Функция распределения Бозе-Эйнштейна

Функция распределения для вырожденного газа бозонов называется функцией Бозе-Эйнштейна и имеет вид

. (3.30)

В условиях равновесия бозоны имеют минимум свободной энергии. Поэтому их химический потенциал .

Наиболее важными представителями класса бозонов при решении задач данного курса являются фотоны и фононы. Их энергия зависит от частоты Е=hν, поэтому выражение (3.30) можно записать в виде

. (3.31)

С учетом вышесказанного можно записать выражение для полной функции

. (3.32)

Графики функции распределения (3.31), а также полной функции распределения (3.32) показаны на рис. 3.5.

а) б)

Рис. 3.5. Графики функций распределения Бозе-Эйнштейна: а – функция распределения;
б – полная функция распределения

Как видно из графиков, с понижением температуры число бозонов с малыми энергиями уменьшается, уменьшается также общее число частиц.

Для функции Бозе-Эйнштейна также возможно снятие вырождения, если экспонента много больше единицы

. (3.33)

Однако это справедливо не для любых бозонов. Как уже отмечалось, для фотонов и фононов μ_Б=0, следовательно, эти системы всегда являются вырожденными.

В заключение проведем сравнение трех рассмотренных статистик. Классические микрочастицы в принципе различимы, квантовые – нет. Отличие фермионов от бозонов заключается в том, что к ним применим принцип Паули.

На рис. 3.6 приведены графики всех трех функций распределения.

Рис. 3.6. Графики функций распределения Максвелла-Больцмана (f_М),

Ферми-Дирака (f_Ф) и Бозе-Эйнштейна (f_Б)

На графиках видно, что значения функций распределения для малых энергий сильно отличаются, но при больших значениях энергии квантовые статистики переходят в классическую статистику Максвелла-Больцмана. Применение классической статистики оказывается допустимым, поскольку в каждом состоянии оказывается в среднем меньше одной частицы. Из сказанного можно сделать вывод о возможности замены в определенных условиях квантовых функций на классическую функцию распределения.

Контрольные вопросы и задания

1.1. Чем отличается термодинамический подход к описанию коллектива?

1.2. В чем смысл первого начала термодинамики?

1.3. Дайте понятие термодинамической системы.

1.4. Сформулируйте второе начало термодинамики.

1.5. Что такое энтропия?

1.6. Сформулируйте условия термодинамического равновесия гетерогенной (гомогенной) системы.

1.7. Определите понятие химического потенциала.

1.8. В чем сущность статистического способа описания?

1.9. Дайте определение полной функции распределения.

1.10. Дайте определение функции распределения

2.1. В чем различие классических и квантовых частиц?

2.2. Что называют фермионом?

2.3. Что называют бозоном?

2.4. Какие системы называют вырожденными?

2.5. Каков критерий вырожденности?

2.6. Определите плотность состояний для электронов проводника в интервале 3,2...3,5 эВ.

3.1. Запишите выражение функции Максвелла-Больцмана.

3.2. Определите вероятность нахождения α-частицы в интервале от 5,0 до 5,5 эВ при комнатной температуре если концентрация составляет 10⁶ см^-3.

3.3. Какие параметры оказывают влияние на величину химического потенциала?

3.4. Нарисуйте и опишите графики функции распределения Максвелла-Больцмана.

3.5. Запишите выражение для N(υ_x).

4.1. Запишите выражение функции Ф-Д.

4.2. Приведите график функции Ф-Д для Т=0.

4.3. Как влияет температура на поведение фермионов?

4.4. Рассчитайте число электронов в чипе полупроводника V=1 мм³ в диапазоне 1,0...1,2 эВ (Т=0).

4.5. Дайте понятие уровня Ферми.

4.6. Определите энергию Ферми для электронов, если Т=0,
n=10²² см^-3.

4.7. Определите среднюю энергию электронов для предыдущей задачи.

4.8. Приведите условие снятия вырождения функции Ферми-Дирака.

4.9. В чем различие поведения невырожденного и вырожденного электронного газа?

5.1. Что представляет собой функция Бозе-Эйнштейна?

5.2. Приведите графики функции распределения.

5.3. Запишите функции распределения для фотонов.

5.4. Запишите функции распределения для фононов.

ГЛАВА 4
ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

Выше (п. 2.7) мы рассмотрели поведение атома в предположении, что на него не действуют посторонние силы. Однако в твердом теле атомы взаимодействуют друг с другом, и этот факт необходимо учитывать при описании различных свойств твердых тел.

Первой удачной попыткой объяснения электрических и магнитных свойств твердых тел была теория свободных электронов Друде (1900 г.). Она исходила из представления, что электроны в твердом теле ведут себя подобно молекулам идеального газа. Это позволило ей объяснить такие явления, как электро- и теплопроводность металлов, термоэлектронную эмиссию, термоэлектрические и гальваномагнитные эффекты и т.д. Однако теория Друде оказалась бессильной при рассмотрении свойств твердых тел, зависящих от их внутренней структуры. Она не давала ответа даже на такой вопрос: почему одни тела являются проводниками, а другие изоляторами.

Следующим этапом в развитии электронной теории стала зонная теория твердых тел.