Теорема умножения вероятностей

Предварительно введем понятие о зависимых и независимых событиях.

Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет.

Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается Р(А\В).

Теорема умножения вероятностей формулируется следующим образом: вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место, т.е.

Р (АВ)=р(А)р(В\А)=р(В)р(А\В). (2.41)

Из теоремы умножения вероятностей следует, что если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А, т.е. если р(А)=р(А\В), то р(В)=р(В\А). Таким образом, зависимость или независимость событий всегда взаимны. В связи с этим можно дать следующее новое определение независимых событий: два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности появления другого.

Понятие независимости событий может быть распространено на случай произвольного числа событий. Несколько событий называются независимыми, если любое из них не зависит от любой совокупности остальных.

Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятности этих событий:

Р (АВ)=р(А)р(В). (2.42)

Для n независимых событий

Р (С)=р (А )р (А )...р (А ), (2.43)

т.е. вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.