Тема: Анализ режимов цепей постоянного тока методами контурных токов и узловых потенциалов
Цель: Научиться рассчитывать токи в ветвях методами контурных токов и узловых потенциалов.
В результате выполнения практического занятия у студента формируются компетенции ПК-10 (умение проводить инженерные изыскания), ПК-17 (умение применять знание научно-технической информации, отечественного и зарубежного опыта по профилю деятельности).
Актуальность темы практического занятиязаключается в необходимости использовать методы узловых потенциалов и контурных токов для расчета электрических цепей.
Теоретическая часть
Метод контурных токов.
Метод контурных токов также позволяет уменьшить количество решаемых уравнений в сравнении с системой уравнений по законам Кирхгофа. Количество уравнений по методу контурных токов определяется числом уравнений по второму закону Кирхгофа для рассматриваемой электрической цепи. Метод основывается на том свойстве, что ток в любой ветви может быть представлен в виде алгебраической суммы независимых контурных токов, протекающих по этой ветви. В соответствии с данным методом необходимо выбрать контурные токи таким образом, чтобы каждый из них проходил через один источник тока, а оставшиеся контурные токи выбирать проходящими по ветвям, не содержащим источники тока.
Система уравнений по методу контурных токов в виде матрицы будет иметь столько строк и столбцов, столько уравнений необходимо записать по второму закону Кирхгофа для рассматриваемой электрической цепи. Если в электрической цепи имеется источник тока, то добавится столбец в систему уравнений, если два, то два столбца и т.д.
Рассмотрим использование метода контурных токов на примере.
Метод контурных токов целесообразно применять, когда в количество уравнений по второму закону Кирхгофа для электрической цепи получается меньше чем по первому. На рисунке 3.1 представлена электрическая цепь, отвечающая указанным требованиям.
Рисунок 3.1 – Схема электрической цепи для расчета по методу контурных токов
Решение.
В этой цепи четыре узла, следовательно, по первому закону Кирхгофа необходимо записать 4 – 1 = 3 уравнения. Рассматриваемая схема содержит семь ветвей, две из которых с источниками тока, следовательно, по второму закону Кирхгофа количество уравнений равно: 7 – 2 – 3 = 2. Для заданной схемы направления обхода контурных токов 
, 
, 
, 
взяты по часовой стрелке, причем 
, т.к. обход контура не совпадает с направлением тока источника тока; 
, т.к. обход контура совпадает с направлением тока источника тока. Таким образом, контурные токи и считаются известными. Следовательно, остается два неизвестных контурных тока ( и ), для их нахождения используем систему из двух уравнений:
(3.1)
где 
– собственное сопротивление контура m (сумма сопротивлений всех ветвей, входящих в контур m). Для рассматриваемой цепи 
; 
. В системе уравнений (3.1) у собственных сопротивлений контуров по главной диагонали матрицы будут всегда стоять знаки «плюс». Если будет задана такая электрическая цепь, для которой по второму закону Кирхгофа необходимо будет записать другое количество уравнений, тогда и количество уравнений в системе (2.4) изменится. Количество строк в системе (2.4) определяется количеством уравнений по второму закону Кирхгофа, а количество столбцов равно сумме числа уравнений по второму закону Кирхгофа и числа источников тока.
– общее сопротивление контуров m и l, берется со знаком «плюс», если направления контурных токов в данной ветви совпадают, в обратном случае – берется знак «минус». В рассматриваемой схеме общим сопротивлением между контурами 1 и 2, а, следовательно, 2 и 1, является 
. Направление контурных токов в данной ветви не совпадают, следовательно, сопротивление 
войдет в уравнение со знаком «минус». Сопротивления между контурами 1 и 3, а также 1 и 4 равны нулю, следовательно, 
и 
. Сопротивление между контурами 2 и 3 
. Направление контурных токов в данной ветви не совпадают, следовательно, сопротивление 
войдет в уравнение со знаком «минус». Сопротивление между контурами 2 и 4 
. Направление контурных токов в данной ветви совпадают, следовательно, сопротивление 
войдет в уравнение со знаком «плюс».
– алгебраическая сумма ЭДС, входящих в контур m. Для данной схемы 
, 
.
Таким образом, в новых обозначениях система уравнений 3.1 примет следующий вид
. (3.2)
Решив полученную систему (3.2) относительно 
и 
, считая и 
известными, найдем токи в ветвях электрической цепи.
Токи в ветвях электрической цепи, через контурные токи определяются следующим образом:
; 
; 
;
; 
.
Метод узловых потенциалов.
Данный метод также позволяет уменьшить количество решаемых уравнений в сравнении с системой уравнений по законам Кирхгофа. Количество уравнений по методу узловых потенциалов определяется количеством уравнений по первому закону Кирхгофа для рассматриваемой электрической цепи. В соответствии с данным методом, необходимо сначала определить потенциалы 
всех узлов электрической цепи, а затем с помощью закона Ома определить токи в ветвях. При этом один из узлов электрической схемы, который называют опорным, заземляется, его потенциал 
становится равен нулю. Узел для заземления выбирается произвольно. Удобно заземлять узел, номер которого имеет наибольшее значение в заданной электрической цепи.
Система уравнений по методу узловых потенциалов в виде матрицы будет иметь столько строк и столбцов, столько уравнений необходимо записать по первому закону Кирхгофа для рассматриваемой электрической цепи. Если в электрической цепи имеется ветвь содержащая только идеальный источник ЭДС. Тогда удобно пронумеровать узлы электрической цепи так, чтобы номер узла с наибольшим значения в заданной электрической цепи, оказался в узле от которого отходит источник ЭДС. Этот узел принимают за опорный и заземляют. Тогда потенциал узла, в который входит источник ЭДС, будет известным и равным величине ЭДС источника.
Рассмотрим использование метода узловых потенциалов на примере.
Пример.
Метод узловых потенциалов целесообразно применять, когда количество уравнений по первому закону Кирхгофа для электрической цепи получается меньше чем по второму. На рисунке 3.2 представлена электрическая цепь, отвечающая указанным требованиям.
Рисунок 3.2 – Схема электрической цепи для расчета по методу узловых потенциалов
Представленная схема содержит 8 ветвей, 2 из которых содержат источники тока, следовательно, количество уравнений по второму закону Кирхгофа равно: 8 – 2 – 3 = 3 уравнения.
В заданной цепи четыре узла, следовательно, по первому закону Кирхгофа необходимо записать 4 – 1 = 3 уравнения, причем имеется ветвь, содержащая только идеальный источник ЭДС 
. В этом случае узел, от которого отходит источник ЭДС , пронумеруем цифрой 4 и примем его за опорный, потенциал которого равен нулю 
. Обозначим заземление 
у φ4 на расчетной схеме. Потенциал узла, в который входит источник ЭДС , будет известным и равным величине ЭДС источника 
.
Таким образом, остается два неизвестных потенциала 
и 
, для их нахождения используем систему из двух уравнений:
, (3.3)
где 
– собственные проводимости узлов 1, 2, …, S, соответственно, которые определяются как сумма проводимостей ветвей, присоединенных к соответствующему узлу. Для рассматриваемой цепи 
; 
.
В системе уравнений (3.3) у собственных проводимостей узлов по главной диагонали матрицы будут всегда стоять знаки «плюс». Если будет задана такая электрическая цепь, для которой по первому закону Кирхгофа необходимо будет записать другое количество уравнений, то система уравнений (3.3) должна состоять из строк и столбцов, количество которых определяется количеством уравнений по первому закону Кирхгофа.
– сумма проводимостей ветвей, соединяющих узел S с узлом N, всегда в системе уравнений (3.3) берется со знаком «минус». Для рассматриваемой цепи сумма проводимостей ветвей между узлами 1 и 2, а, следовательно, 2 и 1, является 
. Сумма проводимостей ветвей между узлами 1 и 3, равна нулю, следовательно 
. Сумма проводимостей ветвей между узлами 2 и 3 
.
, где 
– алгебраическая сумма произведений ЭДС ветвей, примыкающих к узлу S, на их проводимости; при этом со знаком «плюс» берутся те произведения, в ветвях которых ЭДС действуют в направлении узла S, и со знаком «минус», – в направлении от узла S;
– алгебраическая сумма источников тока, присоединенных к узлу S, знак перед 
определяется согласно правилу, указанному выше. В нашем случае 
, 
.
Таким образом, в новых обозначениях система уравнений 3.3 примет следующий вид
. (3.4)
Решив полученную систему (3.4) относительно 
и 
, считая известным 
, найдем токи в ветвях электрической цепи.
Токи в ветвях электрической цепи определяются по закону Ома через полученные при решении системы (3.4) потенциалы:
;
;
;
;
;
.
Метод двух узлов (частный случай метода узловых потенциалов).
Встречаются электрические цепи у которых всего два узла рисунок 3.3. Для расчета токов в такой цепи наиболее рациональным методом расчета является метод двух узлов.
Рисунке 3.3
Рассмотрим использование метода двух узлов на примере.
Пример.
Для электрической цепи (рисунок 3.3) по методу узловых потенциалов запишем следующее выражение:
.
Запишем получившееся выражение для напряжения 
:
. (3.4)
Выражение 3.4 принято называть методом двух узлов.
Токи в ветвях электрической цепи, определяются по закону Ома следующим образом:
; 
; 
.
Задания
1. Определить токи ветвей в электрической цепи схема, которой представлена на рисунке 3.4 методом: а) контурных токов; б) узловых потенциалов. Дано: 
= 36 В, 
= 12 В, 
= 8A, 
= 
= 4 Ом, 
= 1 Ом, 
= 2 Ом, 
= 1 Ом. ( 
= 9 A, 
= 3 A, 
= 6 A, 
= 2 A)
Рисунок 3.4
2. Вычислить все токи в электрической цепи, схема которой представлена на рисунке 3.5 методом: а) контурных токов; б) методом узловых потенциалов. Дано: = 50 мA, = 60 В, = 5 кОм, = 4 к Ом, = 16 кОм, = 2 к Ом, = 8 к Ом. ( = 20 мA, = 30 м A, = 10 м A, = 40 мA, 
= 10 мA)
Рисунок 3.5
Контрольные вопросы
1. Сформулировать основные принципы метода узловых потенциалов.
2. Сколько уравнений необходимо составить по методу узловых потенциалов?
3. Сформулировать основные принципы метода контурных токов.
4. Сколько уравнений необходимо составить по методу контурных токов?
5. Каковы особенности применения метода контурных токов для схем, содержащих источник тока?
6. Каковы особенности применения метода узловых потенциалов для схем, содержащих идеальный источник ЭДС между узлами?
7. Как найти токи в ветвях по методу двух узлов?
Список литературы, рекомендуемый к использованию по данной теме
Основная литература
1. Немцов М.В. Электротехника и электроника (6-е изд., стер.) учебник. –М: Академия, 2013. – 480 с. – ISBN: 9785446804320.
2. Электротехника и электроника: Учебное пособие для вузов / В.В. Кононенко [и др.]; под ред. В.В. Кононенко. – Изд. 6-е – Ростов н/Д: Феникс, 2010. – 784 с. (Высшее образование). – ISBN 978-5-222-17568-2.
Дополнительная литература
3. Сборник задач и упражнений по теоретическим основам электротехники: учеб. пособие для студентов / под ред. П. А. Ионкина. – М.: Энергоиздат, 1982. – 768 с.
Практическое занятие 4