами, поле равномерно заряженной плоскости однородно. Плоскость может считаться бесконечной, если расстояние от нее пренебрежимо мало по сравнению с ее размерами. Только на таких расстояниях напряженность Е не зависит от расстояния до плоскости. На больших расстояниях формула (6.4) неприменима, - напряженность поля убывает с расстоянием. Если расстояние порядка размеров самой плоскости, то величина и направление поля в пространстве меняется очень сложным образом. На расстояниях, очень больших по сравнению с размерами плоскости, заряженная плоскость действует как точечный заряд – поле убывает обратно пропорционально квадрату расстояния.
Отметим еще, что по разные стороны плоскости векторы одинаковы по модулю, но противоположны по направлению.
3. Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей (рисунок 13). Пусть плоскости заряжены равномерно разноименными зарядами с поверхностными плотностями +s и -s. Поле таких плоскостей найдем как суперпозицию полей, создаваемых каждой из плоскостей в отдельности ( 
). На рисунке верхние стрелки соответствуют полю (напряженностью 
) от положительно заряженной плоскости, нижние стрелки соответствуют полю (напряженностью 
) от отрицательно заряженной плоскости. Между плоскостями напряженности полей имеют одинаковое направление, поэтому в соответствии с (6.4) результирующая напряженность поля между плоскостями будет равна
Е= 
, (6.5)
где под s подразумевается модуль поверхностной плотности заряда.
Слева и справа от плоскостей поля вычитаются (линии напряженности направлены навстречу друг другу), поэтому здесь результирующая напряженность поля Е = 0.
Таким образом, поле оказывается сосредоточенным между плоскостями. Напряженность поля во всех точках этой области одинакова, следовательно, поле однородно. Силовые линии представляют собой совокупность параллельных равноотстоящих прямых. Полученный результат приближенно справедлив и для плоскостей конечных размеров, если расстояние между плоскостями значительно меньше их линейных размеров (плоский конденсатор). В этом случае заметные отклонения наблюдаются только вблизи краев пластин (этим при расчетах часто пренебрегают).
Теперь немного о равновесии зарядов в проводниках. Если электрические заряды находятся в равновесии в каком-либо проводнике, т.е. если в этом проводнике нет электрического тока, то напряженность поля 
в любой точке этого проводника равна нулю. Действительно, если бы это условие не выполнялось, то подвижные заряженные частицы, имеющиеся во всяком проводнике, под действием сил поля пришли бы в движение, и равновесие было бы нарушено.
Кроме того, в § 1.4 мы выяснили, что при равновесии зарядов вектор напряженности поля у поверхности проводника перпендикулярен к поверхности. Отсюда следует, что для перемещения заряда из какой-либо точки проводника в любую другую его точку не требуется никакой работы. Но согласно (4.18) это означает, что разность потенциалов любой пары точек как внутри проводника, так и на его поверхности равна нулю. В отсутствие электрического тока все точки проводника или полого замкнутого проводника имеют одинаковый электрический потенциал.
Из равенства = 0 следует, что объемная плотность заряда r внутри проводника также равна нулю. В отсутствие электрического тока заряды распределяются только на поверхности проводника. Если бы мы из сплошного проводника удалили внутреннюю часть, то получили бы замкнутый проводник (наподобие жестяной банки). Так как внутренняя часть не имела зарядов, то ее удаление не изменит распределения зарядов внутри оставшейся части проводника. Поэтому равновесное распределение зарядов в полом проводнике будет таким же, как и в сплошном проводнике, т.е. заряды будут распределены только на внешней поверхности. Напряженность же поля будет равна нулю в любой точке внутри стенок и в любой точке внутри полости.
Контрольные вопросы
1 В чем заключается закон сохранения заряда? Приведите примеры проявления этого закона.
2 Какой заряд называют элементарным? Каково его значение?
3 Что означает дискретность электрических зарядов?
4 Какой заряд называют точечным?
5 Когда тело является электрически нейтральным? Когда заряженным? Что называют зарядом тела?
6 Что принимается за единицу электрического заряда в системе СИ, сформулируйте ее определение.
7 В чем состоит явление электризации?
8 Запишите, сформулируйте и объясните закон Кулона.
9 Почему коэффициент пропорциональности в законе Кулона в системе СИ не равен единице? Чему он равен?
10 Что такое электрическая постоянная? Чему она равна?
11 Что такое электрическое поле? Какие поля называются электростатическими?
12 Какой электрический заряд называют пробным?
13 Что такое напряженность электростатического поля? Каково направление вектора напряженности ? Единица напряженности в СИ.
14 По какой формуле определяется напряженность поля, созданного точечным электрическим зарядом?
15 Какое электростатическое поле называют однородным?
16 Что называют силовыми линиями (линиями напряженности электрического поля)? Какими свойствами они обладают? Приведите примеры графического изображения электрических полей.
17 Что такое линейная, поверхностная, объемная плотности электрических зарядов? Какие формулы выражают сущность этих понятий?
18 Что такое электрический диполь? Как направлено плечо диполя?
19 Пользуясь принципом суперпозиции, найдите в поле двух точечных зарядов +q и +2q, находящихся на расстоянии l друг от друга, точку, где напряженность поля равна нулю.
20 Чему равно отношение напряженностей электрических полей в точке А, лежащей на продолжении оси диполя, и в точке В, лежащей на перпендикуляре, проходящем через середину О оси этого диполя, если ОА = ОВ?
21 Приведите примеры применения теоремы Остроградского - Гаусса для расчета некоторых электростатических полей в вакууме.
22 Электрический диполь помещен внутрь замкнутой поверхности. Каков поток вектора напряженности Ф сквозь эту поверхность? Почему?
23 Как доказать, что электростатическое поле является потенциальным?
24 Что называется циркуляцией вектора напряженности?
25 Дайте определения потенциала данной точки поля и разности потенциалов двух точек поля. Каковы их единицы измерения?
26 Какова связь между напряженностью и потенциалом? Выведите ее и объясните. Каков физический смысл этих понятий?
27 Чему равна работа по перемещению заряда вдоль эквипотенциальной поверхности?
Тесты
1. Как изменится сила кулоновского взаимодействия двух точечных зарядов, если расстояние между ними уменьшить в 3 раза?
А) увеличится в 3 раза
В) уменьшится в 3 раза
С) увеличится в 9 раз
Д) уменьшится в 9 раз
Е) не изменится
2. Для заряженной проводящей сферы в состоянии равновесия напряженность электрического поля равна нулю …
А) на поверхности сферы
В) внутри сферы
С) вне сферы
Д) только в центре сферы
Е) ни в одной точке
3. По тонкому кольцу радиуса R равномерно распределен заряд q. Модуль напряженности электрического поля на оси кольца на расстоянии R 
от его центра равен
А)  | В)  | С)  | Д)  | Е)  |
4. Два одинаковых положительных заряда находятся на расстоянии 20 см друг от друга. Найдите на прямой, перпендикулярной линии, соединяющей заряды и проходящей через середину этой линии, точку, в которой напряженность поля максимальна.
| А) 10 см | В) 8 см | С) 7,8 см | Д) 7,1 см | Е) 5 см |
5. Если на точечный заряд 1 нКл, помещенный в некоторую точку поля, действует сила 0,02 мкН, то модуль напряженности электрического поля в этой точке равен …
| А) 50 В/м | В) 500 В/м | С) 10 В/м | Д) 200 В/м | Е) 20 В/м |
6. Шарику радиуса R=2 см сообщен заряд q=4 пКл. С какой скоростью подлетает к шарику электрон, начавший движение из бесконечно удаленной от него точки? Удельный заряд электрона g=1,76×1011 Кл/кг. Электрическая постоянная e0=8,85×10-12 Ф/м.
| А) 500 км/с | В) 600 км/с | С) 700 км/с | Д) 800 км/с | Е) 900 км/с |
7. Если от капли воды, несущей электрический заряд +5е, отделится капелька с электрическим зарядом -3е, то электрический заряд оставшейся части капли будет равен …
| А) -8е | В) -2е | С) +2е | Д) +4е | Е) +8е |
8. Положительный заряд в 1 мкКл равномерно распределен по поверхности шара радиусом 10 см. Каков потенциал в точке, удаленной на 20 см от поверхности шара? Электрическая постоянная e0=8,85×10-12 Ф/м.
| А) 45 кВ | В) 40 кВ | С) 25 кВ | Д) 20 кВ | Е) 30 кВ |
9. Два маленьких одинаковых металлических шарика заряжены разноименными зарядами +q и -5q. Шарики привели в соприкосновение и раздвинули на прежнее расстояние. Как изменился модуль силы взаимодействия шариков?
А) уменьшился в 1,25 раза
В) увеличился в 1,25 раза
С) увеличился в 1,8 раза
Д) уменьшился в 1,8 раза
Е) не изменился
10. Два одинаковых маленьких металлических шарика заряжены положительными зарядами q и 4q. Центры шариков находятся на расстоянии r друг от друга. Шарики привели в соприкосновение. На какое расстояние х после этого нужно развести центры шариков, чтобы сила их взаимодействия осталась прежней?
| А) 0,8r | В) 2r | С) r | Д) 1,25r | Е) 1,5r |
11. Напряженность электрического поля на поверхности капли, образовавшейся при слиянии N маленьких одинаково заряженных одинаковых капелек, больше напряженности на поверхности маленькой капельки до слияния в … раз.
А)  | В)  | С)  | Д)  | Е) N |
12. Точечный заряд удалили от точки А на расстояние, в n=3 раза превышающее первоначальное. Во сколько раз уменьшилась напряженность электрического поля в точке А?
| А) 3 | В) 9 | С) 6 | Д) 1,5 | Е) 8 |
13. Определите ускоряющую разность потенциалов, которую проходит в электрическом поле электрон, если его скорость возрастает от V1=1 Мм/с до V2=5 Мм/с. Масса электрона m=9,11×10-31 кг, его заряд е= -1,6×10-19 Кл.
| А) 68,3 В | В) 70,3 В | С) 72,3 В | Д) 74,3 В | Е) 76,3 В |
14. Восемь заряженных капель воды радиусом 1 мм каждая сливаются в одну большую каплю. Найдите потенциал большой капли, если заряд малой 10-10 Кл. Электрическая постоянная 8,85×10-12 Ф/м.
| А) 2,8 кВ | В) 3,2 кВ | С) 3,6 кВ | Д) 4,0 кВ | Е) 4,4 кВ |
15. Две материальные точки, имеющие одинаковые массы и заряженные равными по величине, но противоположными по знаку зарядами, движутся по окружности вокруг своего неподвижного центра масс. Действуют только Кулоновские силы. Чему равно отношение потенциальной энергии электрического взаимодействия этих частиц к их кинетической энергии?
| А) 1 | В) -1 | С) 4 | Д) -2 | Е) 2 |
16. Напряженность электрического поля на расстоянии 30 см от точечного заряда равна 9 В/см. Чему равна напряженность поля на расстоянии 10 см от заряда?
А) 27  | В) 81 | С) 18 | Д) 1 | Е) 3 |
17. Если проводящий шар радиуса R заряжен зарядом q, то в точке на расстоянии 
от центра шара напряженность электрического поля равна (электрическая постоянная равна e0) …
| А) 0 | В)  | С)  | Д)  | Е)  |
18. Какую скорость приобретет первоначально покоившийся протон в результате прохождения разности потенциалов 1 кВ? Масса протона 1,67×10-27 кг, его заряд 1,6×10-19 Кл.
| А) 770 км/с | В) 660 км/с | С) 550 км/с | Д) 440 км/с | Е) 330 км/с |
19. Капля, имеющая отрицательный заряд (-е), при освещении потеряла один электрон. Каким стал заряд капли? Элементарный заряд равен е.
| А) +е | В) 0 | С) -е | Д) +2е | Е) -2е |
20. Электризация фрагментов одежды из синтетических волокон при трении их друг о друга объясняется перемещением с одной части одежды на другую …
| А) молекул | В) атомов | С) ионов | Д) протонов | Е) электронов |
21. Если на точечный заряд, помещенный в электрическое поле с напряженностью 1,5 В/см, действует сила, модуль которой равен 450 мкН, то величина заряда равна
| А) 1,5×10-5 Кл | В) 3×10-2 Кл | С) 3×10-6 Кл | Д) 3×10-5 Кл | Е) 2×10-5 Кл |
22. Напряженность электрического поля у поверхности Земли равна 130 В/м. Определите заряд Земли, если ее радиус 6 370 км. Считайте, что Земля имеет сферическую форму, и ее заряд равномерно распределен по поверхности. Электрическая постоянная e0=8,85×10-12 Ф/м.
| А) 5,86×105 Кл | В) 5,86×104 Кл | С) 5,86×103 Кл | Д) 7,36×105 Кл | Е) 7,36×104 Кл |
23. Электростатическое поле создается равномерно заряженной сферической поверхностью радиусом R=10 см с общим зарядом Q=15 нКл. Определите разность потенциалов между двумя точками этого поля, лежащими на расстояниях r1=5 см и r2=15 см от поверхности сферы. Электрическая постоянная e0=8,85×10-12 Ф/м.
| А) 240 В | В) 270 В | С) 360 В | Д) 400 В | Е) 480 В |
24. Точечный заряд удалили от точки А на расстояние, в n=3 раза превышающее первоначальное. Во сколько раз уменьшился потенциал электрического поля в точке А?
| А) 3 | В) 9 | С) 6 | Д) 1,5 | Е) 8 |
25. Какова сила взаимодействия между положительным и отрицательным точечными зарядами в 1 мкКл при расстоянии между ними в 10 см? Электрическая постоянная e0=8,85×10-12 Ф/м.
| А) 900 Н | В) 90 Н | С) 9 Н | Д) 0,9 Н | Е) 0,09 Н |
26. Разность потенциалов между точками, лежащими на одной силовой линии на расстоянии Dr=3 см друг от друга, равна Dj=12 В. Найдите напряженность Е электрического поля, если известно, что поле однородно.
| А) 100 Н/Кл | В) 200 Н/Кл | С) 300 Н/Кл | Д) 400 Н/Кл | Е) 500 Н/Кл |
27. Заряженный шар вследствие электростатической индукции притягивает незаряженное тело. Как изменится сила притяжения, действующая на тело, если этот шар окружить незаряженной металлической сферой?
А) станет равной нулю
В) несколько уменьшится
С) несколько увеличится
Д) не изменится
Е) ответ зависит от знака заряда на шаре
28. Найдите потенциал проводящего шара радиусом 1 м, если на расстоянии 2 м от его поверхности потенциал электрического поля равен 20 В.
| А) 40 В | В) 80 В | С) 60 В | Д) 30 В | Е) 10 В |
29. Напряженность электростатического поля измеряют с помощью пробного заряда. Если значение этого заряда увеличить в n раз, то модуль напряженности …
А) увеличится в n раз
В) уменьшится в n раз
С) не изменится
Д) увеличится в n2 раз
Е) увеличится в 
раз
30. Возможно ли, чтобы два одноименно заряженных проводника притягивались?
А) невозможно ни при каких условиях
В) возможно при любых условиях
С) возможно, если заряды проводников равны
Д) возможно, если заряд одного проводника много больше заряда другого проводника
Е) верный ответ не указан
Верные ответы в тестах отмечены красным цветом.