Калмановский алгоритм оценивания коэффициентов эквалайзера.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Московский технический университет связи и информатики

Кафедра теории электрической связи

Лабораторная работа

"Синтез и анализ эквалайзеров для систем цифровой связи"

По дисциплине

" Цифровая обработка сигналов"

Специальности : 210404, 210403, 210402, 210405, 21032

Москва 2012

Лабораторная работа

"Синтез и анализ эквалайзеров для систем цифровой связи"

По дисциплине

" Цифровая обработка сигналов"

Специальности : 210404, 210403, 210402, 210405, 21032

Составитель: доцент Поборчая Н.Е.

Рецензент: Волчков В.П..

Настоящая лабораторная работа предназначена для студентов, выполняющих лабораторные работы по курсу «Цифровая обработка сигналов». Лабораторная работа может быть использована при написании дипломных проектов на кафедре теории электрической связи.

Издание утверждено на заседании кафедры ТЭС 20 г.

Протокол №

Цель работы.

1. Изучение и исследование адаптивного эквалайзера.

Задание для подготовки.

1. Изучить описание данной лабораторной работы и разделы рекомендованной литературы.

2. Изучить задание на работу и методические указания к ней.

3. Подготовить бланк отчета, который должен содержать название лабораторной работы, цель работы, структурную схему эквалайзера и алгоритма подстройки его коэффициентов.

4. По варианту, заданному в таблице 1 рассчитать отношение сигнал/шум (дБ) в канале для сигнала ФМ-2 , где - дисперсия шума в канале, , - импульсная характеристика канала, частотная характеристика которого имеем вид «приподнятого косинуса», - коэффициент ската, , - длительность информационного символа.

5. Используя методические указания, с помощью системы MATLAB, построить графики импульсной и амплитудно-частотной характеристик канала.

6. Используя методические указания, с помощью системы MATLAB построить график зависимости квадратурных составляющих сигнала ФМ-2 от времени в условиях отсутствия аддитивного гауссовского шума и на фоне шума с дисперсией .

7. По данному в приложении 2.2 алгоритму (6) оценки коэффициентов эквалайзера написать программу для их расчета в системе MATLAB при нулевой ошибке стробирования отсчетов.

8. Построить график зависимости ошибки от шага итерации , при разном количестве линий задержек и разных значениях скалярного множителя .

Таблица 1.

(в относительных единицах)

№

№

Задание на лабораторную работу.

Исследовать линейный адаптивный эквалайзер:

А) для информационного сигнала «меандр» оценить качество работы алгоритмов (5),(6) оценивания коэффициентов трансверсального фильтра при ошибке стробирования отсчетов для двух значений и и значения , заданных в таблице 1 при разных значениях .

Б) повторить пункт А) для псевдослучайного информационного сигнала.

Результаты вычислений представить в виде графиков, которые иллюстрируют информационную последовательность (“.”), сигнал на входе (“-.”) и сигнал на выходе эквалайзера (“-“) в установившемся режиме по двум составляющим (действительной и мнимой), а также зависимость ошибки от шага итерации ( ) по действительной “-“ и мнимой “.”компоненте .

Содержание отчета.

1. Название работы.

2. Цель работы.

3. Структурная схема эквалайзера.

4. Содержание пунктов задания на лабораторную работу, оформленные результаты выполненных пунктов и выводы по ним.

Методические указания.

1. К пункту 5 задания для подготовки.

Частотная характеристика «приподнятого косинуса» имеет вид:

мкс.

2. К пункту 6 задания для подготовки.

Комплексная модель низкочастотного эквивалента сигнала ФМ-2, прошедшего канал связи, имеет вид:

, , , - дискретная случайная величина, принимающая два возможных значения 0 или 1 с равными вероятностями , -комплексный стационарный гауссовский шум.

2. К пункту 7 задания для подготовки.

Блок-схема алгоритма (6):

M-количество реализаций.

Операторы системы MATLAB, использованные в блок-схеме алгоритма, можно найти в [1].

Для моделирования алгоритма (6) на ЭВМ целесообразно использовать следующие данные: .

4. К заданию на лабораторную работу.

Для моделирования алгоритмов (5) и (6) на ЭВМ целесообразно использовать следующие данные: начальные условия- ;

ПРИЛОЖЕНИЕ

1. Модель канала связи с межсимвольной интерференцией (МСИ) и аддитивным белым гауссовским шумом (АБГШ).

Сигналы, передаваемые по каналу связи, сильно искажаются. Искажения чаще всего имеют вероятностный характер и могут быть аддитивными и (или) мультипликативными, так как присутствует шум и замирания. Кроме этого сигналы могут сдвигаться по частоте, испытывать нелинейные искажения. Так же происходит перекрытие принимаемых символов, которое называется межсимвольной интерференцией (МСИ). Причинами МСИ являются ограниченность и (или) неравномерность частотной характеристики канала, многолучевое распространение и т. д. Это препятствует повышению скорости передачи данных по каналам с ограниченной полосой. В данной лабораторной работе рассматривается линейный фильтровой канал с переменными параметрами. Искажения вносятся за счет МСИ и аддитивного белого шума.

Канал связи

Рис. 1. Модель линейного фильтрового канала.

, - сигнал на входе и выходе канала связи, -аддитивный гауссовский шум - импульсная характеристик линейного канала связи.

.

Данная модель используется для описания физических каналов, у которых характеристики переменны во времени. Например, подводные акустические и ионосферные радиоканалы, каналы подвижной связи, которые возникают в условиях меняющегося во времени многолучевого распространения волн. При цифровой связи по коммутируемым телефонным сетям канал различен каждый раз при наборе нового номера, т.к. маршрут каждый раз различен. В этом случае можно представить , где - меняющиеся от времени коэффициенты затухания, - количество лучей (путей распространения), - задержка -го луча. Тогда . Или в дискретном времени . Здесь - дискретное время, - шаг дискретизации, определяемый по теореме Котельникова.

Далее более подробно рассмотрим однолучевой ограниченный по полосе канал с АБГШ. Его можно представить в виде трансверсального фильтра с коэффициентами , медленно меняющимися во времени. Предположим, что МСИ влияет на символов. Эквивалентную модель такого канала можно записать следующим образом:

, (1)

где -комплексная информационная последовательность символов, длительность одного символа равна , , - ошибка стробирования отсчетов, - комплексная последовательность отсчетов белого гауссовского шума с нулевым средним, учитывает импульсную характеристику фильтра передатчика, канала распространения и фильтра приемника. Моделью (1) можно описать некоторые виды сигналов цифровой модуляции, прошедшие через линейный фильтровой канал с АБГШ. Например, сигналы фазовой модуляции (ФМ) и квадратурной амплитудной модуляции (КАМ).

Рис. 2. Структурная схема канала с МСИ и АБГШ ( - задержка на ).

Для таких каналов нет возможности синтезировать оптимальные фиксированные фильтры для демодулятора, т.к. характеристики каналов меняются во времени. Решение проблемы МСИ можно свести к синтезу приемника, который использует способ компенсации МСИ в принимаемом сигнале. Компенсатор МСИ называется эквалайзером или выравнивателем. Адаптивный эквалайзер проектируется так, чтобы приспосабливаться к меняющимся характеристикам канала.

Адаптивный эквалайзер.

Применение эквалайзера в модемах позволяет значительно повысить эффективность использования полосы при передаче данных по телефонным и радиоканалам.

Существует несколько алгоритмов синтеза адаптивных эквалайзеров [1]. В лабораторной работе рассматриваются рекуррентные алгоритмы минимальных квадратов для адаптивного выравнивания - алгоритм Калмана и алгоритм кратчайшего спуска (градиентный метод). В основе обоих алгоритмов лежит метод наименьших квадратов. Рекуррентные процедуры более просты и требуют меньший объем памяти при реализации на цифровой схемотехнической базе.

Рассматриваемый эквалайзер построен на базе трансверсального фильтра (линейный эквалайзер) с числом линий задержек N (см. рис 3).

Детектор

1

2

выход

Рис. 3. Структурная схема эквалайзера.

На вход эквалайзера поступают отсчеты , ( ) дискретизированного по времени комплексного сигнала (см. формулу (1)).

, - оператор математического ожидания. Сначала ключ находится в положении «1». На этом этапе происходит обучение по известной информационной последовательности, т.е. оцениваются коэффициенты трансверсального фильтра так, чтобы разность между сигналом на выходе фильтра , где , -вектор комплексных коэффициентов, «Т» - знак транспонирования, и тестовой последовательностью свести к минимуму.

(2)

После периода обучения, когда коэффициенты эквалайзера сошлись к своим оптимальным значениям, ключ переходит в положении «2». На этом этапе сигнал - продетектированные решения, которые являются выходом эквалайзера. Они достаточно надежны, поэтому их можно дальше использовать для адаптации коэффициентов.

Калмановский алгоритм оценивания коэффициентов эквалайзера.

Алгоритм оценивания коэффициентов синтезирован с помощью теории рекуррентной линейной фильтрации.

Предположим, что каждая компонента вектора является медленно меняющимся случайным процессом. Тогда ее можно аппроксимировать авторегрессией первого порядка , где - матрица размером , , - единичная матрица размером ,«*»- знак комплексно сопряженной величины.

Таким образом, получим модель:

(3)

Пусть .

Требуется по входной последовательности и тестовому сигналу синтезировать алгоритм оценивания вектора коэффициентов эквалайзера по критерию (2) минимума средней квадратической ошибки (СКО). Полученные оценки должны быть асимптотически несмещенными: , асимптотически эффективными: и состоятельными: . Здесь - оператор математического ожидания, - вероятность.

Используя модель (3) поставленную задачу можно решить модифицированным методом наименьших квадратов (МНК), который основывается на минимизации функционала Тихонова А.Н.:

(4)

Здесь - евклидова норма, , - скалярное произведение.

Минимизируя (4), получим выражение для оценок комплексного вектора коэффициентов эквалайзера:

(5)

,

.

- ковариационная матрица ошибок экстраполяции, - ковариационная матрица ошибок фильтрации.

Начальные условия: - из априорных сведений, - единичная матрица размером .

Рис. 4. Структурная схема алгоритма (5) .

Достоинство алгоритма: быстрая сходимость.

Недостатки: 1)сложность; 2) чувствительность к шуму, который накапливается при рекуррентных операциях и может вызвать нестабильность алгоритма.