Пример 4. Броуновское движение

Частица радиусом r и массой m находится в жидкости с динамической вязкостью η при температуре Т и совершает броуновское движение. Докажем формулу Эйнштейна (1905 г.) для среднего квадрата смещения частицы за время t

Пример 4. Броуновское движение - student2.ru , (П.1.25)

где Пример 4. Броуновское движение - student2.ruдиффузионная постоянная, и выполняется Пример 4. Броуновское движение - student2.ru , где Пример 4. Броуновское движение - student2.ru – время релаксации движения частицы под действием трения.

Смещение x частицы происходит с течением времени хаотически из-за ударов микрочастиц, совершающих тепловые движения. На частицу в жидкости действует сила вязкого трения, пропорциональная ее скорости

Пример 4. Броуновское движение - student2.ru ,

где коэффициент трения

Пример 4. Броуновское движение - student2.ru .

Хаотически налетающие микрочастицы действуют с силой Пример 4. Броуновское движение - student2.ru . Из второго закона Ньютона для частицы массой m получаем уравнение

Пример 4. Броуновское движение - student2.ru .

Переходим к средним значениям. Для этого слагаемые умножаем на x

Пример 4. Броуновское движение - student2.ru

и используем равенства

Пример 4. Броуновское движение - student2.ru ,

Пример 4. Броуновское движение - student2.ru .

Получаем уравнение

Пример 4. Броуновское движение - student2.ru .

Слагаемые усредняем по большому числу частиц. Учитываем

Пример 4. Броуновское движение - student2.ru ,

Пример 4. Броуновское движение - student2.ru ,

Пример 4. Броуновское движение - student2.ru .

Теорема о распределении тепловой энергии дает

Пример 4. Броуновское движение - student2.ru .

Уравнение получает вид

Пример 4. Броуновское движение - student2.ru ,

или

Пример 4. Броуновское движение - student2.ru ,

где

Пример 4. Броуновское движение - student2.ruдиффузионная постоянная;

Пример 4. Броуновское движение - student2.ruвремя релаксации под действием вязкого трения.

Разделяем переменные и интегрируем

Пример 4. Броуновское движение - student2.ru ,

Пример 4. Броуновское движение - student2.ru ,

находим

Пример 4. Броуновское движение - student2.ru . (П.1.26)

Второе слагаемое описывает процесс релаксации. Время релаксации

Пример 4. Броуновское движение - student2.ru

уменьшается при увеличении вязкости жидкости η, при уменьшении инертности шарика, его плотности ρ и радиуса r. Если время движения гораздо больше времени релаксации Пример 4. Броуновское движение - student2.ru , то пренебрегаем вторым слагаемым (П.1.26) и получаем

Пример 4. Броуновское движение - student2.ru .

Интегрирование дает формулу Эйнштейна (П.1.25)

Пример 4. Броуновское движение - student2.ru

средний квадрат смещения частицы за время t пропорционален времени.

Например, кварцевый шарик диаметром 1 мкм совершает броуновское движение в воде при комнатной температуре и проходит путь 1 нм за время Пример 4. Броуновское движение - student2.ru . Его баллистическое движение происходит на пути ~ 1Å, время релаксации Пример 4. Броуновское движение - student2.ru . Выполняется Пример 4. Броуновское движение - student2.ru и применима формула Эйнштейна.

Приведенный вывод формулы Эйнштейна предложил Поль Ланжевен в 1908 г. На основе (П.1.25) Жан Перрен измерил постоянную Больцмана в 1926 г. и получил число Авогадро. Существенное влияние на броуновское движение оказывает вихревое турбулентное течение жидкости, увлекаемой движением частицы. Этот эффект учли В. Владимирский и Ю.А. Терлецкий в 1945 г. Им можно пренебречь для движения частицы в газе.

При малом времени перемещения Пример 4. Броуновское движение - student2.ru сила трение не успевает существенно повлиять, частица движется баллистически и проходит путь Пример 4. Броуновское движение - student2.ru , тогда

Пример 4. Броуновское движение - student2.ru .

Энергия движения определяется температурой

Пример 4. Броуновское движение - student2.ru ,

откуда Пример 4. Броуновское движение - student2.ru . В результате средний квадрат смещения частицы пропорционален температуре и квадрату времени

Пример 4. Броуновское движение - student2.ru . (П.1.27)

Броуновское движение, вызванное тепловой энергией, создает тепловой шум. Как следует из (П.1.25), при тепловом шуме среднее квадратичное смещения частицы пропорционально температуре и корню квадратному из времени смещения, если оно превышает время релаксации. Тепловое движение включает два этапа. На первом частица получает толчок от микрочастицы и движется баллистически, при этом система выведена из равновесного состояния. На втором этапе за счет трения восстанавливается равновесное состояние по истечении времени релаксации. Множество таких процессов образует тепловой шум. Тепловые флуктуации обеспечивают возвращение системы в равновесное состояние после любого воздействия на нее. При большом времени релаксации по сравнению со временем между столкновениями с микрочастицами релаксация не существенна, пренебрегаем ею, тогда тепловой шум становится импульсным процессом и превращается в дробовой шум. Тепловой шум возникает в объеме системы, где существенны процессы релаксации, дробовой шум в процессах транспорта между частями системы, где релаксация не существенна.

При подаче на резистор постоянного напряжения помимо теплового шума появляется 1/f-шум со спектральной плотностью, зависящей от частоты f по закону Пример 4. Броуновское движение - student2.ru , где параметр Пример 4. Броуновское движение - student2.ru варьирует для разных материалов. Закон Пример 4. Броуновское движение - student2.ru выполняется в интервале частот Пример 4. Броуновское движение - student2.ru , причем нижний предел экспериментально не достигнут. Этот шум наблюдается во всех материалах и устройствах электроники, а также в разнообразных явлениях природы. Его описал J.B. Johnson в 1925 г. Отсутствует понимание физических причин 1/f-шума и его общая теория. Возможно, он связан с флуктуациями сопротивления за счет числа носителей тока, или их подвижности. Возможен также вклад космических факторов в 1/f-шум.

Наши рекомендации