ОЗНАКОМЛЕНИЕ СО СВОЙСТВАМИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА С R – , L –, С – ЭЛЕМЕНТАМИ

Цель работы: получить навыки измерения и расчета сопротивлений и мощностей в цепи синусоидального тока; приобрести навыки сборки электрической схемы.

1. Общие сведения.

Схемы замещения элементов электрических цепей синусоидального тока (математические модели электрических цепей) составляются с помощью условных обозначений R–, L–, С– элементов. Параметры этих элементов:

- резистивный элемент с активным сопротивлением R, Ом, или активной проводимостью G = 1/R, Cм;

- индуктивный элемент с индуктивностью L, Гн, и реактивным индуктивным сопротивлением X_L = 2πƒL, Ом или реактивной индуктивной проводимостью B_L = 1/X_L, См;

- емкостный элемент с емкостью С, Ф, и реактивным емкостным сопротивлением X_C =1/2πƒC, Ом или реактивной емкостной проводимостью B_C = 1/X_C См.

Цепь с резистивным элементом.

Элементы электрической цепи, обладающие только активным сопротивлением R, называют резисторами (реостат, лампа накаливания). Пусть к зажимам цепи с активным сопротивлением R (рис.1) приложено напряжение

u = U_mахsinωt.

Рис. 1. Электрическая цепь с резистивным элементом

В соответствии со вторым законом Кирхгофа для мгновенного значения напряжения u = Ri, т. е.

где I_mах = U_mах/R или I = U/R.

Из вышеприведенного видно, что вектора напряжения и тока в цепи с активным сопротивлением совпадают по фазе, что показано на векторной и временной диаграммах (рис. 2 , рис.3).

Сдвиг по фазе между напряжением и током цепи равен

φ = j_u - j_i = 0° - 0° = 0°

Комплексные напряжение и ток цепи с резистивнымэлементом:

= e^j0; φ_u = 0°;

İ = Ie^j0; φ_i = 0° .

Тогда комплексное сопротивление цепи равно

Z = /İ = Ue^j0/Ie ^j0= R,

т. е.комплексное сопротивление цепи с резистивным элементом равно положительному вещественному числу, модуль которого равен R

Векторная (на комплексной плоскости) и временные диаграммы приведены на рис. 2 и 3.

Рис. 2. Векторная диаграмма Рис. 3. Временная диаграмма

цепи с R-элементом цепи с R-элементом

Векторная диаграмма – это совокупность векторов, изображающих на плоскости синусоидально изменяющиеся с одной и той же частотой величины (напряжения, токи). Каждый вектор вычерчивается на комплексной плоскости с учетом его величины, начальной фазы, отсчитываемый от оси + 1.

Мощность цепи:

p = ui = U_mахsinωtI_mахsinωt = U_mахI_mахsin²ωt = UI(1 – cos2ωt),

т. к. напряжение и ток совпадают по фазе и мгновенное значение мощности всегда положительно. Таким образом, в цепи с резистивным элементом вся потребляемая электрическая энергия преобразуется в тепловую или другие виды энергии. Так как cosφ = 1, то среднее значение мощности за период равно активной мощности.

Р = UI = RI²,

где Р – активная мощность цепи, Вт, кВт, мВт.

Полная мощность цепи с R-элементом равна активной мощности, которая характеризует интенсивность передачи электроэнергии от источника к приемнику и ее преобразование в другие виды энергии. Это активный необратимый процесс. Временная диаграмма мощности цепи приведена на рис.3.

В комплексной форме полная мощность:

, ВА

Активная мощность измеряется ваттметром Р_W = UI = RI², ток – амперметром, а напряжение – вольтметром. Таким образом, активное сопротивление цепи, содержащей только резистивный элемент, можно определить по показаниям амперметра и вольтметра или по показаниям ваттметра и амперметра.

R = U_R/I, P = P_W.

Цепь с емкостным элементом.

Конденсатор – это элемент электрической цепи, обладающий емкостью. Конденсатор состоит из двух пластин с большой поверхностью, выполненных из проводникового материала и разделенных диэлектриком. Емкость конденсатора определяет тот электрический заряд, который накапливается на пластинах при разности потенциалов между ними в 1 В.

При подаче на конденсатор синусоидального напряжения в силу того, что напряжение непрерывно меняется по значению и направлению, меняется и заряд на пластинах конденсатора. Это изменение заряда и связанное с ним движение электронов и есть электрический ток в цепи.

Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из источника питания и конденсатора емкостью С.

Рис. 4. Электрическая цепь с С-элементом

Пусть напряжение источника питания u = U_махsinωt. Под действием напряжения в цепи возникает ток i и на каждой пластине конденсатора скапливается заряд Q = Cu_c, где u_с - падение напряжения на конденсаторе.

По второго закона Кирхгофа для цепи имеем u = u_c.

Следовательно, ток в цепи, представляющий собой изменение заряда во времени равен:

i = dQ/dt = ωCU_mахcosωt = ωCU_mахsin(ωt + π/2) = I_mахsin(ωt + π/2),

где амплитуда тока I_mах = ωCU_mах = U_mах/(1/ωC).

Таким образом, в цепи с конденсатором ток опережает напряжение на угол π/2 и изменяется по синусоидальному закону.

Величина 1/ωC имеет размерность сопротивления, с/Ф = сВ/Кл = = сВ/сА = Ом). Это емкостное сопротивление

X_с = 1/ωC = 1/2πfC = U_c/I

Емкостное сопротивление обратно пропорционально частоте и емкости конденсатора.

Комплексные напряжение и ток цепи

= Ue^j0; ψ_u = 0º;

İ = Ie ^j90; ψ_i = + 90º;

Сдвиг по фазе между напряжением и током

φ = ψ_u - ψ_i = 0º - 90º = - 90º.

Комплексное сопротивление цепи

Z = /İ = Ue^j0/Ie^j90 = Х_сe^-j90 = -jX_с.

Таким образом, комплексное сопротивление цепи с С-элементом равно отрицательному мнимому числу. Модуль комплексного сопротивления

Мощность цепи:

Р = ui = U_mахsinωtI_mахsin(ωt + 90°) = UIsin2ωt,

т. е. мгновенная мощность имеет только переменную составляющую. В первую и третью части периода, когда ток совпадает по направлению с напряжением, мощность положительна и энергия передается от источника питания к цепи, а во вторую и четвертую четверти периода энергия запасается в электрическом поле конденсатора.

Таким образом, через четверть периода мощность меняет знак. Такая энергия обмена энергией между источником и приемником, которая не преобразуется в другие виды энергии, называется реактивной. Интенсивность обмена энергией характеризуетсяреактивной мощностью Q_с, равной амплитуде мгновенного значения мощности Q_с = UI = - X_сI², где Q_с – реактивная мощность цепи, вар, квар, мвар.

Полная мощность цепи с С-элементом равна реактивной мощности.

В комплексной форме полная мощность:

S = = Se^jφ = UIcos90° - jUIsin90° = - jUI, ВА

Изменение мощности цепи с С-элементом, а также временные и векторная ( на комплексной плоскости) диаграммы напряжения и тока представлены на рис. 5,6.

I

Рис. 5. Временная диаграмма Рис.6. Векторная диаграмма

цепи с С-элементом цепи с С-элементом

В цепи с С- элементом ёмкостное сопротивление Х_с и реактивная мощность Q_c определяются по показаниям вольтметра U_c и амперметра I_а и равны :

Х_с = U_c/ I_а ,Ом; Q_c = U_c I_а вар.

источнике питания , . Комплексное сопротивление цепи , XL = 2πƒL, R = 0, φ = arctg(XL/R) = 90˚, XL/0 = ∞, arctg ∞ = 90°. Ток цепи İL= /Z L = Ue j 0/XLe+j 90˚ = (U/XL) e –j 90˚ = = IL e –j 90. Мощность цепи S = QL= XLIL2 , P = 0. Коэффициент мощности cos φ = 0 , φ = + 90º.

Цепь с индуктивным элементом.

Трансформаторы, электрические двигатели, дроссели, кроме активного сопротивления обладают индуктивным сопротивлением. Индуктивностью обладают все проводники с током. В ряде случаев она мала и ею пренебрегают, но значительна там, где обмотки катушек состоят из большого числа витков провода.

Индуктивность возрастает, если магнитный поток замыкается по пути с малым магнитным сопротивлением (например, по стальному сердечнику).

Рассмотрим цепь с идеальной катушкой индуктивности с постоянной индуктивностью L, у которой активное сопротивление R_к = 0.

Рис. 7.Электрическая цепь с индуктивным элементом

Пусть к цепи с приложено напряжение u = U_mахsinωt. Под действием напряжения в цепи возникает ток i, который создает магнитный поток Ф. Согласно закону электромагнитной индукции магнитный поток Ф индуцирует в катушке ЭДС самоиндукции

е_L = - wdФ/dt = - Ldi/dt,

где w - число витков катушки.

Знак «минус» согласно принципу электромагнитной индукции (закон Ленца) указывает на то, что е_L всегда имеет такое направление, при котором она препятствует изменению магнитного потока или тока в цепи.

На рисунке показаны условные положительные направления напряжения u, тока i, ЭДС самоиндукции e_L на элементе с индуктивностью L. Условное положительное направление ЭДС е_L выбирают из условия, что ее действительное направление в любой момент времени противоположно напряжению на катушке u_L.

По II ЗК имеем u - u_L = 0, а с учетом того, что u_L = - е_L, получаем

u = e_L = 0

Тогда

U_mах sinωt – Ldi/dt = 0, или di/dt = U_mахsinωt/L.

При решении этого уравнения получаем выражение для тока в цепи:

i = (U_mах/L)sinωtdt = - U_mахcosωt/ωL = U_mахsin (ωt- π/2)/ωL =

= I_mахsin(ωt - π/2).

Таким образом, в цепи с индуктивностью ток отстает от напряжения на угол π/2 и изменяется по синусоидальному закону.

Величина ωL имеет размерность сопротивления, Гн/с = В·с/А·с = = Ом.

Это индуктивное сопротивление X_L = ωL = 2πfL.

Индуктивное сопротивление прямо пропорционально частоте и индуктивности. Тогда:

I_mах= U_mах/X_L, или I = U /X_L.

Так как ЭДС самоиндукции численно равна напряжению на элементе с индуктивностью, то X_LI = U = Е_L

Следовательно, индуктивное сопротивление является коэффициентом пропорциональности между током i и ЭДС самоиндукции e_L.

Комплексные напряжение и ток цепи

= Ue ^j0, ψ_u = 0^o;

İ = Ie ^-j90, ψ_i = - 90^o.

Сдвиг по фазе между напряжением и током

φ = 0° – (-90° ) = +90^o

Комплексное сопротивление цепи

Z = /İ = Ue ^j0/Ie ^-j90 = X_Le^j90 = jX_L.

Таким образом, комплексное сопротивление цепи с L-элементом равно положительному мнимому числу.

Модуль комплексного сопротивления

Z = X_L

Мощность цепи с L-элементом:

р = ui = U_mахsinωt - I_mахsin(ωt - 90°) = - UIsin2ωt.

т. е. мгновенная мощность имеет только переменную составляющую. В первую и третью части периода ток направлен от цепи к источнику питания, а во вторую и четвертую – от источника питания к цепи. Таким образом, через четверть периода мощность меняет знак. Такая энергия обмена между источником и приемником, которая не преобразуется в другие виды энергии, называется реактивной. Интенсивность обмена энергией характеризуется реактивной мощностью Q_L = UI.

Реактивная мощность цепи Q_L = U_LI = X_LI², вар, квар, мвар.

Полная мощность цепи в комплексной форме:

S = = Se^jφ = UIcos90° + jUIsin90° = jUI, ВА

Временная и векторная (на комплексной плоскости) диаграммы цепи с идеальной индуктивностью а также изменение мощности представлены на рисунках 8 и 9.

Рис.8. Временная диаграмма Рис.9. Векторная диаграмма

Цепь с реальной индуктивной катушкой.

Схема замещения реальной индуктивной катушки содержит R и L – элементы (рис.9).

Рис.9. Схема цепи с R и L - элементами

Комплексное сопротивление цепи

Z_экв = R + jX_L = ze^jφ

φ = arctqX_L/R

Ток цепи

İ = /Z_экв. .

Напряжения участков цепи :

= R İ; U_L = jX_L İ

Векторная диаграмма цепи с реальной индуктивной катушкой представлена на рис.10.

İ

Рис.10.Векторная диаграмма цепи с реальной индуктивной катушкой; ψ_i = 45º