Результат эксперимента или наблюдения называется событием.

Ч.2 ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕ­СКОЙ СТАТИСТИКИ В ЗАДАЧАХ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИКИ

Область применения вероятностных методов:

1) Математическая теория надежности систем электроснабжения.

2) Методы расчета электрических нагрузок при проектировании, методы прогнозирования ожидаемого максимума нагрузки и электропотребле­ния в условиях эксплуатации.

3) Регулирование максимума электрических нагрузок (выравнивание графи­ков электрических нагрузок).

4) Расчеты установившихся режимов при вероятностном задании нагру­зок в узлах и управление ими.

5) Оценивание состояния системы электроснабжения по результатам теле­измерений ограниченного объёма.

6) Определение показателей качества электроэнергии

Для решения указанных задач могут использоваться математические модели случайных явлений, построенные с применением менее или более сложного математического аппарата теории вероятностей. Самые простые модели ис­пользуют апарат случайных событий. Более сложным, но хорошо разрабо­танным, а поэтому широко применяемым является апарат случайных вели­чин. Самым сложным является апарат случайных процессов, т.е. случайных функций, аргументом которых выступает время.

Применение теории случайных событий при расчетах надежности си­стем электроснабжения

Применение теорем сложения и умножение вероятностей в расчетах надежности, основанных на использовании параллельно – последова­тельных структур.

3.1.1 События. Классификация событий. Вероятность событий.

При изучении физических, химических, биологических, общественных или каких – либо иных явлений приходится сталкиваться с выполнением тех или иных наблюдений или проводить эксперименты, опыты, испытания. Эк­сперимент или наблюдение определяется некоторым комплексом условий, которые либо создаются искусственно, либо осуществляются независимо от воли экспериментатора, и результатами эксперимента.

Результат эксперимента или наблюдения называется событием.

Если событие при эксперименте и осуществлении данного комплекса условий обязательно должно произойти, то оно называется достоверным. Если известно, что в результате опыта событие не мо­жет произойти, то оно называется невозможным. Случайным собы­тием называется событие, которое в результате опыта при одном и том же комплексе условий может произойти, а может и не произойти. При­меры случайных событий — повреждение линии электропередачи, от­каз в отключении выключателя, нагрузка линии превысила допустимое значение. Случайные события классифицируются по различным приз­накам: совместные и несовместные; равновозможные и неравновозмо­жные; зависимые и независимые. События называют несовместными,если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании. Если же в одном и том же испытании они могут появиться вместе, то такие события называются совместными. Несколько событий образуют полную группу событий, если в результате исытания появится хотя бы одно из них. Если события, образующие полную группу, попарно несовместны, то в результате испытания появится только одно из этих событий.

События называют равновозможными,если есть основание считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другие.

Условной вероятностью Р(А|В) называют вероятность события А, вычисленную в предположении, что событие В уже наступило.

Вероятность события — это количественная мера степени объективной возможности появления события. За единицу измерения принято считать вероятность достоверного события Р(U)=1, а нулевую вероятность приписывают невозможному событию Р(V)=0.

Вероятность случайного события А обозначают Р(A). Рассматривают вероятность события, как функцию случайного события:

0≤ Р(A)≤ 1.

Т.о. вероятность случайного события есть число, заключенное между нулём и единицей, показывающее какую часть (или долю) вероятности достоверного события составляет вероятность события А.

3.1.2. Теорема сложения вероятностей для несовместных и совместных со­бытий.

Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в появленении события А или события В или обоих вместе. Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий. Например, событие А+В+С состоит в появлении одного из событий: А, В, С, А и В, А и С, В и С, А и В и С.

Вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей:

Р(А₁+А₂+…+А_n) = Р(А₁)+ Р(А₂)+…+ Р(А_n) или

.

Иначе — вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий.

Противоположными событиями называются два несовместных события, образующих полную группу. Событие, противоположное событию А, обозначают . Его формулировка — «не А»,т.е. событие А не произошло. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Р(А)+ Р( ) = 1.

Эта формула очень важна для практики. Во многих задачах вероятность интересующего нас события трудно вычислить, в то время как вероятность противоположного события вычисляется очень легко. В таких случаях вероятность интересующего нас события вычислется как

Р(А)= 1- Р( ).

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме их вероятностей минус вероятность их произведения:

Р(А₁+А₂) = Р(А₁)+ Р(А₂)- Р(А₁А₂) .

Вероятность суммы трех совместных событий равна:

Р(А₁+А₂+А₃) = Р(А₁)+ Р(А₂ + Р(А₃) - Р(А₁А₂) - Р(А₁А₃) - Р(А₂А₃) +Р(А₁А₂ А₂).

И т.д.

3.1.3. Теорема умножения вероятностей для независимых и зависимых событий.

Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий

.

События А₁ и А₂ называются зависимыми, если появление одного из них изменяет вероятность другого

Вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие произошло. При применении теоремы умножения вполне безразлично, какое из событий А₁ и А₂ считать первым, а какое вторым:

Р(А₁А₂) = Р(А₁). Р(А₂ | А₁) = Р(А₂). Р(А₁ | А₂).

Вероятность произведения нескольких зависимых событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие произошло, на условную вероятность третьего, вычисленную при условии, что первое и второе события произошли, и т.д., на условную вероятность последнего, вычисленную при условии, что все предыдущие события А₁,А₂,… А_n-1 произошли:

Р( ) = Р(А₁) . Р(А₂ | А₁). Р(А₃ | А₁ А₂) … Р(А_n | А₁ А₂ … А_n-1).

Событие А₂ называют независимым от события А₁, если появление события А₁ не изменяет вероятности появления события А₂, т.е. если условная вероятность события А₂ равна его безусловной вероятности:

Р(А₂ | А₁) = Р(А₂).

Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей:

Р(А₁А₂) = Р(А₁). Р(А₂).

Несколько событий называют независимыми в совокупности, (или просто независимыми), если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных. Если несколько событий независимы попарно, то отсюда еще не следует их независимость в совокупности.

Вероятность произведения нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

Р( ) = Р(А₁) . Р(А₂). Р(А₃) … Р(А_n).