Лекция 6. Символический метод расчета цепей в разветвленных электрических цепях. Мощности в цепях синусоидального тока. Баланс мощностей в цепях при гармонических воздействиях

Метод комплексных амплитуд

Он состоит в том, что

1) все переменные – напряжения и токи задаются комплексными амплитудами Ú_m или действующими значениями – Ú;

- действующее значение.

Все расчёты проводят с комплексными величинами.

2) полученный результат в виде комплексной амплитуды умножается на оператор вращения - Ú_me^jωt .

Мгновенное значение отклика определяется, как реальная часть от полученного решения:

u(t)=Re [u(t) =Ú_me^jωt] = U_mcos(ωt + φ).

Комплексное сопротивление и проводимость участков цепи

По закону Ома известно что:

Если применить метод комплексных амплитуд при гармоническом воздействии, тогда это отношение можно представить мгновенными комплексными величинами напряжения u(t) и тока i(t) :

(сократим на , получим)

Эту величину называют комплексным сопротивлением.

Физический смысл комплексного сопротивления.

,

где φ_u – фаза комплекного напряжения, φ_i- фаза комплексного тока

- показательная форма комплексного сопротивления.

- модуль комплексного сопротивления.

- аргумент комплексного сопротивления.

- тригонометрическая форма записи комплексного сопротивления

- алгебраическая форма записи комплексного сопротивления

- резистивная часть,

- реактивная часть комплексного сопротивления.

- модуль комплексного сопротивления

Векторное представление комплексного сопротивления

Для представления комплексного сопротивления на комплексной плоскости можно воспользоваться и алгебраической и показательной формах.

Положение точки (сопротивления) зависит от знака действительной и мнимой частей сопротивления, т.е. от аргумента φ_Z. Угол отсчитывается от действительной оси.

Для первой четверти:

Для второй четверти

Для третьей четверти

Для четвёртой четверти

Комплексная проводимость участка цепи.

- комплексная проводимость участка цепи.

- тригонометрическая форма.

-алгебраическая форма

g - резистивная составляющая.

b – реактивная составляющая

- модуль комплексной проводимости.

- аргумент комплексной проводимости.

Необходимо знать связь между комплексным сопротивлением и комплексной проводимостью.

Схемы замещения комплексного сопротивления и проводимости

Действительную и мнимую части Z и Y можно на схеме изобразить прямоугольником. Сопротивления складываются при последовательном соединении, а проводимости – при параллельном. Следовательно, комплексное сопротивление Z можно представить последовательной схемой, а комплексную проводимость Y – параллельной схемой.

Так как между сопротивлением и проводимостью существует однозначная связь, то эти две схемы можно рассматривать как эквивалентные. Можно получить формулы преобразования действительных и мнимых частей Z в Y и наоборот.

Дано:

Подсчитаем проводимость

Следовательно,

Формулы преобразования последовательной схемы в параллельную можно получить на основе принципа дуальности.

Дано:

Получим

Комплексные сопротивления и проводимости идеализированных элементов (R, L, C)

Сопротивление R

Составим цепь из генератора гармонических колебаний (ЭДС) и сопротивления R. Мгновенное комплексное значение тока равно

Комплексное сопротивление Z_R равно

Таким образом, комплексное сопротивление Z равно самому сопротивлению R, фаза равна нулю.

Вывод: в сопротивлении R ток и напряжение совпадают по фазе.

Индуктивность L

Пусть индуктивность находится при воздействии гармонического тока (источник тока)

Мгновенное комплексное напряжение на индуктивности равно

, .

Вывод: комплексное сопротивление индуктивности является чисто реактивным сопротивлением; сопротивление прямо пропорционально частоте, т.е. зависит от частоты.

При ω = 0 => Z_L = 0 – индуктивность является короткозамкнутой цепью,

При ω = ¥ => Z_L = ¥ - индуктивность является разомкнутой цепью. По формуле Эйлера: (т.к. и ).

В индуктивности напряжение опережает ток на 90⁰.

Емкость C

Проведем все вычисления, аналогичные индуктивности. К емкости подключен источник гармонического напряжения

.

Подсчитаем комплексное значение тока через емкость

Вывод: комплексное сопротивление емкости чисто реактивное; оно обратно пропорционально частоте; напряжение на емкости отстает от тока на 90⁰.

При ω = 0 => Z_C =¥ т.е ёмкость не пропускает постоянный ток, представляет собой разрыв цепи.

При ω = ¥ => Z_C =0 т.е ёмкость представляет собой замкнутую цепь т.е. хорошо пропускает высокочастотный ток.

Лекция 7. Резонанс в электрических цепях. Явление резонанса и его значение в радиотехнике и электросвязи. Последовательный колебательный контур. Резонанс напряжений. Частотные характеристики последовательного контура.

Явление резонанса в последовательном колебательном контуре

Рассмотрим цепь, состоящую из генератора гармонического напряжения Ė и последовательного колебательного контура. Цепь линейная, поэтому для определения тока воспользуемся методом комплексных амплитуд.

Мнимая часть сопротивления зависит от частоты и на определенной частоте ω₀ она может обратиться в ноль

Решая это уравнение, определим частоту, которую называю резонансной

Она определяется параметрами элементов контура L, C.

Ток в контуре на этой частоте достигнет максимальной величины, которая зависит от R.

В радиотехнике такой электрический режим в колебательном контуре называют фазовым резонансом, а частоту ω₀ – резонансной частотой. Это название связано с тем, что разность фаз между напряжением и током на этой частоте, т.е. фаза комплексного сопротивления контура равно нулю

Таким образом, условием резонанса в колебательном контуре является x(ω₀) = 0.

Резонанс возникнет в том случае, если частота сигнала будет равна резонансной частоте контура ω = ω₀.

Параметры контура. Характеристика резонанса.

1. Резонансное сопротивление контура – сопротивление контура на резонансной частоте. Оно равно сопротивлению потерь и является минимальным

2. Характеристическое сопротивление - это сопротивление реактивных элементов (индуктивности и емкости) контура на резонансной частоте

В реальных контурах оно имеет значение от сотен Ом до десятков кОм.

3. Добротность контура

Определяется отношением сопротивления реактивного элемента на резонансной частоте к сопротивлению потерь.

4. Коэффициент затухания

5. Расстройка – это отклонение частоты сигнала от резонансной частоты. Различают три типа расстройки

Абсолютная расстройка – Δω = ω – ω₀ или Δf = f – f₀.

Относительная расстройка

Обобщенная расстройка

При ω = 0, a(0) = –¥, ω = ω₀, a(ω₀) = 0, ω = ¥, a(¥) = ¥.

Резонанс в последовательном контуре характеризуется не только разностью фаз между напряжением и током, не только максимальным током, но и величиной напряжения на реактивных элементах.

Определим амплитуду напряжения на реактивных элементах на резонансной частоте ω = ω₀.

Ú_R = İ·R = E – напряжение на сопротивлении равно ЭДС.

Вывод: амплитуда напряжений на реактивных элементах в Q раз больше ЭДС источника. Поэтому резонанс в последовательном колебательном контуре называют резонансом напряжений.

По фазе напряжения Ú_C и Ú_L противоположны.

Основной задачей в радиотехнике является передача информации на расстоянии с помощью радиосигнала. Разделение сигналов т.е каналов связи между собой осуществляется по разным параметрам сигналов. Наиболее часто употребляемым параметром является частота, т.е. по частотному признаку.

ω_н –несущая частота

S = ω₂ - ω₁ - ширина канала по частоте.

Для разделения каналов между собой в радиотехнике используются устройства “Электрические фильтры ”- цепь, способная пропускать сигналы в заданном диапазоне частот S. (селекция сигналов.)

Каждый фильтр должен обладать определённой избирательностью.

Избирательность- способность цепи выделить или пропустить сигналы в заданной полосе частот.

Полоса частот S, в пределах которой фильтр пропускает сигналы, называется полосой пропускания (ПП).

Электрические фильтры, как правило, выполняются в виде четырёхполюсников.

Два полюса 1-1` называются входными, к ним подводится входной сигнал. Клеммы 2-2` называются выходными, к ним подключается нагрузка, на них образуется выходной сигнал после фильтрации.

Основным параметром фильтра является коэффициент передачи по напряжению K_u(jω)

Он может быть записан в показательной форме, если U₁ и U₂ также записать в показательной форме:

- модуль коэффициента передачи.

Зависимость модуля от частоты K(ω) называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ).

φ_k(ω) = φ_U2 - φ_U1 - фаза коэффициента передачи или разность фаз напряжений.

Зависимость аргумента коэффициента передачи или фазы от частоты называется фазо-частотной характеристикой (ФЧХ).

АЧХ и ФЧХ являются частотными характеристиками параметра, например, коэффициента передачи.

К частотным характеристикам относится еще одна амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) – годограф. Годограф – это геометрическое место точек конца вектора параметра в комплексной плоскости при изменении частоты от 0 до ¥.

Годограф можно построить двумя способами, либо в декартовой, либо в полярной системе координат.

На годографе стрелкой показывают изменение частоты. По годографу легко построить АЧХ и ФЧХ.

Вывод: АЧХ, ФЧХ, годограф образуют семейство комплексных частотных характеристик.

Принципиальная, упрощённая схемы и схема замещения последовательного колебательного контура

Последовательным колебательным контуром называется цепь, составленная из конденсатора и катушки, соединенные последовательно.

Для изучения свойств контура нужно катушку и конденсатор представить схемами замещения соответственно – (L – R_L) и (C – R_C). Для упрощения анализа свойств делают преобразования всей схемы в последовательную схему, где R – сопротивление потерь контура, зависящее от сопротивлений R_L и R_C.